【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§4.2 习题课 等差数列的综合问题【讲义+习题】

习题课　等差数列的综合问题
学习目标　1.体会等差数列与一元一次函数的关系.2.掌握等差数列判断与证明的方法.3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用．
导语
当数列是等差数列时，可以根据公式进行一些计算，但对数列来说，如何判断是否为等差数列呢？
一、等差数列的通项公式与函数的关系
问题　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
提示　由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，记为d＝(n≥2)，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d＝，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d0，a8＝－11)，记bn＝”．
(1)试证明数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝＝.
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)解　由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n.
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2，n∈N*.
反思感悟　判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．
跟踪训练2　已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，又b1＝＝1，
∴{bn}是首项为1，公差为的等差数列．
(2)解　由(1)知bn＝n＋，
∴an－1＝，
∴an＝.
三、等差数列的实际应用
例3　有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
解　设某单位需购买电视机n台，在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，
an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元，购买台数超过18台时，每台售价440元．
到乙商场购买时，每台售价为
800×75%＝600(元)．
比较在甲、乙两家家电商场的费用
(800－20n)n－600n＝20n(10－n)．
当n600n，到乙商场购买花费较少；
当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；
当10a1
B．若a2>a1，则a3>a2
C．若a3>a1，则a2>a1
D．若a2>a1，则a1＋a2>a1
答案　D
解析　利用等差数列的单调性可得，若a2>a1，则公差d>0，所以等差数列{an}是递增数列，
所以a3－a1＝2d>0，a3－a2＝d>0成立，所以A，B正确；
若a3>a1，则a3－a1＝2d>0，所以a2－a1＝d>0成立，所以C正确；
a1＋a2>a1不一定成立，例如a10，解得n>25.5，
∵n∈N*，
∴n≥26，
故从第26项开始值大于零．
8．已知在数列中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10＝________.
答案　
解析　由＝＋，得－＝，
∴数列是以＝1为首项，以为公差的等差数列，
则＝1＋(n－1)＝，
∴an＝，则a10＝＝.
9．画出数列an＝的图象，并求经过图象上所有点的直线的斜率．
解　画出图象如图所示．

由图象可得，直线的斜率k＝1.
10．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N*)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　由＝
＝＝＝
＝＋，
得－＝，
故数列是首项为1，公差为的等差数列．
(2)解　由(1)知＝＋(n－1)×＝，
所以an＝，n∈N*.

11．设{an}是等差数列，则“a1