26.电磁感应中的动力学和能量问题

1.(2021·江苏南京市盐城市第二次模拟)如图1所示，金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直，ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略。一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行，不计一切摩擦。则(　　)

图1

A.金属框的速度逐渐增大，最终趋于恒定

B.金属框的加速度逐渐减小，最终为零

C.导体棒所受安培力逐渐增大，最终趋于恒定

D.导体棒到金属框bc边的距离逐渐增大，最终趋于恒定

答案　C

解析　初始时刻，金属框的加速度最大，随着金属框速度的增加，感应电动势逐渐增大，回路电流逐渐增大，MN所受安培力逐渐增大，根据牛顿第二定律，对金属框F－ILB＝Ma1，对导体棒ILB＝ma2，因此金属框加速度逐渐减小，导体棒加速度逐渐增加，最终两者加速度相同，速度差恒定。

2.(2021·江苏常州市调研考试)如图2所示，圆形区域中的匀强磁场磁感应强度B1随时间t的变化关系为B1＝kt，k为大于零的常量；边界MN右侧的匀强磁场磁感应强度大小为B2。光滑平行金属导轨左端接一阻值为R的电阻、MN处放置一和导轨接触良好的金属棒，不计导轨和金属棒电阻。t＝0时，给金属棒一初速度v0，使其在外力作用下向右匀速运动。回路的总磁通量为Φ、回路的电流为i、电阻R上产生的热量为Q、导体棒受到的外力为F，它们随时间t的变化图象正确的是(　　)

图2

答案　C

解析　由圆形磁场产生的感应电动势为E1＝＝＝Sk，由导体切割磁感线产生的感应电动势为E2＝B2lv0，则总磁通量等于Φ＝Et＝E1t＋E2t＝Skt＋B2lv0t，所以A中图线应该为直线，A错误；根据i＝＝，所以B中图线应该为平行于t轴的直线，B错误；根据Q＝i2Rt＝t，所以C中图线为过原点的直线，C正确；根据F＝ilB，B、i、l均不变，所以D中图线为平行于t轴的直线，D错误。

3.(2021·南京市秦淮中学阶段性检测) 如图3所示，足够长的粗糙绝缘斜面与水平面成θ＝37°放置，在斜面上虚线aa′和bb′与斜面底边平行，在aa′b′b围成的区域有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度为B＝1 T；现有一质量为m＝10 g，总电阻为R＝1 Ω，边长d＝0.1 m的正方形金属线圈MNPQ，让PQ边与斜面底边平行，从斜面上端静止释放，线圈刚好匀速穿过磁场。已知线圈与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，(取g＝10 m/s2；sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：

图3

(1)线圈进入磁场区域时，受到安培力大小；

(2)线圈释放时，PQ边到bb′的距离；

(3)整个线圈穿过磁场的过程中，线圈上产生的焦耳热。

答案　(1)2×10－2 N　(2)1 m　(3)4×10－3 J

解析　(1)对线圈受力分析有：mgsin θ＝μmgcos θ＋FA，代入数据得：FA＝2×10－2 N。

(2)设线圈释放时，PQ边到bb′的距离为L，根据安培力公式可知：

FA＝BId＝Bd＝，导体棒从开始到进入磁场过程中，由动能定理可得：mgLsin θ－μmgLcos θ＝mv2，结合公式可解得：L＝1 m。

(3)由于线圈刚好匀速穿过磁场，则磁场宽度d＝0.1 m，Q＝W安＝F安·2d，代入数据解得：Q＝2×10－2×2×0.1 J＝4×10－3 J。

4.(2021·江苏泰州市期末调研)如图4甲所示，半径为r1、电阻值为R，匝数为n的金属线圈，其两极与阻值也为R的电阻R1连接成闭合回路，电阻R1两端分别与水平放置、间距为d的平行金属板M、N连接半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面的匀强磁场B1，以向里为正方向，磁感应强度B1随时间t变化的关系图线如图4乙所示，金属板M、N内有垂直向外磁感应强度为B的匀强磁场，金属板内部放置一根长为L，与水平方向成θ角的绝缘直杆，导线的电阻不计，一重力不计、带电荷量为－q的圆环套在直杆上，从顶端由静止释放，最后达到稳定状态，圆环与直杆间的动摩擦因数为μ(μ<tan θ)，求：

图4

(1)电阻R1中的电流方向和两端的电压；

(2)圆环在直杆上滑动到底端过程中，电势能变化了多少；

(3)圆环最后稳定状态的速度大小？

答案　(1) b经R1流向a　

(2)减小　(3)

解析　(1)电阻R1中的电流方向是由b经R1流向a。

线圈因磁场变化产生的电动势E＝n＝n

＝

R1两端的电压U＝E＝E＝。

(2)因电场力做正功，电势能减小，即ΔEp＝－W电，电场力做功W电＝qLsin θ

可解得圆环的电势能减小。

(3)圆环最后稳定状态是匀速运动，受力分析如图所示

沿直杆方向qEsin θ＝Ff

垂直杆方向FN＝qEcos θ＋Bqvm

又滑动摩擦力Ff＝μFN

电场强度E＝

可解得

vm＝。