【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第2练 两条直线的平行与垂直【讲义+习题】
展开第2练 两条直线的平行与垂直
一、选择题
1．已知三角形的三个顶点A(4,3)，B(－1,2)，C(1，－3)，则△ABC的高CD所在的直线方程是( )
A．5x＋y－2＝0 B．x－5y－16＝0
C．5x－y－8＝0 D．x＋5y＋14＝0
答案 A
解析 由斜率公式可得kAB＝＝，因为CD⊥AB，所以kCD＝－5，
所以直线CD的方程为y＋3＝－5(x－1)，即5x＋y－2＝0.
2．“a＝－1”是“直线x＋ay＋6＝0和直线(a－2)x＋3y＋2a＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案 C
解析 直线x＋ay＋6＝0和(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，
由a(a－2)－3＝0，解得a＝3或a＝－1，
又因为当a＝3时，两直线重合，故舍去，
所以“a＝－1”是“直线x＋ay＋6＝0和(a－2)x＋3y＋2a＝0平行”的充要条件．
3．若点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，则l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．2x－2y＋1＝0 D．2x＋y－2＝0
答案 A
解析 ∵点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，
∴直线l为线段AB的中垂线，
又AB的中点为，AB的斜率为＝－1，
∴直线l的斜率为1，即直线l的方程为y－＝x－，
化简可得x－y＋1＝0.
4．已知a，b均为正实数，且直线ax＋by－6＝0与直线(b－3)x－2y＋5＝0互相垂直，则2a＋3b的最小值为( )
A．12 B．13 C．24 D．25
答案 D
解析 由两直线互相垂直可得a(b－3)－2b＝0，即2b＋3a＝ab，则＋＝1.
又a，b为正实数，
所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2·＝25，
当且仅当a＝b时取等号，
故2a＋3b的最小值为25.
5．(多选)已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则( )
A．l1恒过点(2，－2)
B．若l1∥l2，则a2＝
C．若l1⊥l2，则a2＝1
D．当0≤a≤1时，l2不经过第三象限
答案 BD
解析 (a＋1)x＋ay＋2＝0可化为a(x＋y)＋x＋2＝0，
由得所以l1恒过点(－2,2)，故A错误；
若l1∥l2，则(a＋1)(1－a)－a×a＝0，得a2＝，故B正确；
若l1⊥l2，则(a＋1)×a＋a×(1－a)＝0，得a＝0，故C错误；
当0<a<1时，l2：ax＋(1－a)y－1＝0的斜率为负，在y轴截距为正，不会过第三象限，
当a＝0时，l2：y－1＝0，不过第三象限，当a＝1时，l2：x－1＝0，不过第三象限，故当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确．
二、填空题
6．已知点A(－4,4)，点B(6,6)，则线段AB的垂直平分线的方程为____________________．
答案 5x＋y－10＝0
解析 设AB的中点M的坐标为(x，y)，则x＝＝1，y＝＝5，所以M(1,5)，
因为直线AB的斜率为＝，
所以线段AB的垂直平分线的斜率k＝－5，
则线段AB的垂直平分线的方程为
y－5＝－5(x－1)，化简得5x＋y－10＝0.
7．在直角梯形ABCD中，已知点A(－5，－10)，B(15,0)，C(5,10)，AD是腰且垂直于两底边，则顶点D的坐标为________．
答案 (－11,2)
解析 设点D(x，y)，由条件可知，DC∥AB，DA⊥AB，所以＝，×＝－1，解得x＝－11，y＝2.故顶点D的坐标为(－11,2)．
8．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为________．
答案 －4
解析 因为直线l1与直线l2互相垂直，
所以2a＋4×(－5)＝0，解得a＝10，
所以l1：10x＋4y－2＝0，
因为垂足(1，c)在l1上，所以10＋4c－2＝0，解得c＝－2，
再由垂足(1，－2)在l2上可得2＋10＋b＝0，解得b＝－12，
所以a＋b＋c＝10－12－2＝－4.
9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心和垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高所在直线的交点)依次位于同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B(－1,2)，C(3,4)，且AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为________________．
答案 2x＋y－5＝0
解析 △ABC的顶点B(－1,2)，C(3,4)，
∴线段BC的中点为M(1,3)，
kBC＝＝，
∴线段BC的垂直平分线方程为y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.
∵AB＝AC，
∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段BC的垂直平分线上，
因此△ABC的欧拉线方程为2x＋y－5＝0.
三、解答题
10.如图，已知△ABC的顶点分别为A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求：
(1)直线AB的方程；
(2)AB边上的高所在直线的方程；
(3)与AB边平行的中位线所在直线的方程．
解 (1)∵kAB＝＝3，
∴直线AB的方程为y＝3x－2，
即3x－y－2＝0.
(2)由(1)可设AB边上的高所在直线的方程为y＝－x＋m，
由该直线过点C(－2,3)，得3＝＋m，
解得m＝，
故所求直线的方程为y＝－x＋，即x＋3y－7＝0.
(3)AB边的中位线与AB平行且过AC的中点，
∴AB边的中位线所在直线的方程为y＝3x＋，即6x－2y＋7＝0.
