【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一1.2.3 直线的一般式方程【讲义+习题】

1.2.3　直线的一般式方程
学习目标　1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．
导语
前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式方程，经过化简后可以发现它们都是二元一次方程．现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？
一、直线的一般式方程
问题1　任何一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程吗？
提示　当直线与x轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线的方程为y－y1＝k(x－x1)，即kx－y＋y1－kx1＝0，此方程是关于x，y的二元一次方程．
当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点P1(x1，y1)的直线的方程为x＝x1，即x＋0×y－x1＝0.此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程．
因此，平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示．
问题2　关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？
提示　当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成y＝－x－，它表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线．
当B＝0时，A≠0，方程Ax＋By＋C＝0可以写成x＝－，它表示垂直于x轴的直线．
因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线．
知识梳理
方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．
注意点：
(1)方程是关于x，y的二元一次方程．
(2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合．
(3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合．
例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5,3)；
(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．
解　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)，
即x－y－5＋3＝0.
(2)由两点式，得直线方程为＝，
即2x＋y－3＝0.
(3)由截距式，得直线方程为＋＝1，
即x＋3y＋3＝0.
(4)y－2＝0.
反思感悟　求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
跟踪训练1　(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．
①斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________；
②在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为________________；
③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________．
答案　①x＋2y＋4＝0　②2x－y－3＝0　③x＋y－1＝0
(2)在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为______________．
答案　x－y－6＝0
解析　设直线的斜截式方程为y＝kx＋b(k≠0)，则由题意得k＝tan 45°＝1，b＝－6，所以
y＝x－6，即x－y－6＝0.
二、直线的一般式方程化为其他形式的方程
例2　(1)已知直线Ax＋By＋C＝0(AB>0，BC>0)，则直线不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　直线Ax＋By＋C＝0化为y＝－x－，
又AB>0，BC>0，所以－0，b0，b>0，两者矛盾，故D错误．
4．直线ax＋by＋c＝0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)
A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc