【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第6练 直线与圆的位置关系【讲义+习题】

第6练　直线与圆的位置关系

一、选择题

1．直线λ：2x－y＋3＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)

A．相交   B．相切

C．相离   D．不确定

答案　A

解析　圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心C(0,1)，半径r＝，

圆心C(0,1)到直线λ：2x－y＋3＝0的距离

d＝＝<r＝，

∴直线λ：2x－y＋3＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5相交．

2．过点P(2，－1)的直线与圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5相切，则切线长为(　　)

A.  B.  C．2  D.

答案　C

解析　因为点P(2，－1)到圆C的圆心(－1,1)的距离为PC＝＝，

所以切线长为＝＝＝2.

3．圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋＝0的距离为3的点的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　A

解析　圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0的圆心坐标为(－1,1)，半径为2.

∵圆心(－1,1)到直线l：x＋y＋＝0的距离d＝＝1，

∴圆x2＋y2＋2x－2y－2＝0上到直线l：x＋y＋＝0的距离为3的点共有1个．

4．设点P(x，y)是曲线y＝－上的任意一点，则的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　曲线y＝－表示以(1,0)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．

可表示点P(x，y)与点Q(4,2)连线的斜率k，

当直线PQ与圆相切时，设直线方程为y－2＝k(x－4)，即kx－y－4k＋2＝0，

圆心到直线的距离d＝＝2，解得k＝或k＝0，

又y≤0，所以k＝，

当直线经过点A(－1,0)时，＝，

综上，k∈.

5．(多选)对于定点P(1,1)和圆C：x2＋y2＝4，下列说法正确的是(　　)

A．点P在圆内部

B．过点P有两条圆的切线

C．过点P被圆截得的弦长最大时的直线方程为x－y＝0

D．过点P被圆截得的弦长的最小值为2

答案　ACD

解析　由12＋12<4知，点(1,1)在圆内，∴A对；

由P在圆内，则过P不能作出圆的切线，∴B错；

过点P的最大弦长为直径，∴方程应为y＝x，即x－y＝0，∴C对；

过点P且弦长最小的弦应是垂直于直线CP，且过点P的弦．

又垂直于CP的直线为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，

∴弦长为2＝2，

∴D对．

二、填空题

6．直线l：y＝x截圆x2＋y2－2y＝0所得的弦长为________．

答案　

解析　根据题意，设直线l与圆相交与A，B两点，

圆x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0,1)，半径r＝1，

圆心到直线l的距离d＝＝，则弦长AB＝2×＝.

7．在平面直角坐标系xOy中，从圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向圆C引切线，则切线方程为______________________．

答案　3x－4y＋6＝0或x＝2

解析　由题意可得，若切线的斜率存在，设所求切线方程为y－3＝k(x－2)，

即kx－y＋3－2k＝0，

∴圆心到切线的距离为＝1，

解得k＝，

∴切线方程为3x－4y＋6＝0；

若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝2，符合题意，

∴所求切线方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.

8．已知直线ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为__________．

答案　2±

解析　因为直线ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，

所以圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离d＝2sin 45°＝，

因此＝，解得a＝2±.

9．已知圆C的圆心在y轴上，且与直线4x－2y＋9＝0切于点P，则圆C的圆心坐标为____________，半径r＝__________.

答案　(0,2)　

解析　设圆心C(0，n)，则C到直线4x－2y＋9＝0的距离d＝＝，

因为切点为P，所以CP＝d，即＝，

解得n＝2，所以r＝d＝.

三、解答题

10.如图，已知圆M：(x－1)2＋y2＝9，点A(－2,1)．

(1)求经过点A且与圆M相切的直线l的方程；

(2)过点P(3，－2)的直线与圆M相交于D，E两点，F为线段DE的中点，求线段AF长度的取值范围．

解　(1)当过点A的直线斜率不存在时，其方程为x＝－2，满足条件．

当切线的斜率存在时，设l：y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0，

∵圆心(1,0)到切线l的距离等于半径3，

∴＝3，解得k＝.

∴切线方程为y－1＝(x＋2)，即4x－3y＋11＝0，

故所求直线l的方程为x＝－2或4x－3y＋11＝0.

(2)由题意可得，F点的轨迹是以PM为直径的圆，记为圆C.

则圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝2，

从而AC＝＝2，

∴线段AF长度的最大值为2＋，

最小值为2－，

∴线段AF长度的取值范围为[2－，2＋]．