【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第4练 直线与方程的综合问题【讲义+习题】

第4练　直线与方程的综合问题

一、选择题

1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　A

解析　设直线l的斜率为k，

则k＝－＝.

2．直线ax＋by＋c＝0要同时经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)

A．ab>0，bc<0   B．ab>0，bc>0

C．ab<0，bc>0   D．ab<0，bc<0

答案　A

解析　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.

3．两直线－＝a与－＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是(　　)

答案　B

解析　直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．

4．“a＝”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　A

解析　由直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直得(a＋1)(a－1)＋3a×(a＋1)＝0，解得a＝或a＝－1.

∴“a＝”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直”的充分不必要条件．

5．(多选)下列说法中，正确的有(　　)

A．直线3x－y－2＝0在y轴上的截距为－2

B．直线x－y＋1＝0的倾斜角为120°

C．直线mx＋y＋3＝0(m∈R)必过定点(0，－3)

D．点(5，－3)到直线y＋2＝0的距离为7

答案　AC

解析　直线3x－y－2＝0中，

当x＝0时，y＝－2，故A正确；

直线x－y＋1＝0的斜率k＝，所以倾斜角为60°，故B错误；

直线mx＋y＋3＝0(m∈R)，当x＝0时，y＝－3，所以直线恒过定点(0，－3)，故C正确；

点(5，－3)到直线y＋2＝0的距离d＝|－3－(－2)|＝1，故D错误．

二、填空题

6．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________________．

答案　4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0

解析　①若直线过原点，则k＝－，

所以y＝－x，即4x＋3y＝0.

②若直线不过原点，

设＋＝1，即x＋y＝a.

则a＝3＋(－4)＝－1，

所以直线的方程为x＋y＋1＝0.

综上，所求直线的方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.

7．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________.

答案　

解析　如图所示，

直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，

当m≠0时，kQA＝，

kPA＝－2，kl＝－，

∴－≤－2或－≥，

解得0<m≤或－≤m<0；

当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点，

∴实数m的取值范围为－≤m≤.

8．对任意的实数λ，点P(－2,2)到直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0的距离d的取值范围为____________．

答案　[0,4]

解析　由题意，直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0，即2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，

所以解得

所以直线过定点Q(2，－2)，

当PQ垂直于直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0时，d取得最大值＝4，

当直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0过点P时，d取得最小值0，

所以d的取值范围为[0,4]．

9．直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，△OAB的面积为12，则直线l的方程为________________.

答案　2x＋3y－12＝0

解析　方法一　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，

则有＋＝1，且ab＝12，解得a＝6，b＝4.

所以所求直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.

方法二　设直线l的方程为

y－2＝k(x－3)(k<0)，

令x＝0，得y＝2－3k，则2－3k>0；

令y＝0，得x＝3－，则3－>0.

所以S△OAB＝(2－3k)＝12，

解得k＝－.

故所求直线l的方程为y－2＝－(x－3)，

即2x＋3y－12＝0.

三、解答题

10．直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点．

(1)当PA·PB最小时，求l的方程；

(2)当OA＋OB最小时，求l的方程．

解　依题意知l的斜率存在，且斜率为负．

设l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．

令y＝0，可得x＝1－，则A，

令x＝0，可得y＝4－k，则B(0,4－k)．

(1)PA·PB＝·＝－(1＋k2)＝－4≥8(k<0)，

当且仅当＝k，即k＝－1时，PA·PB取最小值，这时l的方程为x＋y－5＝0.

(2)OA＋OB＝＋(4－k)＝5－≥9(k<0)，

当且仅当k＝，即k＝－2时，OA＋OB取最小值，这时l的方程为2x＋y－6＝0.