【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§4.2 习题课 等差数列前n项和性质的综合问题【讲义+习题】

习题课　等差数列前n项和性质的综合问题
学习目标　1.掌握总项数为奇数项或偶数项时前n项和的特点.2.掌握含绝对值的等差数列的前n项和的求法．
一、等差数列中奇、偶项的和
问题1　我们知道等差数列前n项和公式中的n表示等差数列的项数，你能利用公式表示S2n，S2n－1吗？
提示　S2n＝＝n(a1＋a2n)，S2n－1＝，由等差数列的性质m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq可知，a1＋a2n＝an＋an＋1，a1＋a2n－1＝2an，即S2n＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an，发现总项数为偶数项时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数项时，其和可用中间一项表示．
问题2　当总项数为2n项时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？
提示　S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
＝＝nan，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝＝nan＋1，
则有S偶－S奇＝nan＋1－nan＝n(an＋1－an)＝nd，
＝＝.
问题3　当总项数为2n－1项时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？
提示　S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
＝＝nan，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n－2＝＝(n－1)an，
则有S奇－S偶＝an，＝.
知识梳理
1．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝.
2．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝.
3．设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝.
注意点：(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数；(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半．
例1　(1)在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
答案　2
解析　由
得
所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
(2)有两个等差数列{an}，{bn}满足＝，求.
解　方法一　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
则＝
＝，
则有＝，①
又由于＝，②
观察①②，可在①中取n＝9，得＝＝.故＝.
方法二　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，
则有＝，其中An＝，
由于a1＋a9＝2a5.
即＝a5，
故A9＝＝a5×9.
同理B9＝b5×9.
故＝.
故＝＝＝.
方法三　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，
因为等差数列的前n项和为Sn＝an2＋bn
＝an，
根据已知，可令An＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn(k≠0)．
所以a5＝A5－A4
＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，
b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.
所以＝＝.
方法四　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，由＝，有＝＝＝.
反思感悟　一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项．
跟踪训练1　(1)等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
答案　C
解析　∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝132，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ＝120，
∴S奇－S偶＝a2n＋1－nd＝an＋1＝12，
∴S2n＋1＝S奇＋S偶＝252＝＝an＋1＝12，
解得n＝10.
(2)已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．
答案　－4
解析　设等差数列{an}的项数为2m，
∵末项与首项的差为－28，
∴a2m－a1＝(2m－1)d＝－28，①
∵S奇＝50，S偶＝34，
∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md，②
由①②得d＝－4.
(3)若等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，＝，则＝________.
答案　
解析　由等差数列前n项和性质，得＝＝＝＝.
二、含绝对值的等差数列的前n项和
问题4　已知等差数列an＝2n－9，求{|an|}的前n项和．
提示　设{an}的前n项和为Sn，{|an|}的前n项和为Tn.
则当n≤4时，Tn＝－Sn＝－n2＋8n，
当n≥5时，Tn＝(－a1)＋(－a2)＋(－a3)＋(－a4)＋a5＋a6＋…＋an＝－S4＋(Sn－S4)
＝Sn－2S4＝n2－8n＋32.
∴Tn＝
知识梳理
1．若一个等差数列a10，且ak≤0，ak＋1>0，则其绝对值的前n项和为Tn＝n∈N*.
2．若一个等差数列a1>0，d|a7|，且公差d0，则2n－5>0，
∴n≥3.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.
12．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且满足＝，则等于(　　)
A. B. C. D．1
答案　D
解析　由题意，令Sn＝kn(2n＋1)，
Tn＝kn(3n＋2)，
∴＝＝＝1.
13．已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝(n∈N*)，则＋＝________.
答案　
解析　因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，
所以＋＝＝＝＝＝.
14．已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶数项的和之比为________．
答案　
解析　由题意，得等差数列共有11项，所以奇数项的和为S奇＝＝6a6，
其偶数项的和为S偶＝＝5a6，
所以其奇数项的和与偶数项的和之比为.

15．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意，得数列{an}为等差数列，a1＝6，S30＝11×40＋3×10＝470，
设数列{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式，得
S30＝30×6＋d＝470，解得d＝，
所以an＝6＋×＝n＋，
a1＋a3＋…＋a29＝＝15a15，
a2＋a4＋…＋a30＝＝15a16，
所以＝＝＝.
16．已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)因为数列是公差为2的等差数列，且＝a1＝1，所以＝1＋×2＝2n－1，所以Sn＝2n2－n，
又因为an＝Sn－Sn－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3，
又因为a1＝1符合上式，所以an＝4n－3，n∈N*.
(2)因为bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)，
当n为偶数时，Tn＝(－1)＋5＋(－9)＋13＋…＋[－(4n－7)]＋(4n－3)，
所以Tn＝[(－1)＋5]＋[(－9)＋13]＋…＋{[－(4n－7)]＋(4n－3)}＝4×＝2n，
当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝2(n－1)＋[－(4n－3)]＝1－2n，
综上可知，Tn＝