【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§5.3 习题课 含参数的函数的最大(小)值【讲义+习题】

习题课　含参数的函数的最大(小)值
学习目标　1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题．
一、求含参数的函数的最值
例1　已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
解　f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.
①当a>0时，f(x)在[0，a)上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．所以f(x)min＝f(a)＝－a3.
②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝0.
③当a0时，f(x)的最小值为－a3；
当a＝0时，f(x)的最小值为0；
当a0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值．
解　f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，
令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.
所以f(x)在上是增函数，在上是减函数，在[a，2a]上是增函数．
因为f(－a)＝－a3，f ＝a3，f(a)＝－a3，
f(2a)＝2a3.
所以f(x)max＝f(2a)＝2a3.
f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.
反思感悟　含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练1　已知a∈R，函数f(x)＝x2，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解　f(x)＝x3－ax2，则f′(x)＝x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a.
令g(a)＝f(x)max，
①当2a≤0，即a≤0时，
f(x)在[0,2]上是增函数，
从而g(a)＝f(x)max＝f(2)＝－4a.
②当2a≥2，即a≥1时，f(x)在[0,2]上是减函数，
从而g(a)＝f(x)max＝f(0)＝0.
③当0