【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第11练 直线与椭圆的位置关系【讲义+习题】
展开第11练 直线与椭圆的位置关系
一、选择题
1．已知直线x－2y＋4＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 直线x－2y＋4＝0与x轴的交点为A(－4,0)，与y轴的交点B(0,2)，
故椭圆的一个焦点为F(－4,0)，短轴的一个顶点为B(0,2)，
故在椭圆＋＝1中，c＝4，b＝2，
∴a＝，
故这个椭圆的方程为＋＝1.
2．已知P是椭圆＋y2＝1上的动点，则P点到直线l：x＋y－2＝0的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设与直线x＋y－2＝0平行的直线方程是x＋y＋c＝0(c≠－2)，
与椭圆方程联立，消元可得5x2＋8cx＋4c2－4＝0，
令Δ＝64c2－20(4c2－4)＝0，可得c＝±，
∴两条平行线间的距离为＝或，
∴椭圆＋y2＝1上的动点P到直线l：x＋y－2＝0的距离的最小值是.
3．如图，椭圆＋y2＝1(a>1)与x轴、y轴正半轴分别交于点A，B，点P是过左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB∥OP，则椭圆的焦距为( )
A. B．2 C．1 D．2
答案 D
解析 由题意知，F1(－c,0)，A(a,0)，B(0，b)，则点P，
所以直线BA的斜率为kBA＝－，直线PO的斜率为kPO＝＝－，
由BA∥PO，得kBA＝kPO，所以－＝－，
即c＝b，
又b＝1，所以c＝1，所以焦距为2c＝2.
4．已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A. B．－ C．2 D．－2
答案 B
解析 设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
两式相减，得＋＝0，
所以＝－，
所以k＝＝－.
5．(多选)已知斜率为2的直线l经过椭圆C：＋＝1的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的短轴长为2
B．椭圆C的离心率为
C．AB＝
D．S△AOB＝
答案 BCD
解析 ∵椭圆C：＋＝1，
∴a＝，b＝2，c＝1.
∴椭圆C的短轴长为2b＝4，故A错误；
又离心率e＝＝，故B正确；
依题意，F(－1,0)，直线l的方程为y＝2(x＋1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得3x2＋5x＝0，
∴x1＝0，x2＝－.
由已知x1，x2是A，B的横坐标，
∴AB＝|x1－x2|
＝＝，故C正确；
原点到直线l的距离d＝＝，
∴S△AOB＝AB·d＝，故D正确．
二、填空题
6．直线l：y＝kx－k＋1与椭圆C：＋＝1的位置关系为__________．
答案 相交
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，
又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为__________．
答案 ＋x2＝1
解析 ∵椭圆＋＝1的右顶点为A(1,0)，
∴b＝1，焦点坐标为(0，c)，
∵过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且其中一个交点为(x，c)，
则1＝2|x|＝2b＝＝，
得a＝2，则椭圆方程为＋x2＝1.
8．已知椭圆C：＋y2＝1，过右焦点的直线l：y＝x－1与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．
答案
解析 设椭圆右焦点为F(1,0)，由题意知
解方程组得交点A(0，－1)，B，
∴S△OAB＝·OF·|y1－y2|＝×1×＝.
9.如图，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l与一条南北走向的公路m，有一商城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位：千米)．根据市民建议，欲新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与椭圆形商城A相切，当公路PQ长最短时，OQ的长为________千米．
答案
解析 由题意得椭圆方程为＋y2＝1，
设直线PQ的方程为y＝kx＋b，则P，Q(0，b)，
联立方程组
消元可得(1＋4k2)x2＋8kbx＋4(b2－1)＝0，
由直线PQ与椭圆相切可知Δ＝64k2b2－16(1＋4k2)(b2－1)＝0，
整理可得b2＝4k2＋1，
∴PQ2＝＋b2＝4k2＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当4k2＝，即k2＝时取等号．
∴当PQ最短时，b2＝4×＋1＝3，故OQ＝.
三、解答题
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝x＋2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标．
解 (1)设椭圆的半焦距为c，
依题意，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝5，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
(2)联立消去y得，14x2＋36x－9＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，
则x1＋x2＝－，x0＝＝－，
∴y0＝x0＋2＝，
∴线段AB的中点坐标为.
