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    【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§4.3 习题课 等比数列的性质【讲义+习题】

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    【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§4.3 习题课 等比数列的性质【讲义+习题】

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    习题课 等比数列的性质
    学习目标 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质,并能运用这些性质简化运算.2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.
    导语
    在我们学习等比数列的过程中,发现它与等差数列有相似之处,这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想,类比的前提大多为结论提供线索,它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域,由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论,有人曾说“类比使人聪颖,数学使人严谨,数学使人智慧”,今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质.
    一、由等比数列构造新等比数列
    问题1 结合我们所学,你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗?
    提示

    等差数列
    等比数列
    定义
    如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列
    如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫作等比数列
    符号表示
    an-an-1=d(n≥2,n∈N*)
    =q(n≥2,n∈N*)
    通项公式
    an=a1+(n-1)d
    an=a1qn-1
    类比
    差⇒商;和⇒积,积⇒乘方
    性质
    等差数列首项a1,公差d
    等比数列首项a1,公比q
    把等差数列前k项去掉,得到一个以ak+1为首项,以d为公差的等差数列
    把等比数列前k项去掉,得到一个以ak+1为首项,以q公比的等比数列
    等差数列中,ak,ak+m,ak+2m…是以公差为md的等差数列
    等比数列中,ak,ak+m,ak+2m…是以公比为qm的等比数列
    等差数列中任意一项加上同一个常数,构成一个公差不变的等差数列
    等比数列中任意一项同乘一个非零常数,构成一个公比不变的等比数列
    两个等差数列相加,还是一个等差数列
    两个等比数列相乘,还是一个等比数列

    知识梳理
    1.在等比数列{an}中,每隔k项(k∈N*)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.
    2.若{an}是等比数列,公比为q,则数列{λan}(λ≠0),,{a}都是等比数列,且公比分别是q,,q2.
    3.若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,那么{anbn}与也都是等比数列,公比分别为pq和.
    注意点:在构造新的等比数列时,要注意新数列中有的项是否为0,比如公比q=-1时,连续相邻偶数项的和都是0,故不能构成等比数列.
    例1 如果数列是等比数列,那么下列数列中不一定是等比数列的是(  )
    A. B.
    C. D.
    答案 D
    解析 取等比数列an=(-1)n,则an+an+1=0,所以{an+an+1}不是等比数列,故D错误;
    对于其他选项,均满足等比数列通项公式的性质.
    反思感悟 由等比数列构造新的等比数列,一定要检验新的数列中的项是否为0,主要是针对q0,求an.
    解 设等比数列{an}的公比为q.
    (1)由得q=.
    再由a3+a6=a3·(1+q3)=36得a3=32,
    则an=a3·qn-3=32×n-3=n-8=,
    所以n-8=1,所以n=9.
    (2)由a7=a5·q2得q2=.
    因为an>0,所以q=,
    所以an=a5·qn-5=8×n-5=n-8.
    反思感悟 等比数列的通项公式及变形的应用
    (1)在已知等比数列的首项和公比的前提下,利用通项公式an=a1qn-1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.
    (2)在已知等比数列中任意两项的前提下,利用an=amqn-m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.
    跟踪训练2 (1)在等比数列{an}中,如果a1+a4=18,a2+a3=12,那么这个数列的公比为(  )
    A.2 B. C.2或 D.-2或
    (2)已知等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则等于(  )
    A.16 B.8 C.4 D.2
    答案 (1)C (2)C
    解析 (1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0),∵a1+a4=18,a2+a3=12,∴a1(1+q3)=18,a1(q+q2)=12,q≠-1,化为2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.
    (2)等比数列{an}中,设其公比为q(q≠0),a3=2,a4a6=a3q·a3q3=aq4=4q4=16,∴q4=4.
    ∴==q4=4.
    三、等比数列中多项之间的关系
    问题3 结合上面的类比,你能把等差数列里面的am+an=ak+al,类比出等比数列中相似的性质吗?
    提示 类比可得aman=akal,其中m+n=k+l,m,n,k,l∈N*.
    推导过程:am=a1qm-1,an=a1qn-1,ak=a1qk-1,al=a1ql-1,
    所以aman=a1qm-1·a1qn-1=aqm+n-2,akal=a1qk-1·a1ql-1=aqk+l-2,
    因为m+n=k+l,所以有aman=akal.
    知识梳理
    设数列{an}为等比数列,则:
    (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.
    (2)若m,p,n成等差数列,则am,ap,an成等比数列.
    注意点:(1)性质的推广:若m+n+p=x+y+z,有amanap=axayaz;(2)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同;(3)在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项之积都相等,即a1·an=a2·an-1=….
    例3 已知{an}为等比数列.
    (1)若{an}满足a2a4=,求a1aa5;
    (2)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8;
    (3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
    解 (1)在等比数列{an}中,
    ∵a2a4=,
    ∴a=a1a5=a2a4=,
    ∴a1aa5=.
    (2)由等比中项,化简条件得
    a+2a6a8+a=49,
    即(a6+a8)2=49,
    ∵an>0,
    ∴a6+a8=7.
    (3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,
    ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)
    =log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
    =log395=10.
    反思感悟 利用等比数列的性质解题
    (1)基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.
    (2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
    跟踪训练3 (1)公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16等于(  )
    A.4 B.5 C.6 D.7
    答案 B
    解析 因为a3a11=16,
    所以a=16.
    又因为an>0,
    所以a7=4,
    所以a16=a7q9=32,
    即log2a16=5.
    (2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=________.
    答案 5
    解析 方法一 因为{an}是等比数列,
    所以a1a7=a,a2a8=a,a3a9=a.
    所以a·a·a=(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)
    =(a1a2a3)·(a7a8a9)=5×10=50.
    因为an>0,所以a4a5a6=5.
    方法二 因为a1a2a3=(a1a3)a2=a·a2
    =a=5,
    所以a2= .
    因为a7a8a9=(a7a9)a8=a=10,
    所以a8=.
    同理a4a5a6=a==5.


