【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§4.3 习题课 利用递推公式构造等差、等比数列求通项【讲义+习题】

习题课　利用递推公式构造等差、等比数列求通项
学习目标　1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法.2.会用构造公式法解决一些简单的问题．
一、利用递推公式构造等差数列求通项
例1　已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式．
解　因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，得＝＋1，即－＝1，所以是以为首项，以1为公差的等差数列，即＝＋(n－1)×1，所以an＝×2n.
延伸探究　
1.本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n＋1”，其余不变，求数列{an}的通项公式．
解　等式两边同时除以2n，得＝＋2，即－＝2，所以是以为首项，以2为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×2，即an＝×2n.
2．本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n－1”，其余不变，求数列{an}的通项公式．
解　等式两边同时除以2n，得＝＋，即－＝，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×，
即an＝n×2n－1.
反思感悟　形如an＝pan－1＋pn(p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤
第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn－1或pn＋1，都同除以pn，目的是使数列的下标与p的指数相对应．
第二步：写出数列的通项公式．
第三步：写出数列{an}的通项公式．
跟踪训练1　已知数列{an}满足＝＋，且a1＝1，求数列{an}的通项公式．
解　由题意，等式两边同乘2n，得＝＋1，即－＝1，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1，即an＝.
二、利用递推公式构造等比数列求通项
例2　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求{an}的通项公式．
解　∵an＋1＝2an＋1，an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，∴t＝1，
即an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1.
延伸探究　
已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋n＋1，求an.
解　令an＋1－A·n＋1＝，
则an＋1＝an＋·n＋1.
由已知条件知＝1，得A＝3，
所以an＋1－3×n＋1＝.
又a1－3×1＝－≠0，
所以是首项为－，公比为的等比数列．
于是an－3×n＝－×n－1，
故an＝3×n－2×n.
反思感悟　(1)形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：
第一步：假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；
第二步：由待定系数法，解得t＝；
第三步：写出数列的通项公式；
第四步：写出数列{an}的通项公式．
(2)形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式的一般步骤类似于形如an＋1＝pan＋q求通项公式的步骤，要注意数列的下标与q的指数的对应关系．
跟踪训练2　(1)已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.证明数列{an＋4}是等比数列．并求数列{an}的通项公式．
解　∵a1＝－2，∴a1＋4＝2.
∵an＋1＝2an＋4，
∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，
∴＝2，
∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴an＋4＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－4.
(2)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2n＋1且a1＝1，求数列{an}的通项公式．
解　由题意得，an＋1＋A·2n＋1＝3(an＋A·2n)，
即an＋1＝3an＋A·2n，故A＝2，
所以an＋1＋2n＋2＝3(an＋2n＋1)，
所以{an＋2n＋1}是以5为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n＋1＝5·3n－1，即an＝5·3n－1－2n＋1.

1．知识清单：
(1)形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式．
(2)形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式．
(3)形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式．
2．方法归纳：构造法．
3．常见误区：构造的新的数列的首项易误认为还是a1.

