【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一再练一课(范围：§2.1～§2.3)【讲义+习题】

再练一课(范围：§2.1～§2.3)

一、单项选择题

1．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是(　　)

A．x＋y＋1＝0   B．x＋y－1＝0

C．x－y＋1＝0   D．x－y－1＝0

答案　C

解析　圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为C(－1,0)，而所求直线与x＋y＝0垂直，所以待求直线的斜率为1，设待求直线的方程为y＝x＋b，将点C的坐标代入可得b＝1，所以直线的方程为x－y＋1＝0.

2．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是(　　)

A．(x－)2＋y2＝5   B．(x＋)2＋y2＝5

C．(x－5)2＋y2＝5   D．(x＋5)2＋y2＝5

答案　D

解析　设圆心C(a，0)(a<0)，

则＝，

∴|a|＝5.∴a＝－5.

∴圆C的方程为(x＋5)2＋y2＝5.

3．已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　)

A．点P在圆内   B．点P在圆上

C．点P在圆外   D．无法确定

答案　A

解析　因为a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，所以所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8，由此可知，点P(a，b)在圆内．

4．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m>3)，则两圆的位置关系是(　　)

A．相交   B．内切

C．外切   D．外离

答案　D

解析　将两圆方程分别化为标准方程得到圆C1：(x－m)2＋y2＝4，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝9，

则圆心C1(m，0)，C2(－1，m) ，半径r1＝2，r2＝3 ，两圆的圆心距C1C2＝＝>＝5＝2＋3 ，

则圆心距大于半径之和，故两圆外离．

5．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2与y轴在第二象限所围成的区域的面积为S，直线y＝2x＋b将圆C分为两部分，其中一部分的面积也为S，则实数b等于(　　)

A．－  B．±

C．－   D．±

答案　D

解析　结合图形(图略)及题意，知圆心C(1,2)到y轴的距离与到直线y＝2x＋b的距离相等，易知C(1,2)到y轴的距离为1，所以＝1，解得b＝±.

6.如图，已知直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，则△PAB面积的最大值是(　　)

A．8  B．12  C.  D.

答案　C

解析　由题意，可得A(4,0)，B(0，－3)，即OA＝4，OB＝3，所以AB＝5.根据题意，要使△PAB的面积最大，则点P到直线AB的距离最大，所以点P在过点C的AB的垂线上，过点C作CD⊥AB于点D(图略)，则CD＝＝，所以点P到直线AB的距离的最大值为1＋＝，

所以△PAB面积的最大值为×5×＝.

二、多项选择题

7．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则下列命题正确的是(　　)

A．直线l恒过定点(3,1)

B．圆C被y轴截得的弦长为4

C．直线l与圆C恒相离

D．直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0

答案　ABD

解析　将直线l的方程整理为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，

由解得

则无论m为何值，直线l恒过定点D(3,1)，故A正确；

令x＝0，则(y－2)2＝24，解得y＝2±2，

故圆C被y轴截得的弦长为4，故B正确；

因为(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，

所以点D在圆C的内部，直线l与圆C相交，故C不正确；

圆心C(1,2)，半径为5，CD＝，当截得的弦长最短时，l⊥CD，kCD＝－，

则直线l的斜率为2，此时直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，故D正确．

8．设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，则下列命题正确的是(　　)

A．不论k如何变化，圆心Ck始终在一条直线上

B．这组圆Ck中存在圆经过点(3,0)

C．存在一条定直线始终与圆Ck相切

D．若k∈，则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1

答案　ACD

解析　对于A，圆心在直线y＝x上，A正确；

对于B，若(3－k)2＋(0－k)2＝4，

化简得2k2－6k＋5＝0，Δ＝－4<0，无解，B不正确；

对于C，圆心在直线y＝x上，半径为定值2，

故定直线斜率一定为1，设定直线方程为y＝x＋b，＝2，

故存在定直线y＝x±2始终与圆Ck相切，C正确；

对于D，若圆Ck上总存在两点到原点的距离为1，

问题转化为圆x2＋y2＝1与圆Ck有2个交点，

则1<|k|<3，

解得k∈∪，故D正确．

三、填空题

9．过点P(3,5)引圆A：(x－1)2＋(y－1)2＝4的切线PB，则切线长为________.

答案　4

解析　由圆的标准方程(x－1)2＋(y－1)2＝4，得圆心A(1,1)，半径r＝AB＝2，

又点P(3,5)与A(1,1)的距离AP＝＝2，

由直线PB为圆A的切线，得到△ABP为直角三角形，

根据勾股定理得PB＝＝＝4.则切线长为4.

10．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝____________.

答案　－

解析　由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程得(x－1)2＋(y－4)2＝4，所以圆心为(1,4)，

因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，

所以＝1，

解得a＝－.

11．设直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋2x－my＝0相交于A，B两点，若点A，B关于直线l：x＋y＝0对称，则AB＝________.

答案　

解析　因为点A，B关于直线l：x＋y＝0对称，所以直线y＝kx＋1的斜率k＝1，即y＝x＋1，圆心在直线l：x＋y＝0上，所以m＝2，所以圆心为(－1,1)，半径为r＝，圆心到直线y＝x＋1的距离为d＝，所以AB＝2＝.

12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4y＋3＝0，若直线x－ty＋2＝0上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则实数t的取值范围为________．

答案　(－∞，0]

解析　由于圆C的标准方程为x2＋(y－2)2＝1，则圆C的圆心坐标为(0,2)，半径为1.若直线x－ty＋2＝0上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则只需满足圆C的圆心到直线x－ty＋2＝0的距离d≥2，即d＝≥2，解得t≤0，故实数t的取值范围为(－∞，0]．

四、解答题

13．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．

(1)判断直线l与圆C的位置关系；

(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．

解　(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，

因此直线l过定点D(1,1)，

又＝1<，

所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．

(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，

又k＝tan 120°＝－，即m＝－.

此时，圆心C(0,1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离d＝＝，

又圆C的半径r＝，

所以AB＝2＝2＝.

14.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A(看作一点)的东偏南θ角方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．

(1)10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；

(2)城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？

解　(1)如图，建立平面直角坐标系，则城市A(0,0)，当前台风中心P(30，－210)，

设t小时后台风中心P的坐标为(x，y)，

则

此时台风的半径为60＋10t，

10小时后，PA≈184.4 km，台风的半径r＝160 km，

因为r<PA，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A.

(2)t小时后台风侵袭的范围可视为以

P(30－10t，－210＋10t)为圆心，60＋10t为半径的圆，

若城市A受到台风侵袭，

则≤60＋10t

⇒300t2－10 800t＋86 400≤0，即t2－36t＋288≤0，

解得12≤t≤24.

故该城市受台风侵袭的持续时间为12小时．

15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.

(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；

(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

解　(1)由题意可知圆M的圆心为M(0,4)，半径r＝2，设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°.

在Rt△MAP中，MP2＝AM2＋AP2，故MP＝＝4.

又MP＝＝，

所以＝4，解得b＝0或b＝，

所以点P的坐标为(0,0)或.

(2)设点P的坐标为(2b，b)．

因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆，且MP的中点坐标为，

所以圆N的方程为(x－b)2＋2＝，

即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.

由解得或

所以圆N过定点(0,4)和.