高考数学(理数)三轮冲刺强化练习第5讲《选择题的解题方法》（解析版）

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第5讲　选择题的解题方法「题型特点解读」　　选择题在高考中题目数量多，占分比例高，概括性强，知识覆盖面广，注重多个知识点的小型综合．我们在解题时要充分利用题干和选项所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，选最简解法，以准确、迅速为宗旨，绝不能“小题大做”．方法1  直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择． 例1　(1)(开封市高三第三次模拟)空气质量指数AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差．某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图：给出下列四个结论：①该地区在该月2日空气质量最好；②该地区在该月24日空气质量最差；③该地区从该月7日到12日AQI持续增大；④该地区的空气质量指数AQI与这段日期成负相关．其中所有正确结论的编号为(　　)A．①② B．①②③C．①②④ D．③④答案　B解析　对于①，由于2日的空气质量指数AQI最低，所以该地区在该月2日空气质量最好，所以正确；对于②，由于24日的空气质量指数AQI最高，所以该地区在该月24日空气质量最差，所以正确；对于③，从折线图上看，该地区从该月7日到12日AQI持续增大，所以正确；对于④，从折线图上看，该地区的空气质量指数AQI与这段日期成正相关，所以错误．故选B.(2)(洛阳市高三第三次统一考试)若m，n，p∈(0，1)，且log3m＝log5n＝lg p，则(　　)答案　A解析　设log3m＝log5n＝lg p＝a(a<0)，所以m＝3a，n＝5a，涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法直接法的解题过程与常规解法基本相同，不同的是解选择题时可利用选项的暗示性，同时应注意：在计算和论证时应尽量简化步骤，合理跳步，以提高解题速度，注意一些现成结论的使用，如球的性质、正方体的性质，等差、等比数列的性质等．1．(北京丰台区高三上学期期末)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为坐标原点，若|OA|＝|OF|，则此双曲线的离心率为(　　)A. B．C．2 D．答案　C解析　在Rt△OAF中，tan∠AOF＝，所以cos∠AOF＝＝，且|OF|＝c，所以|OA|＝a.根据题意有a＝c，即离心率＝2.2．(西安市高三第三次质检)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为(　　)A．90° B．60°C．45° D．30°答案　B解析　如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，则ON∥CD，MN∥AB，所以∠ONM或其补角即为所求的角．因为平面ABC垂直于平面ACD，BO⊥AC，所以BO⊥平面ACD，所以BO⊥OD.设正方形边长为2，OB＝OD＝，所以BD＝2，则OM＝BD＝1.所以ON＝MN＝OM＝1.所以△OMN是等边三角形，故∠ONM＝60°.所以直线AB与CD所成的角为60°.故选B.方法2  排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个选项进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得唯一正确的结论． 例2　(1)(南宁模拟)设函数f(x)＝若f(x0)＞3，则x0的取值范围为(　　)A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(0,2)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(－1,3)答案　C解析　取x0＝1，则f(1)＝＋1＝＜3，故x0≠1，排除B，D；取x0＝3，则f(3)＝log28＝3，故x0≠3，排除A.故选C.(2)已知函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)A．a>0，b>0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0，c<0答案　C解析　依题意x≠－c，故－c>0，则c<0，排除B；f(0)＝>0，故b>0，排除D；当x→＋∞时，f(x)<0，则a<0，排除A.综上所述，故选C.排除法适用于直接法解决很困难或者计算较复杂的情况(1)当题目中的条件不唯一时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定．(2)再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直至得到正确的选择．1．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)A.∪(2，＋∞)  　　 B．(2，＋∞)C.  　　 D.答案　A解析　解法一：因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，且a与b不反向，所以－2λ－1<0且λ≠2，解得λ∈∪(2，＋∞)．解法二：因为当λ＝0时，a与b的夹角为钝角，排除B，D；当λ＝2时，a与b的夹角为π，排除C，故选A.2．函数f(x)＝的图象大致是(　　)答案　D解析　由函数的解析式得，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝f(x)，故函数f(x)在定义域内是偶函数．当x＝±1时，f(x)＝0，当x∈(0,1)∪(－1,0)时，f(x)<0，可排除B，C；当x→0时，f(x)→0，排除A，选D.方法3  特值法从题干(或选项)出发，通过选取构造特殊情况代入，将问题特殊化，再进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等． 例3　(1)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)A．3y＜2x＜5z B．2x＜3y＜5zC．3y＜5z＜2x D．5z＜2x＜3y答案　A解析　取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z,3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z，故选A.(2)(蚌埠高三下学期第二次质检)函数y＝，x∈(－π，π)的图象大致为(　　)答案　D解析　设y＝f(x)＝，则f(－x)＝－＝－f(x)，又f(x)的定义域关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A.由f＝＝>0，排除B.由f＝＝>0，排除C，故选D.在题设条件成立的情况下，用特殊值(取得越简单越好)进行探求，从而可清晰、快捷地得到答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解高考数学选择题的最佳策略．1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，B是A和C的等差中项，则a＋c与2b的大小关系是(　　)A．a＋c＞2b B．a＋c＜2bC．a＋c≥2b D．a＋c≤2b答案　D解析　不妨令A＝B＝C＝60°，则可排除A，B；再令A＝30°，B＝60°，C＝90°，可排除C，故选D.2．