1．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4，则a2 022的值为(　　)
A．32 020 B．32 020＋2 C．32 021＋2 D．32 021－2
答案　C
解析　因为an＋1＝3an－4，an＋1＋t＝3(an＋t)，即an＋1＝3an＋2t，所以2t＝－4，t＝－2，即an＋1－2＝3(an－2)，所以{an－2}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n－1，an＝3n－1＋2，所以a2 022＝32 021＋2.
2．已知数列{an}满足a1＝3，an＝3an－1－3n，则数列{an}的通项公式是(　　)
A．an＝－n B．an＝n
C．an＝(2－n)·3n D．an＝n·3n
答案　C
解析　因为an＝3an－1－3n，所以－＝－1，故是以1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝1－(n－1)＝2－n，即an＝(2－n)·3n.
3．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3·5n，a1＝6，则数列{an}的通项公式an等于(　　)
A．an＝2n－1＋5n B．an＝2n－1－5n
C．an＝2n－1 D．an＝21n－15
答案　A
解析　设an＋1＋x·5n＋1＝2(an＋x·5n)，①
将an＋1＝2an＋3·5n代入①式，得2an＋3·5n＋x·5n＋1＝2an＋2x·5n，
等式两边消去2an，得3·5n＋x·5n＋1＝2x·5n，两边除以5n，得3＋5x＝2x，则x＝－1，
代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n)，②
由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，
则＝2，
则数列{an－5n}是以a1－51＝1为首项，以2为公比的等比数列，
所以an－5n＝2n－1，所以an＝2n－1＋5n.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝_______.
答案　47
解析　∵an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，
即Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，
∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，
∴数列{Sn＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2.
则S5＋1＝3×24，解得S5＝47.
　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知数列{an}满足an＋1＝kan－1，若数列{an-1}是等比数列，则k等于(　　)
A．1 B．－1 C．－2 D．2
答案　D
解析　由an＋1＝kan－1，得an＋1－1＝kan－2＝
k.
由于数列{an－1}是等比数列，
∴＝1，得k＝2.
2．已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝2Sn，n∈N*，S2＝4，则a2 022等于(　　)
A．22 022 B．42 022 C．42 021 D．22 021
答案　D
解析　由Sn＋1＝2Sn，S2＝4可知，S1＝2，＝2，
故{Sn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
故通项公式为Sn＝2×2n－1＝2n，
所以a2 022＝S2 022－S2 021＝22 022－22 021＝22 021×＝22 021.
3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的通项公式an等于(　　)
A．2n B．n(n＋1)
C. D.
答案　C
解析　∵an＋1＝an＋，
∴2n＋1an＋1＝2nan＋2，
即2n＋1an＋1－2nan＝2.
又21a1＝2，
∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴2nan＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴an＝.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an＋1＋n－2，n∈N*，a1＝2，则{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n－1－1 B．an＝2n－1
C．an＝2n－1＋1 D．an＝2n
答案　C
解析　由Sn＝an＋1＋n－2①得Sn－1＝an＋n－3(n≥2)②，
由①－②可得an＋1＝2an－1(n≥2)，
所以an＋1－1＝2(an－1)(n≥2)，
又S1＝a2＋1－2，a1＝2，则a2＝3，即a2－1＝2(a1－1)，
因此{an－1}是以a1－1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以an－1＝2n－1，即an＝1＋
2n－1.
5．将一些数排成倒三角形如图所示，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2 021，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于(　　)
1　2　3　…　2 019　2 020　2 021
3　5　7　…　4 039　4 041
8　12　…　　　8 080
…　　　　…
…
M
A．2 021·22 018 B．2 022·22 019
C．2 021·22 019 D．2 022·22 020
答案　B
解析　记第n行的第一个数为an，
则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2，
∴＝＋1，即是以＝2为首项，1为公差的等差数列．
∴＝2＋×1＝n＋1，
∴an＝(n＋1)·2n－2.
又每行比上一行的数字少1个，
∴最后一行为第2 021行，
∴M＝a2 021＝2 022×22 019.
6．(多选)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是(　　)
A．数列{Sn＋n}为等比数列
B．数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1
C．数列{an＋1}为等比数列
D．数列{Sn－Sn－1＋1}为等比数列
答案　AD
解析　因为Sn＋1＝2Sn＋n－1，所以＝＝2.又S1＋1＝2，所以数列{Sn＋n}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
所以Sn＋n＝2n，则Sn＝2n－n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，但a1≠21－1－1，故B错误；
由a1＝1，a2＝1，a3＝3可得a1＋1＝2，a2＋1＝2，a3＋1＝4，即≠，故C错误；
由Sn＝2n－n，所以Sn－Sn－1＋1＝2n－n－2n－1＋n－1＋1＝2n－1，故D正确．
7．在数列{an}中，a1＝3，nan＋1＝(n＋1)an＋2n(n＋1)，则an＝________.
答案　n(2n＋1)
解析　由题意，等式两边同除n(n＋1)可得：
＝＋2，即－＝2，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，所以＝3＋2(n－1)＝2n＋1，即an＝n(2n＋1)．
8．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.
1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．依此类推，假设n个月后共有老鼠an只，则a12＝________.
答案　2×712
解析　设n个月后共有an 只老鼠，且雌雄各半，
所以n＋1个月后的老鼠只数an＋1满足an＋1＝an＋12×(n∈N*)，
所以an＋1＝an＋6an，
即an＋1＝7an(n∈N*)，
又因为a1＝14≠0，所以＝7，
所以数列{an}是以14为首项，7为公比的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝14×7n－1＝2×7×7n－1＝2×7n，
即an＝2×7n(n∈N*)，
当n＝12时，a12＝2×712.
9．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.
(1)求a1的值；
(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．
(1)解　因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，
解得a1＝3.
(2)证明　因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋n－1－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，
即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，
又bn＝an－1，
所以bn＝2bn－1，
且b1＝a1－1＝2≠0，
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列．
10．某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出200万元进行科研技术发行与广告投资方能保持原有的利润增长率．问至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2≈0.3)
解　设该项目n年后资金数为an，n∈N*.
则由已知得an＋1＝an(1＋25%)－200，
即an＋1＝an－200.
令an＋1－x＝，即an＋1＝an－，
由＝200，得x＝800.
∴an＋1－800＝(an－800).
故数列{an－800}是以a1－800为首项，为公比的等比数列．
∵a1＝1 000×(1＋25%)－200＝1 050，
∴a1－800＝250，
∴an－800＝250×n－1，
∴an＝800＋250×n－1(n∈N*)，
由题意知an≥4 000，∴800＋250×n－1≥4 000，
即n≥16.
两边取常用对数得nlg ≥lg 16，即n≥4lg 2.
∵lg 2≈0.3，∴不等式化为0.1n≥1.2，∴n≥12.
故至少要经过12年，该项目资金才可达到或超过翻两番的目标．

