【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§5.3 习题课 导数中的函数构造问题【讲义+习题】

习题课　导数中的函数构造问题
学习目标　1.了解导数中几种常见的构造函数的形式.2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题．
一、利用f(x)与x构造
例1　已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)(x－1)f(x2－1)的解集是(　　)
A．(0,1) B．(2，＋∞)
C．(1,2) D．(1，＋∞)
答案　B
解析　构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
则y′＝f(x)＋xf′(x)(x－1)f(x2－1)，
所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，
所以x＋10，x＋1>0，
解得x>2，
所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)．
延伸探究　
把本例中的条件“f(x)(2x＋1)f(x2＋1)得，
>，
即g(2x＋1)>g(x2＋1)，
∴
解得0g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x)．
(2)对于f′(x)＋g′(x)>0，
构造h(x)＝f(x)＋g(x)．
(3)对于f′(x)>a，构造h(x)＝f(x)－ax.
(4)对于xf′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝xf(x)．
(5)对于xf′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝.
跟踪训练1　已知函数f(x)＝xln x＋x(x－a)2(a∈R)．若存在x∈，使得f(x)>xf′(x)成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(，＋∞) D．(3，＋∞)
答案　C
解析　由f(x)>xf′(x)成立，可得′＝.
二、利用f(x)与ex构造
例2　已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则(　　)
A．e－2 022f(－2 022)f(0)
B．e－2 022f(－2 022)f(0)
D．e－2 022f(－2 022)>f(0)，e2 022f(2 022)0，
所以函数h(x)在R上是增函数，
故h(－2 022)0”换为“f′(x)>f(x)”，比较e2 022f(－2 022)和f(0)的大小．
解　令g(x)＝，则g′(x)＝，因为对任意的x∈R，都有f′(x)>f(x)，所以g′(x)>0，即g(x)在R上是增函数，所以g(－2 022)0，构造函数h(x)＝f(x)cos x.
(4)对于f′(x)cos x＋f(x)sin x>0，构造函数h(x)＝.
跟踪训练3　已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f′(x)sin x>f(x)cos x(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)
A．f >－f 
B.f 2f 
D.f f(x)cos x，得f′(x)·sin x－f(x)cos x>0，即′>0，所以y＝在(0，π)上是增函数，
又因为y＝为偶函数，
所以y＝在(－π，0)上是减函数，
所以2f .

1．知识清单：
(1)几种常见的构造形式．
(2)掌握由导函数的结构形式构造原函数．
2．方法归纳：构造法．
3．常见误区：不能正确构造出符合题意的函数．

1．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．

15．已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，且3f(x)－f′(x)>0在R上恒成立，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．f(1)e2f(0)
答案　A
解析　令g(x)＝，
则g′(x)＝
＝，
因为3f(x)－f′(x)>0在R上恒成立，
所以g′(x)