【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§3.3 习题课 抛物线的标准方程及性质的应用【讲义+习题】

习题课　抛物线的标准方程及性质的应用
学习目标　1.了解抛物线的简单应用.2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题.3.掌握与抛物线有关的轨迹求法．
一、直线与抛物线的位置关系
问题1　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系．
提示　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点．

知识梳理
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
注意点：
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
例1　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
解　联立消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，
∴直线l与C只有一个公共点，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
反思感悟　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点．
跟踪训练1　已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
答案　[－1，1]
解析　由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0 二、弦长问题
问题2　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫作焦点弦，如图．如何求弦AB的长度？

提示　1.利用弦长公式．
2．根据抛物线的定义AB＝x1＋x2＋p.
知识梳理
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝x1＋x2＋p.
例2　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB＝p，求AB所在的直线方程．
解　由题意知焦点F，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则AB＝2p≠p，不满足题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0.
由
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
所以AB＝
＝·
＝2p＝p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0
或2x＋y－p＝0.
延伸探究
若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．
解　如图，过A，B，M分别作准线x＝－的垂线交准线于点C，D，E.

由定义知AC＋BD＝p，
则梯形ABDC的中位线ME＝p，
∴点M到y轴的距离为p－＝p.
反思感悟　求弦长问题的方法
(1)一般弦长：AB＝|x1－x2|，
或AB＝|y1－y2|.
(2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则AB＝x1＋x2＋p.
跟踪训练2　已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．
(1)若AB＝10，求实数m的值；
(2)若OA⊥OB，求实数m的值．
解　由
得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，
y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.
(1)因为AB＝
＝·＝10，
所以m＝，经检验符合题意．
(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，
解得m＝－8或m＝0(舍去)．
所以m＝－8，经检验符合题意．
三、抛物线的轨迹问题
例3　设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且AB＝2，求实数k的值．
解　(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则PN＝y，由题意知PM－PN＝，
∴＝y＋，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y化简得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵AB＝·
＝·＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
反思感悟　求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．

跟踪训练3　若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．
解　设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2，0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以MC＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以MC＝d＋1.
即动点M到定点C(2，0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且＝2，p＝4，
故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝8x.

1．知识清单：
(1)直线和抛物线的位置关系．
(2)抛物线的弦长问题．
(3)抛物线的轨迹问题．
2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．
3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．

1．动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
答案　D
解析　依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，
设P到直线x＋2＝0的距离为d，则PF＝d＋1，
所以动点P到F(3，0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.
2．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若AB＝8，则线段AB的中点Q的横坐标为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　B
解析　由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，
如图所示，线段AB的中点为Q，准线为l，分别作AM⊥l，BN⊥l，QP⊥l，M，N，P为垂足，

若AB＝8，
由抛物线的性质可得BN＋AM＝8，
所以PQ＝4，
设Q(x，y)，
则x＋1＝4，解得x＝3.
3．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.
答案　(4，2)
解析　由得x2－8x＋4＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4，2)．
4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
答案　0或1
解析　当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，
当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.
综上，k＝0或1.

一、选择题
1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆心C的轨迹为(　　)
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
答案　A
解析　设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，所以圆心C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故圆心C的轨迹是抛物线．
2．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，AF·BF＝16，则p的值为(　　)
A．2 B．4 C．2 D．8
答案　C
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，
准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴直线AB的方程为y＝x－，
代入y2＝2px可得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，
由抛物线的定义可知，AF＝x1＋，BF＝x2＋，
∴AF·BF＝
＝x1x2＋(x1＋x2)＋
＝＋p2＋
＝2p2＝16，
解得p＝2.
3．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且OE＝，则p等于(　　)
A．2 B．3 C．6 D．12
答案　A
解析　由题意可知F，则直线AB为y＝x－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得相减得，
y－y＝2p(x1－x2)⇒y1＋y2＝2p，
因为E为线段AB的中点，
所以E，即E，
因为E在直线AB：y＝x－上，所以E，
又因为OE＝，所以p＝2.
4．设抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x＋4y＋12＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　)
A．2 B. C. D．3
答案　A
解析　由
得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故方程无解，
∴直线3x＋4y＋12＝0与抛物线相离．
又d1＋d2＝d1＋1＋d2－1，
而d1＋1为P到准线x＝－1的距离，
故d1＋1为P到焦点F(1，0)的距离，
从而d1＋1＋d2的最小值为F到直线3x＋4y＋12＝0的距离，
即＝3，
故d1＋d2的最小值为2.
二、填空题
5．已知抛物线C：y2＝2x，斜率为k的直线l过定点M(x0，0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧，·＝3(O为坐标原点)，则x0＝________.
答案　3
解析　设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
与抛物线方程联立可得
消去y并整理可得，
k2x2－(2k2x0＋2)x＋k2x＝0，
由根与系数的关系可得，x1x2＝x，
则y1y2＝－＝－2x0，
∵·＝3，
∴x1x2＋y1y2＝3，
即x－2x0＝3，
解得x0＝3(负值舍去)．
6．已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
答案　32
解析　设AB的方程为x＝my＋4，
代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
所以y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，
当m＝0时，y＋y的最小值为32.
三、解答题
7．已知抛物线C：x2＝4y，过点P(1，0)作直线l.
(1)若直线l的斜率存在，且与抛物线C只有一个公共点，求直线l的方程．
(2)若直线l过抛物线C的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，求弦长AB.
解　(1)设直线l的方程为y＝k(x－1)，
联立消y得x2－4kx＋4k＝0.
则Δ＝16k2－16k＝0，
解得k＝0或k＝1.
∴直线l的方程为y＝0或y＝x－1.
(2)抛物线C的焦点为F(0，1)，
则直线l的方程为y＝－x＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
消x得y2－6y＋1＝0，则y1＋y2＝6.
∴AB＝y1＋y2＋2＝8.
8．已知抛物线y2＝2x，过点Q(2，1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程．
解　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，则y1＋y2＝2y，当直线AB的斜率存在时，kAB＝＝.
易知
①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，
所以2y·＝2，
即2y·＝2，
即2＝x－(y≠0)．
当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为(2，0)，适合上式，故所求轨迹方程为2＝x－.
方法二　当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)(k≠0)，
由
得y2－y＋1－2k＝0，
则
所以k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为P(x，y)，
则y1＋y2＝，
y1y2＝.
所以x1＋x2＝(y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝＝.
则x＝＝，
y＝＝，
消去k得2＝x－(y≠0)．
当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为(2，0)，适合上式．
故所求轨迹方程为2＝x－.
9.如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.

(1)求以M(1，1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；
(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
解　(1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在．
设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y＝4x1，y＝4x2，kPQ＝＝＝2，
∴所求直线方程为2x－y－1＝0.
(2)依题意知，直线m，n的斜率存在，设直线m的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，其两根为x3，x4，且x3＋x4＝＋2.
由抛物线的定义可知，AB＝2＋x3＋x4＝＋4，
同理，CD＝4k2＋4，
∴四边形ACBD的面积S＝(4k2＋4)·＝8≥32.当且仅当k＝±1时取得最小值．