11．已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋2，则{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n－1 B．an＝3n－1
C．an＝22n－1 D．an＝6n－4
答案　B
解析　由an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，＝3，
所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝3，公比为3的等比数列，所以an＋1＝3×3n－1＝3n，
所以an＝3n－1.
12．在数列{an}中，a1＝5，且满足－2＝，则数列的通项公式为(　　)
A．an＝2n－3 B．an＝2n－7
C．an＝(2n－3)(2n－7) D．an＝2n－5
答案　C
解析　因为－2＝，
所以－＝2，
又＝－1，所以数列是以－1为首项，公差为2的等差数列，
所以＝－1＋2＝2n－3，所以an＝.
13．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝.若bn＝log2，则数列的通项公式为(　　)
A．bn＝n B．bn＝n－1
C．bn＝n D．bn＝2n
答案　C
解析　由an＋1＝，得＝1＋，
所以＋1＝2，
又＋1＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以＋1＝2·2n－1＝2n，
所以bn＝log2＝log22n＝n.
14．若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，则a6＝________.
答案　2 016
解析　因为an＋1＝4an＋2n，
所以an＋1＋2n＝4(an＋2n－1)，
所以数列{an＋2n－1}是首项为2，公比为4的等比数列，则an＋2n－1＝2×4n－1，
可得an＝22n－1－2n－1，
则a6＝22×6－1－26－1＝211－25＝2 016.

15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第m次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，则数列{an}的前n项和为______________．
答案　
解析　an＝log2，
所以an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)…·xt·(xt·2)·2]
＝log2(12·x·x·x…·x·22)＝3an－1，
所以an＋1－＝3，
所以数列是一个以为首项，以3为公比的等比数列，
所以an－＝×3n－1，∴an＝，
所以Sn＝×＋＝.
16．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：是等比数列；
(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
(1)解　根据根与系数的关系，得
代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，
得－＝3.
所以an＋1＝an＋.
(2)证明　因为an＋1＝an＋，
所以an＋1－＝.
若an＝，则方程anx2－an＋1x＋1＝0，
可化为x2－x＋1＝0，即2x2－2x＋3＝0.
此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，
所以an≠，即an－≠0.
所以数列是以为公比的等比数列．
(3)解　当a1＝时， a1－＝，
所以数列是首项为，
公比为的等比数列．
所以an－＝×n－1＝n，
所以an＝＋n，n∈N*，
即数列{an}的通项公式为an＝＋n，n∈N*.