设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则，，的大小关系不可能是(　　)A.＜＜ B．＜＜C.＝＝ D．＜＜答案　B解析　取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，此时C正确．取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知<<，此时A正确．取x＝，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知<<，此时D正确．综上，利用排除法可知选B.方法4  数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，这种方法叫数形结合法．有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．例4　(1)已知动点P在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，点M满足||＝1，·＝0，则||的最小值是(　　)A. B．C．2 D．3答案　C解析　由||＝1可知点M的轨迹是以点A为圆心，1为半径的圆，过点P作该圆的切线PM，则·＝0，|PA|2＝|PM|2＋|AM|2，得|PM|2＝|PA|2－1，所以要使||取得最小值，需使||取得最小值，而||的最小值为6－3＝3，此时||＝2，故选C.(2)(西安市高三第三次质量检测)若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则方程f(x)＝log3|x|的根的个数是(　　)A．4 B．5C．6 D．7答案　A解析　因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数．又x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，所以函数f(x)的图象如图所示．再作出y＝log3|x|的图象，易得两函数图象有4个交点，所以方程f(x)＝log3|x|有4个根．故选A.利用数形结合思想解决最值问题的一般思路利用数形结合的思想可以求与几何图形有关的最值问题，也可以求与函数有关的一些量的取值范围或最值问题．(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解．1．(开封市高三第三次模拟)已知a＝2ln 3，b＝3ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a>c>b B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a答案　C解析　由题意得a＝ln 9，b＝ln 8，∴a>b.c－a＝－2ln 3＝2＝2·，设f(x)＝x－eln x，∴f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝e，故f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(e)＝0，又x→0和x→＋∞时，f(x)→＋∞，作出f(x)的大致图象如图所示．故当x>e时，f(x)>0，∵3>e，∴f(3)>0，即3－eln 3>0，∴c－a＞0，即c＞a.故c＞a＞b.故选C.2．过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)A. B．－C．± D．－答案　B解析　根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解．由于y＝，即x2＋y2＝1(y≥0)，直线l与x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B两点，如图所示，S△AOB＝sin∠AOB≤，且当∠AOB＝90°时，S△AOB取得最大值，此时AB＝，点O到直线l的距离为，则∠OCB＝30°，所以直线l的倾斜角为150°，则斜率为－.方法5  估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．  例5　(1)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为(　　)A. B．5C．6 D．答案　D解析　连接BE，CE，问题转化为求四棱锥E－ABCD与三棱锥E－BCF的体积之和，设四棱锥E－ABCD的高为h，则V四棱锥E－ABCD＝S正方形ABCD·h＝×9×2＝6，所以只有D符合题意．(2)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π.若f(x)＞1对于任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)A. B．C. D．答案　A解析　因为函数f(x)的最小值为－2＋1＝－1，由函数f(x)的图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T＝π，所以＝π，解得ω＝2.故f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.由f(x)＞1，可得sin(2x＋φ)＞0.又x∈，所以2x∈.对于B，D，若取φ＝，则2x＋∈，在上，sin(2x＋φ)＜0，不符合题意；对于C，若取φ＝，则2x＋∈，在上，sin(2x＋φ)＜0，不符合题意．选A.估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．可从题设条件估计大致范围、大致区间等，也可找端点、极限位置，从而达到求解的目的． 1．(全国卷Ⅰ) 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是(　　)A．165 cm B．175 cmC．185 cm D．190 cm答案　B解析　设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，则由腿长为105 cm，可得>≈0.618，解得m>169.890.由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得>≈0.618，解得n<42.071.由已知可得＝≈0.618，解得m<178.218.综上，此人身高m满足169.890<m<178.218，所以其身高可能为175 cm.故选B.2．已知球O的直径FC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠AFC＝∠BFC＝30°，则三棱锥F－ABC的体积为(　　)A．3 B．2C． D．1答案　C解析　解法一：(一般法)根据题意画出图象如图所示，因为FC为球的直径，所以∠FAC＝∠FBC＝90°.又∠AFC＝∠BFC＝30°，所以AC＝BC＝2，FA＝FB＝2，设D为AB的中点，连接FD，则FD⊥AB，由FD2＝FA2－AD2得FD＝，所以S△FAB＝AB·FD＝.连接球心O与底面三角形FAB的外接圆圆心O1，可知OO1⊥底面FAB，则三棱锥C－FAB的高h与OO1平行，又O为FC的中点，易知h＝2OO1，经计算可得OO1＝，所以三棱锥C－FAB的高h＝2OO1＝，所以V三棱锥F－ABC＝V三棱锥C－FAB＝S△FAB·h＝××＝.故选C.解法二：(估算法)观察此题选项，发现大小差距较大，我们可以直接采用估算法，算出三棱锥F－ABC的体积的近似值，然后直接选取与近似值最接近的选项．计算完S△FAB＝AB·FD＝后，我们将三棱锥C－FAB的高h近似认为是AC，则V三棱锥F－ABC＝V三棱锥C－FAB≈S△FAB·AC＝××2＝，再与选项比较，可以发现与选项C接近，所以直接选C.