专题02一元二次方程（13个考点）【知识梳理 解题方法 专题过关】-八年级数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版）

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专题02一元二次方程（13个考点）【知识梳理+解题方法】一．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．三．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．四．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．五．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．六．解一元二次方程-公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．七．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．八．换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．九．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．十．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．十一．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．十二．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．十三．配方法的应用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．3、配方法的综合应用．     【专题过关】一．一元二次方程的定义（共1小题）1．（2021秋•崇明区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）A．32x﹣1＝0 B．x+＝3 C．x2＝（x﹣2）（x+1） D．（x﹣2）（x+2）+4＝0二．一元二次方程的一般形式（共6小题）2．（2021秋•普陀区校级月考）把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，23．（2021秋•宝山区校级月考）若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m　   　，n＝　   　．4．（2021秋•浦东新区校级月考）一元二次方程3x（x﹣1）＝2（x+2）化为一般形式后二次项系数是 　   　，一次项是 　   　．5．（2021秋•浦东新区校级月考）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，则a＝　   　．6．（2021秋•徐汇区校级月考）若一元二次方程x2﹣ax＝2a﹣1的各项系数的和为，则a＝　   　．7．（2021秋•杨浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m＝　   　．三．一元二次方程的解（共2小题）8．（2021秋•崇明区校级期末）如果m是方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，那么代数式2m2﹣6m的值为 　   　．9．（2021秋•徐汇区期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值是　   　．四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）10．（2021秋•虹口区校级期末）方程的解是 　   　．五．解一元二次方程-配方法（共3小题）11．（2021秋•松江区期末）用配方法解方程：．   12．（2021秋•虹口区校级期末）用配方法解方程：．   13．（2021秋•徐汇区期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．    六．解一元二次方程-公式法（共3小题）14．（2021秋•普陀区期末）解方程：（2x﹣1）2＝x2+5．   15．（2021秋•浦东新区期末）解方程：2y（y﹣2）＝y2﹣2．   16．（2021秋•崇明区校级期末）解方程：+﹣2＝0．    七．解一元二次方程-因式分解法（共6小题）17．（2021秋•崇明区校级期末）方程2x2＝x的根是 　   　．18．（2021秋•普陀区期末）方程x2+x＝0的根是　   　．19．（2021秋•松江区期末）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2（x+1）的根是　   　． 20．（2021秋•静安区校级期末）解方程：3x﹣＝2．   21．（2021秋•虹口区校级期末）解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）＝（a2﹣1）x．   22．（2021秋•徐汇区校级期末）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．    八．换元法解一元二次方程（共7小题）23．（2021秋•普陀区校级月考）若（x2+y2）2+3（x2+y2）﹣4＝0，则x2+y2＝　   　．24．（2021秋•徐汇区校级期中）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）+6＝0，则x2+y2＝　   　．25．（2021秋•浦东新区校级月考）已知（x2+y2）（x2+y2﹣5）＝6，则x2+y2＝　   　．26．（2021秋•金山区校级期中）解方程：（x﹣2）2+3（2﹣x）﹣10＝0．   27．（2021秋•黄浦区期中）解方程：（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3＝0．   28．（2021秋•普陀区期中）解方程：（x﹣1）2+6（x﹣1）+8＝0．   29．（2021秋•普陀区校级月考）解方程：（x+1）2﹣4（x+1）＝5．    九．根的判别式（共7小题）30．（2021秋•普陀区期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）A．x2＝1 B．x2﹣x＝0 C．x2﹣2x+4＝0 D．x2﹣2x+1＝031．（2021秋•崇明区校级期末）如果关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 　   　．32．（2021秋•浦东新区期末）已知关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 　   　．33．（2021秋•静安区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣（m+4）＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　   　．34．（2021秋•崇明区校级期末）已知关于x的一元二次方程x（kx﹣4）﹣x2+4＝0．（1）如果方程的根的判别式的值为4，求k的值；（2）如果方程有两个实数根，求k的取值范围．     35．（2021秋•徐汇区期末）关于x的一元二次方程2x2+（m﹣2）x+2＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．     36．（2021秋•徐汇区校级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．    一十．根与系数的关系（共1小题）37．（2021秋•虹口区校级期末）若a、b满足a2﹣4a+2＝0，2b2﹣4b+1＝0且ab≠1，则＝　   　．一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共3小题）38．（2021秋•松江区期末）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x．则由题意可列方程为（　　）A．300（1+x）2＝2100 B．300+300（1+x）2＝2100 C．300（1+x）+300（1+x）2＝2100 D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝210039．（2021秋•普陀区期末）如图，阴影部分是一块长方形的草坪，草坪的长是8米，宽是5米，在草坪的四周准备修建等宽的道路，道路和草坪的总面积为70平方米．如果设道路的宽为x米，那么根据题意可列方程为 　   　．40．（2021秋•浦东新区期末）随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量．一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长率是x，由题意列出关于x的方程：　   　．一十二．一元二次方程的应用（共3小题）41．（2021秋•徐汇区校级期末）某商品由于连续两次降低成本，使成本比原来降低了36%，则平均每次降低成本 　   　（填百分数）． 42．（2021秋•徐汇区期末）某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%，11月份的营业额达到633.6万元，求9月份到11月份营业额的月平均增长率．    43．（2021秋•静安区校级期末）如图，用总长为80米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成如图所示的花圃ABCD，花圃中间有一条2米宽的人行通道，园艺师傅用篱笆围成了四个形状、大小一样的鲜花种植区域，鲜花种植总面积为192平方米，花圃的一边靠墙，墙长20米，求AB和BC的长．    一十三．配方法的应用（共4小题）44．（2020秋•浦东新区校级月考）将化成a（x+b）2+c（a≠0）的形式 　   　．45．（2019秋•浦东新区校级月考）已知y＝，无论x取任何实数，这个式子都有意义，试求c的取值范围　   　．46．（2018秋•杨浦区期中）配方：　   　＝（x﹣　   　）2．47．（2018秋•浦东新区期中）x2﹣5x+　   　＝（x﹣　   　）2．