【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§4.1 第2课时 数列的递推公式【讲义+习题】

第2课时　数列的递推公式
学习目标　1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项.2.进一步理解数列与函数的关系．
导语
同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时的问题1.
一、数列的递推公式
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位．
问题1　写出前五排座位数．
提示　20，22，24，26，28.
问题2　第n排与第n＋1排座位数有何关系？
提示　第n＋1排比第n排多2个座位．
问题3　第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？
提示　能．an＋1＝an＋2.
知识梳理
一般地，如果已知一个数列的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．
注意点：(1)通项公式反映的是an与n之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项．
例1　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 022.
解　a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1，
…
∴{an}是周期为4的数列，
∴a2 022＝a4×505＋2＝a2＝－3.
反思感悟　递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性．
跟踪训练1　已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　)
A．1 B. C. D.
答案　C
解析　a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.
二、由递推公式求通项公式
例2　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为
a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，
a3＝＋－＝2－＝，
a4＝＋－＝2－＝，
a5＝＋－＝2－＝，
又a1＝1，
由此可得数列的一个通项公式为
an＝.
方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－，
a3＝a2＋－，…，
an＝an－1＋－(n≥2)，
则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－
＝2－＝(n≥2)．
又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)．
方法三　(累加法)　an＋1－an＝－，
a1＝1，
a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…
an－an－1＝－(n≥2)，
以上各项相加得
an＝1＋1－＋－＋…＋－.
所以an＝(n≥2)．
因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)．
(2)已知数列满足a1＝1，an＋1＝an，则an等于(　　)
A．n＋1 B．n
C. D.
答案　D
解析　由题意，因为数列满足an＋1＝an，所以＝，
所以an＝··…···a1＝××…×××1＝.
反思感悟　由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．
(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法．

跟踪训练2　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，求an.
解　因为an＝an－1＋－(n≥2)，
所以an－an－1＝－.
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1
＝－＋1.
又a1＝1也符合上式，
所以an＝－＋1，n∈N*.
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an.
解　因为ln an－ln an－1＝1，
所以ln＝1，
即＝e(n≥2)．
所以an＝··…··a1

＝en－1(n≥2)，
又a1＝1也符合上式，
所以an＝en－1，n∈N*.
三、数列的函数特征
问题4　在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？
提示　函数．
知识梳理
通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
注意点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数解析式．(2)数列还可以用列表法、图象法表示．
例3　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
解　方法一　an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝，
当n0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an0，
所以＝