【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第3练 两条直线的交点与平面上的距离【讲义+习题】

第3练　两条直线的交点与平面上的距离一、选择题1．已知直线l1：ax＋by＋a＝0，l2：x＋ay＋b＝0，若l1∥l2，且这两条直线间的距离为1，则点P(a，b)到坐标原点的距离为(　　)A．2  B．3  C．12  D．27答案　A解析　由题意可知，a≠0，因为l1∥l2，所以a2＝b，又直线l2的方程可化为ax＋a2y＋ab＝0，则两条直线间的距离d＝＝1，解得a2＝3，b＝3，所以点P(a，b)到坐标原点的距离为＝2.2．若两条平行直线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，则它们之间的距离d满足的条件是(　　)A．0<d≤5   B．0<d≤13C．0<d<12   D．5≤d≤12答案　B解析　当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为＝13，所以0<d≤13.3．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是(　　)A.   B.C.   D.答案　A解析　直线y＝－x＋2与两坐标轴的交点为A(0,2)，B(2,0)．直线y＝kx＋2k＋1恒过定点P(－2,1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k满足：kPB<k<kPA，即－<k<.4．台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中．如图，现有一目标球从点A(－2,3)无旋转射入，经过直线y＝1(桌边)上的点P反弹后，经过点B(5,7)，则点P的坐标为(　　)A.   B.C.   D.答案　B解析　点A(－2,3)关于y＝1对称的点为A′(－2，－1)，∴直线A′B的方程为＝，即8x－7y＋9＝0，由得∴点P的坐标为.5．(多选)已知点P是直线3x－4y＋5＝0上的动点，定点Q(1,1)，则下列说法正确的是(　　)A．线段PQ的长度的最小值为B．当PQ最短时，直线PQ的方程是3x＋4y－7＝0C．当PQ最短时，P的坐标为D．线段PQ的长度可能是答案　AC解析　当PQ垂直于直线3x－4y＋5＝0时，PQ最短，Q到直线的距离为＝，故A正确；故PQ的长度取值范围为，<，故D错误；设P，则kPQ＝＝－，解得m＝，故P，故C正确；此时直线PQ的方程是＝，即4x＋3y－7＝0，故B错误．二、填空题6．已知△ABC中，点A(1,1)，B(4,2)，C(－4,6)，则△ABC的面积为________．答案　10解析　由两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－8＝0，由点A到直线的距离公式得BC边上的高d＝＝，BC两点之间的距离为＝4，∴△ABC的面积为×4×＝10.7．已知点A(1，－2)，B(5,6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为__________．答案　－2或－1解析　∵A(1，－2)，B(5,6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，∴＝，解得a＝－2或a＝－1.8．在直线x＋3y＝0上求一点，使它到原点的距离和到直线x＋3y＋2＝0的距离相等，则此点的坐标是__________．答案　或解析　由题意可设所求点的坐标为(－3a，a)，因为直线x＋3y＝0与直线x＋3y＋2＝0平行，所以两平行线间的距离为＝，根据题意有＝，解得a＝±，所以所求点的坐标为或.9．若直线l1：ax＋2y－10＝0与直线l2：2x＋(a＋3)y＋5＝0平行，则l1与l2之间的距离为________．答案　解析　∵直线l1：ax＋2y－10＝0与直线l2：2x＋(a＋3)y＋5＝0平行，∴＝≠，解得a＝1，∴直线l1：x＋2y－10＝0，即2x＋4y－20＝0，直线l2：2x＋4y＋5＝0.∴l1与l2之间的距离为d＝＝.三、解答题10．已知三角形的顶点为A(1,4)，B(0，－1)，C(－2,1)．(1)求直线AC的方程；(2)从下面①，②两个问题中选择一个作答．①求点B关于直线AC的对称点D的坐标；②若直线l过点B且与直线AC交于点E，BE＝4，求直线l的方程．解　(1)三角形的顶点为A(1,4)，B(0，－1)，C(－2,1)．所以kAC＝＝1，所以直线AC的方程为y－4＝1×(x－1)，整理得x－y＋3＝0.(2)选①，设点D(m，n)．因为kAC＝1，所以kBD＝－1，直线BD的中点坐标满足直线AC的方程，故解得故D(－4,3)．选②，当直线斜率存在时，设经过点B的直线方程为y＝kx－1，且k≠1，若k＝1，则与AC平行，所以k≠1.设与直线AC：x－y＋3＝0的交点坐标为E(x，y)，所以解得由于BE＝4，故BE＝＝4，解得k＝0，即经过点B的直线的方程为y＝－1；当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，故与直线AC的交点E的坐标为E(0,3)，又B(0，－1)，所以满足BE＝4，故直线l的方程为y＝－1或x＝0.