辽宁省辽阳市灯塔市实验中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案)

2022～2023学年度上学期学生素质评价

九年级数学

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列方程是一元二次方程的是（    ）．

A． B． C．   D．

2．已知是关于x的一元二次方程的一个实数根，则实数m的值是（    ）．

A．0 B．1 C． D．

3．一元二次方程的解是（    ）．

A．1或 B．2 C．0或2 D．0

4．下面真命题的是（    ）．

A．矩形的对角线互相垂直

B．菱形是中心对称图形，不是轴对称图形

C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D．依次连接矩形各边的中点，所得四边形是菱形

5．直线不经过第二象限，则关于x的方程实数解的个数是（    ）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个

6．根据下列表格的对应值：

由此可判断方程必有一个解x满足（    ）．

A．  B．

C．  D．

7．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为（    ）．

A． B． C． D．

8．如图，正方形中，点F为上点，与交于点E，连接，若，则的度数（    ）．

A． B． C． D．

9．如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点．若，，则线段的长为（    ）．

A．3 B．4 C．5.5 D．6.5

10．如图，以的三边为边分别作等边、、，则下列结论正确的是（    ）．

A．≌ B．四边形为矩形

C．四边形为菱形 D．当，时，四边形是正方形

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．在平行四边形中，请你添加一个条件，使它成为电形，则你添加的条件是______．

12．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______．

13．已知矩形的对角线长为10，且两条对角线相交所成的锐角为，则该矩形的面积为______．

14．若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的根为______．

15．菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为______．

16．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，设小道的宽为，则根据题意，可列方程为______．

17．如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作点M，作于点N，点O是的中点，若，，当点P在上运动时，则的最小值是______．

18．如图，正方形的边长为2，点E从点A出发沿着线段向点D运动（不与点A，D重合），同时点F从点D出发沿着线段向点C运动（不与点D，C重合，点E与点F的运动速度相同．与相交于点G，H为中点、则有下列结论：

①是定值；②平分；③当E运动到中点时，；④当时，四边形的面积是．其中正确的结论序号是______．

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19．按要求解方程．

（1）（配方法）；

（2）（公式法）．

20．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．

（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21．已知，如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若，，求四边形的面积．

22．阅读材料并解决下列问题：

材料1：若一元二次方程的两根为、，则，．

材料2：已知实数m，n满足，，且，求的值．

解：由题知m，n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，，

∴．

根据上述材料解决下面的问题：

（1）一元二次方程的两根为、，则______，______．

（2）已知实数m，n满足，，且，求的值．

（3）已知实数p，q满足，，且，求的值．

五、解答题（满分12分）

23．矩形的顶点E，G分别在菱形的边，上，项点F，H在菱形的对角线上．

（1）求证：：

（2）若E为中点，，求菱形的周长．

六、解答题（满分12分）

24．某超市销售一种村衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低1元，平均每天可多售出2件．

（1）若每件衬衫降价4元时，平均每天可售出______件衬衫，此时每天销售获利______元；

（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为1200元，问每件衬衫应降价多少元？

（3）该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由．

七、解答题（满分12分）

25．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线与E，垂足为F，连接，．

（1）求证：；

（2）当D是中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由；

（3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．

八、解答题（满分14分）

26．综合与实践

问题情境：

如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C）．延长交于点F，连接．

猜想证明：

（1）试判断四边形的形状，并说明理由；

（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；

解决问题：

（3）如图①，若，，请直接写出的长．

C九年数学（2章）答案

1．A   2．B   3．C   4．D   5．D   6．C   7．B   8．C   9．D   10．A

11． 12． 13． 14．，

15．16 16．      17．2.4      18．①③④

19．（1），；（2），．

20．解：（1）∵是一元二次方程的根，

∴，∴，

∵，∴，∴为等腰三角形．

（2）∵方程有两个相等的实数根，∴，

∴，∴为直角三角形．

21．（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，

∵四边形是菱形，∴，∴，

∴平行四边形是矩形．

（2）解：∵四边形是菱形，

∴，，，，，

∴，

∵，∴，

∴是等边三角形，

∴，∴，

∴，

由（1）得：四边形是矩形，∴矩形的面积．

22．解：（1），．

（2）∵m，n满足，，，

∴m，n可以看作的两个不等的实数根，

∴，，∴．

（3）由题意知p与即为方程的两个不等的实数根，

∴，，∴．

23．证明：（1）在矩形中，，，

∴，

∵，∴，

在菱形中，，∴，

在与中，，

∴≌（AAS），∴．

（2）连结．

在菱形中，，，

∵E为的中点，∴，

∵，∴且，

∴四边形是平行四边形，

在四边形中，，∴，∴菱形周长为16．

24．解：（1）28；1008．

（2）设每件衬衫降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件，

依题意得：，整理得：，

解得：，，

当时，，符合题意；

当时，，不符合题意，舍去．

答：每件衬衫应降价10元．

（3）不能，理由如下：设每件衬衫降价y元，

则每件盈利元，平均每天可售出件，

依题意得，整理得，

∵，∴该方程没有实数根，

即该衬衫每天的销售获利不能达到1300元．

25．（1）证明：∵，∴，

∵，∴，∴，

∵，即，

∴四边形是平行四边形，∴．

（2）四边形是菱形．

理由如下：∵D为中点，∴，

∵，∴，

∵，∴四边形是平行四边形，

∵，D为中点，∴，

∴四边形是菱形．

（3）当是等腰直角三角形时，四边形是正方形．

理由如下：∵，当是等腰直角三角形，

∵D为的中点，∴，∴，

∴四边形是正方形．

26．解：（1）四边形是正方形，

理由如下：∵将绕点B按顺时针方向旋转，

∴，，．

又∵，∴四边形是矩形．

又∵，四边形是正方形．

（2）．

理由如下：如图②，过点D作于H，

∵，，∴，

∴，

∵四边形是正方形，∴，，

∴，∴，

又∵，，

∴≌（AAS），∴，

∵将绕点B按顺时针方向旋转，∴，

∵四边形是正方形，∴，

∴，∴．

（3）．