【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第8练 与圆有关的最值问题【讲义+习题】
展开第8练 与圆有关的最值问题
一、选择题
1．设圆x2＋y2－4x＋4y＋7＝0上的动点P到直线x＋y－3＝0的距离为d，则d的取值范围是( )
A．[0,3] B．[2,4]
C．[2,5] D．[3,5]
答案 B
解析 圆x2＋y2－4x＋4y＋7＝0的半径为1，圆心(2，－2)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝3>1，所以直线和圆相离．所以圆上的动点P到直线的距离的最大值为dmax＝3＋1＝4，最小值为dmin＝3－1＝2.故2≤d≤4.
2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆C2：(x－2)2＋(y－3)2＝4，A，B分别是圆C1和圆C2上的动点，则AB的最大值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 D
解析 圆C1的圆心C1(－1，－1)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,3)，半径r2＝2，则C1C2＝＝5>r1＋r2＝3，所以两圆相外离，AB的最大值为C1C2＋r1＋r2＝8.
3．已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )
A．9 B．8 C．4 D．2
答案 A
解析 圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心为C(0,1)．因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.因此＋＝(b＋c)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当b＝，c＝时等号成立．
4．已知圆C的圆心在圆x2＋y2＝2上，且圆C与直线l：x＋y－4＝0相切，则当圆C的面积最大时，其方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝18
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝18
答案 D
解析 如图，过圆心作直线x＋y－4＝0的垂线y＝x，垂线与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，
易知圆心在B时，所求圆的半径最大，此时面积最大，联立y＝x与x2＋y2＝2，得B(－1，－1)，圆的最大半径为＝3，面积最大的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝18.
5．(多选)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则( )
A．直线x＋y＋a＝0与直线x＋y－b＝0间的距离是定值
B．点(－a，b)一定在该圆外
C.的最小值是
D.的取值范围是(0，＋∞)
答案 ACD
解析 ∵x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，
∴d＝＝，即a＋b＝1(a，b为正实数)，直线x＋y＋a＝0与直线x＋y－b＝0间的距离是＝(定值)，故A正确；
∵(－a－b)2＋(b－1)2＝12＋a2<2(0<a<1)，
∴点(－a，b)一定在该圆内，故B错误；
表示直线a＋b＝1上的点(a，b)到原点的距离，最小为原点到直线的距离等于，故C正确；
∵＝＝(b＋1)＋－4≥0(b＋1>0)，当且仅当b＝1时取等号，
∵a＋b＝1(a，b为正实数)，
∴0<b<1，则上式等号不成立．
∴的取值范围是(0，＋∞)，故D正确．
二、填空题
6．已知圆O：x2＋y2＝1，P为圆O上一点，A(1,2)，B(3，－2)，C(4,0)，则PA2＋PB2＋PC2的最大值为__________．
答案 53
解析 设P(x，y)，则x2＋y2＝1，x∈[－1,1]，由题意可得PA2＋PB2＋PC2＝[(x－1)2＋(y－2)2]＋[(x－3)2＋(y＋2)2]＋[(x－4)2＋y2]＝3x2＋3y2－16x＋34＝－16x＋37，由于x∈[－1,1]，所以－16x＋37∈[21,53]，所以PA2＋PB2＋PC2的最大值为53.
7.设实数x，y满足(x－1)2＋y2＝1，则的最大值为__________．
答案
解析 实数x，y满足(x－1)2＋y2＝1，则的几何意义是圆上点(x，y)与(－1,0)连线的斜率，由于圆的半径为1，所以过点(－1,0)的直线与圆相切时，直线的倾斜角为30°或150°，
此时直线的斜率为或－.根据图形可知的最大值是.
8．直线l：mx－y＋1＝0截圆x2＋y2＋4x－6y＋4＝0的弦为MN，当MN取最小值时，m的值为________．
答案 1
解析 所给圆的圆心为C(－2,3)，半径为3.又直线l过定点A(0,1)，而点A在圆C内，所以当直线l与AC垂直时，弦MN的长最小，则m＝－＝－＝1.
9．阿波罗尼奥斯(古希腊数学家，约公元前262－190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，AC＝6，sin C＝2sin A，则△ABC的面积最大值为________．
答案 12
解析 ∵在△ABC中，AC＝6，sin C＝2sin A，即＝2，根据阿波罗尼斯圆的性质，点B的轨迹为圆(去掉两个点)，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B(x，y)，
则＝2，化为(x－5)2＋y2＝16，
∴点B的轨迹为以M(5,0)为圆心，4为半径的圆，去掉两个点(1,0)，(9,0)，
∴当MB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC＝·AC·MB＝×6×4＝12.
三、解答题
10．已知点A(1,1)和圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，一束光线从A发出，经x轴反射后到达圆C.
(1)求光线所走过的最短路径长；
(2)若P为圆C上任意一点，求x2＋y2－2x－4y的最大值和最小值．
解 (1)A(1,1)关于x轴的对称点为A′(1，－1)，
由圆C：(x＋2)2＋(y－2)2＝1知圆心坐标为C(－2,2)，
∴A′C＝＝3，
即光线所走过的最短路径长为3－1.
(2)x2＋y2－2x－4y＝(x－1)2＋(y－2)2－5.
(x－1)2＋(y－2)2表示圆C上一点P(x，y)到点(1,2)的距离的平方，
由题意，得[(x－1)2＋(y－2)2]min＝22＝4，[(x－1)2＋(y－2)2]max＝42＝16.
因此，x2＋y2－2x－4y的最大值为11，最小值为－1.
