【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第12练 双曲线的标准方程【讲义+习题】

第12练　双曲线的标准方程

一、选择题

1．设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，PF1＝6，则PF2为(　　)

A．13  B．14  C．15  D．17

答案　B

解析　双曲线C：x2－4y2＋64＝0化为双曲线C：－＝1，

得a＝4，b＝8，c＝4，

又点P为C上一点，PF1＝6，

则|PF2－PF1|＝2a＝8，解得PF2＝14或PF2＝－2(舍)，

∴PF2＝14.

2．已知A(0，－2)，B(0,2)，C(3,2)，动点P满足PA＋AC＝PB＋BC，则点P的轨迹是(　　)

A．椭圆   B．双曲线

C．射线   D．双曲线的一支

答案　D

解析　PA＋AC＝PB＋BC，即PB－PA＝AC－BC，其中AC＝＝5，BC＝3，AB＝4.

所以PB－PA＝5－3＝2<AB，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支．

3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)

A．1  B.  C．2  D．3

答案　A

解析　因为椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，所以a>0，且椭圆的焦点应该在x轴上，所以4－a2＝a＋2，所以a＝－2或a＝1，

因为a>0，所以a＝1.

4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由x2－y2＝2，知a2＝2，b2＝2，c2＝a2＋b2＝4，

∴a＝，c＝2，

又∵PF1－PF2＝2a，PF1＝2PF2，

∴PF1＝4，PF2＝2.

又∵F1F2＝2c＝4，

∴由余弦定理得

cos∠F1PF2＝＝.

5．(多选)若α∈(0，π)，方程x2＋y2cos α＝1表示的曲线可以是(　　)

A．直线   B．圆

C．椭圆   D．双曲线

答案　ACD

解析　当α＝，即cos α＝0时，x2＝1，得x＝±1表示垂直于x轴的直线，故A正确；

当α∈时，0<cos α<1，方程x2＋y2cos α＝1表示椭圆，故C正确；

当α∈时，－1<cos α<0，

方程x2＋y2cos α＝1表示双曲线，故D正确．

二、填空题

6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.

答案　16

解析　由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，

所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.

7．双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为 ______.

答案　

解析　双曲线－＝1的右焦点(3,0)，所以右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为d＝＝.

8．动点P与点F1(0,5)与点F2(0，－5)满足PF1－PF2＝6，则点P的轨迹方程为________________．

答案　－＝1(y≤－3)

解析　由PF1－PF2＝6<F1F2知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且c＝5,2a＝6，

∴a＝3，∴b2＝16，

故动点P的轨迹方程是－＝1(y≤－3)．

9．以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为__________．

答案　－＝1

解析　由椭圆方程可知所求双曲线的焦点为(－5,0)，(5,0)，

顶点为(－4,0)，(4,0)．则设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，

所以a＝4，c＝5，则b＝＝3.

所以所求双曲线方程为－＝1.

三、解答题

10．求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)与双曲线－＝1共焦点，经过点(－5,2)；

(2)设圆C与两圆C1：(x＋2)2＋y2＝1，C2：(x－2)2＋y2＝1中的一个内切，另一个外切．求圆心C的轨迹E的方程．

解　(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∴c2＝4＋2＝6，即a2＋b2＝6.①

∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1.②

由①②得a2＝5，b2＝1，双曲线的标准方程为－y2＝1.

(2)圆C与两圆C1：(x＋2)2＋y2＝1，C2：(x－2)2＋y2＝1中的一个内切，另一个外切，

则|CC2－CC1|＝2<C2C1＝4，

∴C的轨迹是以C1(－2,0)，C2(2,0)为焦点，2为实轴长的双曲线，即2a＝2,2c＝4，a＝1，c＝2，b＝，其标准方程为x2－＝1.