苏教版 (2019)第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用习题课件ppt

这是一份苏教版 (2019)第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用习题课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了求含参数的函数的最值，反思感悟，随堂演练，课时对点练，－71，因为x∈01，解得a＝1等内容，欢迎下载使用。

1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.
2.能根据最值求参数的值或取值范围.
3.初步探究有关探索性的问题.
已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值.
f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
①当a>0时，f(x)在[0，a)上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数.所以f(x)min＝f(a)＝－a3.②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝0.
综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；当a＝0时，f(x)的最小值为0；
延伸探究　当a>0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a，2a]上的最值.
f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，
f(2a)＝2a3.所以f(x)max＝f(2a)＝2a3.f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.
含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题.(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a.令g(a)＝f(x)max，①当2a≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上是增函数，
②当2a≥2，即a≥1时，f(x)在[0,2]上是减函数，从而g(a)＝f(x)max＝f(0)＝0.
③当0<2a<2，即0由最值求参数的值或范围
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.
由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾.求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，
∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围.
∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；当x＝1时，h(x)取极小值－4.
而h(2)＝3与最值有关的探究性问题
已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
即x－2y＋2－2ln 2＝0.
当a＝1时，f(x)＝x－ln x，
(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x在区间(0，e]上的最小值是3，
综上，存在实数a＝e2，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3.
与最值有关的探索性问题的解题思路对于形式为“是否存在……，使得……”的探索性问题，一般只需将问题成立时的条件作为解题切入点，研究函数单调性、最值等，去求参数范围或值，若求出，则存在，否则不存在.
已知函数f(x)＝2x3－ax2＋1.(1)讨论f(x)的单调性；
当a＝0时，f′(x)＝6x2≥0恒成立，函数f(x)在R上是增函数；
综上所述，当a＝0时，函数f(x)在R上是增函数；
(2)是否存在a，使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a的所有值；若不存在，说明理由.
存在，理由如下：由(1)可得，当a≤0时，函数f(x)在[0,1]上是增函数.则最小值为f(0)＝1，不符合题意；
f(x)的最大值为f(0)＝1，最小值为f(1)＝2－a＋1＝－1，解得a＝4，满足题意；
综上可得，a的值为4.
1.知识清单： (1)求含参的函数的最值. (2)由最值求参数的值或取值范围. (3)与最值有关的探究性问题.2.方法归纳：转化法、分类讨论.3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏.
1.已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为A.1 B.4 C.－1 D.0
由题意得，f′(x)＝3ax2，则f′(1)＝3a＝6，解得a＝2，所以f′(x)＝6x2≥0，故f(x)在[1,2]上是增函数，则f(2)＝2×23＋c＝20，解得c＝4.
所以当x<1－a时，f′(x)>0，当x>1－a时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，1－a)上是增函数，在(1－a，＋∞)上是减函数，所以f(x)max＝f(1－a)＝ea－1.
4.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，则a的值为____， f(x)在[－2,2]上的最大值为_____.
f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.所以当x＝0时，f(x)取得最大值3.
又f′(x)＝acs x＋cs 3x，
y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，易知当－10，
3.函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为
∵f(x)＝3x－x3，∴f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令f′(x)＝0，则x＝1或x＝－1(舍去)，当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.
∴当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值；
5.已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1)C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1]
f′(x)＝ex－1，令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，故f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故f(x)min＝f(0)＝1＋a.若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1，故选A.
∵f′(x)＝3x2－3a，且f′(x)＝0有解，∴a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.
7.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________.
8.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为_______.
f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在[－1,0)上是减函数，在[0,1]上是增函数，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
9.已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.
f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a).若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.
综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0，
当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
10.已知函数f(x)＝2ex(x＋1).(1)求函数f(x)的极值；
f′(x)＝2ex(x＋2)，由f′(x)>0，得x>－2；由f′(x)<0，得x<－2.∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数.∴f(x)的极小值为f(－2)＝－2e－2，无极大值.
(2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t>－3)上的最小值.
由(1)，知f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数.∵t>－3，∴t＋1>－2.①当－3∵2xln x＋x2－mx＋3≥0，
当10，h(x)单调递增.
∴m≤h(x)max，
由题意可得，存在实数x≠0，使得f(-x)＝f(x)成立，假设x>0，则－x<0，所以有－kx＝ln x，
令h′(x)>0，即ln x>1，解得x>e，令h′(x)<0，即ln x<1，解得0由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
15.设函数f(x)＝ax3－3x＋1(a>1)，若对于任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为____.
由f(－1)≥0，可得a≤4，综上可得a＝4.
∵a<0，∴f′(x)>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数.∴f(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间.
当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
②当10，f(x)单调递增，