    1.知识清单:
    (1)由等比数列构造新的等比数列.
    (2)等比数列中任意两项之间的关系.
    (3)等比数列中多项之间的关系.
    2.方法归纳:公式法、类比思想.
    3.常见误区:构造新的等比数列易忽视有等于0的项.

    1.在等比数列{an}中,若a2=4,a5=-32,则公比q应为(  )
    A.± B.±2 C. D.-2
    答案 D
    解析 因为=q3=-8,故q=-2.
    2.已知{an},{bn}都是等比数列,那么(  )
    A.{an+bn},{anbn}都一定是等比数列
    B.{an+bn}一定是等比数列,但{anbn}不一定是等比数列
    C.{an+bn}不一定是等比数列,但{anbn}一定是等比数列
    D.{an+bn},{anbn}都不一定是等比数列
    答案 C
    解析 当两个数列都是等比数列时,这两个数列的和不一定是等比数列,比如取两个数列是互为相反数的数列,两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列.
    3.已知在等比数列{an}中,有a3a7a10=9,则a4a等于(  )
    A.3 B.9 C.20 D.无法计算
    答案 B
    解析 由等比数列多项之间的下标和的关系可知3+7+10=4+8+8,故a4a=9.
    4.若正项等比数列{an}满足a1a5=4,当+取最小值时,数列{an}的公比是________.
    答案 2
    解析 设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),
    因为a1a5=4,所以由等比数列的性质可得
    a2a4=4,
    因此+≥2=2,
    当且仅当=,即=q2=4,即q=2(负值舍去)时,等号成立.
    所以数列{an}的公比是2.


    1.已知数列{an}满足a1=5,anan+1=2n,则等于(  )
    A.4 B.2 C.5 D.
    答案 A
    解析 因为anan+1=2n,所以an-1an=2n-1(n≥2),所以=2(n≥2),
    数列{an}的奇数项组成等比数列,偶数项组成等比数列,故=22=4.
    2.在等比数列{an}中,a2,a18是方程x2+6x+4=0的两根,则a4a16+a10等于(  )
    A.6 B.2
    C.2或6 D.-2
    答案 B
    解析 由题意知a2+a18=-6,a2·a18=4,所以a2…
    所以k=3或k=4.

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