【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§2.3 习题课 与圆有关的最值(范围)问题【讲义+习题】

习题课　与圆有关的最值(范围)问题
学习目标　1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
导语
海上某基站信号覆盖范围达60公里．一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号．已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？
一、与距离有关的最值问题
知识梳理
已知圆心到直线(或圆外一点)的距离为d，圆的半径为r.
1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.

2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.

3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2，最大值＝2r.

4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝.

例1　已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别为圆C1，圆C2上的点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为(　　)
A. B.－1
C．6－2 D．5－4
答案　D
解析　如图所示，圆C1关于x轴对称的圆的圆心坐标为A(2，－3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径为3.
设M′为点M关于x轴对称的点，由图象可知，当P，M′，N三点共线时，PM＋PN＝PM′＋PN取得最小值，且PM＋PN的最小值为圆A与圆C2的连心线的长减去两个圆的半径之和，即AC2－3－1＝－4＝5－4.

反思感悟　(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．
跟踪训练1　已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　B
解析　圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25的圆心坐标为C(1,2)，半径为5，
由直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，
得m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，
联立解得
∴直线l过定点P(3,1)，又点P(3,1)在圆内部，
则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，
此时PC＝＝，
∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为
2＝4.
二、与面积相关的最值问题
例2　已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，

O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直线是y轴，
当M到直线AO的距离最小时，
△OAM的面积最小，
又M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，
则△OAM的面积最小值S＝×OA×d＝1.
反思感悟　求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．
跟踪训练2　直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　B
解析　设圆心到直线的距离为d(00)，
∵圆心C到直线l的距离为3，
∴由点到直线的距离公式，
得d＝＝3，
解得a＝2，∴半径为2.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，
∴△PCE≌△PCF，
∴S四边形PECF＝2S△PCE，
PE是圆的切线，且E为切点，
∴PE⊥CE，CE＝2，PE2＝PC2－CE2＝PC2－4，
∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小．PCmin即为C到l的距离，
由(1)知PCmin＝3，
∴PE＝32－4＝5，即PEmin＝，
∴S△PCE＝EC·PE＝×2×＝，
∴四边形PECF面积的最小值为2.

11．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为(　　)
A．2 B. C. D．1
答案　D
解析　如图，由题意得PM2＝PC2－r2，

当PC⊥l时，PC最小时，PM最小．
由题意得PCmin＝d＝＝2，
所以()2＝22－r2，所以r＝1.
12．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，则由点M(a，b)向圆C所作的切线中，切线长的最小值是(　　)
A．2 B. C．3 D.
答案　B
解析　因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，
所以圆心为C(1，－2)，半径R＝2.
因为圆C关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，
所以l：3a－4b＋4＝0，所以点M(a，b)在直线l1：3x－4y＋4＝0上，
所以MC的最小值为d＝＝3，切线长的最小值为＝＝.
13．已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)与直线y＝3x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，实数a的值为________．
答案　
解析　圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1(a>0)的圆心为(a，a)，半径为1，圆心到直线y＝3x的距离d＝，PQ＝2＝，所以△CPQ的面积S＝××＝.当a2＝时，10a2－4a4取得最大值，且最大值为10×－4×2＝，所以△CPQ的面积S的最大值为，此时a＝.
14．已知实数x，y满足方程y＝，则的取值范围是________．
答案　[0，]
解析　方程y＝化为(x－2)2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形是一个半圆，令＝k，即y＝kx，如图所示，当直线与半圆相切时，k＝，所以的取值范围是[0，]．


15．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝________.
答案　2
解析　圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1，

由圆的性质可知，四边形的面积S四边形PACB＝2S△PBC，
又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为
S△PBC＝1＝r×PBmin
＝PBmin，
则PBmin＝2，
因为PB＝＝，
所以当PC取最小值时，PB最小．
又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，
当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，PC最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离，所以＝＝，解得k＝±2，因为k>0，所以k＝2.

16．在△ABO中，OB＝3，OA＝4，AB＝5，P是△ABO的内切圆上的一点，求分别以PA，PB，PO为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．
解　建立如图所示的平面直角坐标系，

使A，B，O三点的坐标分别为A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)．
设△AOB的内切圆的半径为r，点P的坐标为P(x，y)，
则2r＋AB＝OA＋OB，求得r＝1，
又可求得内切圆的圆心为(1,1)，
所以内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
即x2＋y2－2x－2y＋1＝0，①
又PA2＋PB2＋PO2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25.②
将①代入②，得PA2＋PB2＋PO2＝－2x＋22.
因为P(x，y)是内切圆上的点，则0≤x≤2，
所以PA2＋PB2＋PO2的最大值为22，
最小值为18.
又三个圆的面积之和为π×2＋π×2＋π×2＝(PA2＋PB2＋PO2)，
所以分别以PA，PB，PO为直径的三个圆的面积之和的最大值为，最小值为.