【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一1.2.2 直线的两点式方程【讲义+习题】

1.2.2　直线的两点式方程
学习目标　1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围．
导语
某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东侧的P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A，B两处，并使区商业中心O到A，B两处的距离之和最短．

在上述问题中，实际上解题的关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定？
一、直线的两点式方程
问题1　我们知道已知两点也可以确定一条直线，若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？

提示　y－y1＝(x－x1)，即＝
知识梳理
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝叫作直线的两点式方程．
注意点：
(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．
(2)两点式方程与这两个点的顺序无关．
(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．


例1　(1)过(1,2)，(5,3)的直线方程是(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点(－1,0)，(1,4)，则直线l的两点式方程是______．
答案　(1)B　(2)＝
解析　(1)直线过(1,2)，(5,3)，
所以由两点式得直线的方程为＝.
(2)根据两点式方程可得＝.
反思感悟　利用两点式求直线的方程
首先要判断是否满足两点式方程的适用条件．
若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
跟踪训练1　(1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为____________．
答案　4x＋5y＋3＝0
解析　因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，
所以＝，即＝，
化简得4x＋5y＋3＝0.
(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m，1)，求这条直线的方程．
解　由直线经过点A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
二、直线的截距式方程
问题2　若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？
提示　由两点式得＝，
整理得＋＝1.
知识梳理
方程＋＝1，其中b称为直线在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程．
注意点：
(1)如果已知直线在两坐标轴上的非零截距，可以直接代入截距式求直线的方程．
(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．
(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．
例2　求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1.
所以直线l的方程为＋＝1，
即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
延伸探究
1．若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，
设直线l的方程为＋＝1，
又l过点A(－3，－4)，
所以＋＝1，
解得a＝1.
所以直线l的方程为＋＝1，即x－y－1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过点(－3，－4)，
所以－4＝k·(－3)，解得k＝.
所以直线l的方程为4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
2．若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
解　(1)当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1，
又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝7，
所以直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，
所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
反思感悟　截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式方程的逆向应用．
跟踪训练2　直线l过点P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的周长为12时，求直线l的方程．
解　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由题意知，a＋b＋＝12.
所以＝12－a－b.
两边平方整理得ab－12(a＋b)＋72＝0.①
又因为直线l过点P.
所以＋＝1，整理得3ab＝6a＋4b.②
由①②，得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
三、直线方程的灵活应用
例3　在平面直角坐标系中，过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B.
(1)若＝，求直线l的截距式方程；
(2)求当·取得最小值时直线l的方程．
解　设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0.
(1)∵＝，
∴(3－a，1)＝(－3，b－1)，
即解得
∴直线l的截距式方程为＋＝1.
(2)∵A，P，B三点共线，
∴＝，
整理得＋＝1，
∴·＝(3－a，1)·(－3，b－1)＝3a＋b－10＝(3a＋b)－10＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即a＝b＝4时等号成立．
∴当·取得最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0.
反思感悟　直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
跟踪训练3　一束光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点B(－1,6)，分别求入射光线和反射光线所在直线的方程．
解　易知点A(3,2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)．由已知可得反射光线所在直线为直线A′B，其方程为＝，即2x＋y－4＝0.
点B(－1,6)关于x轴的对称点为B′(－1，－6)．由已知可得入射光线所在直线为直线AB′，其方程为＝，即2x－y－4＝0.
故入射光线所在直线的方程为2x－y－4＝0，反射光线所在直线的方程为2x＋y－4＝0.

1．知识清单：
(1)直线的两点式方程．
(2)直线的截距式方程．
2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法．
3．常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解．

1．在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案　A
2．已知直线l的两点式方程＝，则l的斜率为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　A
解析　由两点式方程＝，
知直线l过点(－5,0)，(3，－3)，
所以l的斜率为＝－.
3．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为______________________．
答案　2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析　当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标轴上的截距不为零时，
可设直线方程为－＝1，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
4．过(－1，－1)和(1,3)两点的直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________．
答案　－　1
解析　由已知得直线的方程为＝，
化简得2x－y＋1＝0，
令x＝0，得y＝1；令y＝0，得x＝－，
解得直线在x轴、y轴上的截距分别为－，1.


1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为(　　)
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
答案　A
解析　代入两点式得直线方程为＝，
整理得y＝x＋3.
2．已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
答案　A
解析　显然a≠0.把直线l：ax＋y－2＝0化为
＋＝1.
∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，∴＝2，解得a＝1.
3．若直线＋＝1过第一、二、三象限，则(　　)
A．a>0，b>0 B．a>0，b0，b>0，
则直线l的方程为＋＝1，
又直线l经过点M(2,1)，所以＋＝1，
根据题意，易知M在线段AB上，
所以＝(a－2，－1)，＝(－2，b－1)，
||·||＝－·
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)－5
＝＋≥2＝4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.