专题01 全等三角形突破核心考点【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（苏科版）

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专题01 全等三角形（突破核心考点）【聚焦考点+题型导航】考点一 全等图形的识别 考点二 全等三角形的性质考点三 添加一个条件使三角形全等 考点四 全等三角形的判定考点五 全等三角形的判定的基本模型 考点六 全等三角形的动态问题【知识梳理+解题方法】一、全等图形概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合. 全等图形特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等.二、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 记作: ∆ABC ≌ ∆A’B’C’读作：∆ABC全等于∆A’B’C’对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’对应元素的规律:(1)有公共边的，公共边是对应边；(2)有公共角的，公共角是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；三、 全等三角形的判定（重点）备注：1.判定两个三角形全等必须有一组边对应相等.2.全等三角形周长、面积相等.四、证题的思路（难点）五、 角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB ∴∠MOP=∠NOP六、角平分线常考四种辅助线：1.图中有角平分线，可向两边作垂线. 2.角平分线加垂线，三线合一试试看. 3.角平分线平行线，等腰三角形来添. 4.也可将图对折看，对称以后关系出现.【专题过关+能力提升】考点一 全等图形的识别 例题：（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）下列四个选项中，不是全等图形的是（   ）A．B．C． D．【答案】C【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形逐项判断即可．【详解】A．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；B．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；C．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，故该选项符合题意；D．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意．故选C．【点睛】本题考是全等图形的定义．掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形是解题关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市东元中学七年级阶段练习）下列四组图形中，是全等图形的一组是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】认真观察图形，可以看出选项中只有C中的两个可以旋转后重合，其它三个大小或形状不一致．【详解】解：由全等形的概念可知：A、B中的两个图形大小不同，D中的形状不同，C则完全相同故选：C．【点睛】本题考查的是全等形的识别，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形，属于较容易的基础题．2．（2022·全国·八年级专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据全等图形的概念判断即可．【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；B、两个图形能够完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；D、两个图形能完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是全等图形的概念，掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题的关键．3．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）对于两个图形，下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③能够完全重合的两个图形．其中能得出这两个图形全等的结论共有（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据全等图形的判定方法分析解答．【详解】解：①两个图形的周长相等，这两个图形不一定全等；②两个图形的面积相等，这两个图形不一定全等；③能够完全重合的两个图形，这两个图形一定全等．正确的有③，故选：B．【点睛】此题考查了全等图形的判定，熟练掌握全等图形的判定定理是解题的关键．考点二 全等三角形的性质例题：（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，△ABC≌△DEF，若∠A=132°，∠FED=15°，则∠C等于（     ）A．13° B．23° C．33° D．43°【答案】C【分析】根据△ABC≌△DEF，∠FED=15°，得∠CBA=15°，再根据三角形内角和即可得答案．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠FED=15°，∴∠CBA=∠FED=15°，∵∠A=132°，∴∠C=180°-132°=15°=33°，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形全等的性质．【变式训练】1．（2022·贵州·贵阳市乌当区第三中学八年级期中）如图，△ABC≌△AEF，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据全等三角形的性质即可进行判断．【详解】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，故①③正确；∵△ABC≌△AEF，∴∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF-∠BAF＝∠BAC-∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；∠FAB＝∠EAB不一定相等，故②不符合题意；综上：正确的有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．2．（2022·吉林省实验中学八年级阶段练习）下列结论中正确的有（    ）①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等；④全等三角形周长相等；⑤全等三角形面积相等．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】A【分析】根据全等三角形的性质依次判断即可得出结果．【详解】解：①全等三角形对应边相等，正确，符合题意；②全等三角形对应角相等，正确，符合题意；③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等，正确，符合题意；④全等三角形周长相等，正确，符合题意；⑤全等三角形面积相等，正确，符合题意．所以正确的有5个，故选：A．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，深刻理解全等三角形的性质是解题关键．3．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）已知△ABC≌△DEF，AB＝3，AC＝4，△DEF的周长为10，则BC的值为______．【答案】3【分析】根据全等三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为10，∴△ABC的周长为10，∵AB＝3，AC＝4，∴；故答案为：3．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．4．（2022·江西赣州·八年级期中）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝96°，∠BAC＝24°，那么∠AED＝______．【答案】60°##60度【分析】由题意易得∠C=60°，然后根据全等三角形的性质可求解．【详解】解：在△ABC中，∠B＝96°，∠BAC＝24°，∴，∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠C=60°，故答案为60°．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．考点三 添加一个条件使三角形全等 例题：（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级期中）如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需要添加一个条件是_______．（写出一个即可）【答案】BE=CE（答案不唯一）【分析】根据∠1=∠2可知∠AEB=∠AEC，判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠AEB=∠AEC，，AE=AE，根据全等三角形的判定定理即可确定．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC， 判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠AEB=∠AEC，AE=AE，因而根据SAS可以添加条件：BE=CE；根据AAS可以添加条件：∠B=∠C；根据ASA可以添加条件∶∠BAE=∠CAE．故答案为：BE=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解判定方法是关键．【变式训练】1．（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图，已知AC=DB，再添加一个适当的条件______，使△ABC≌△BAD．（只需填写满足要求的一个条件即可）【答案】BC=AD或∠CAB=∠DBA（答案不唯一）【分析】要使△ABC≌△BAD，由于AC=DB，且AB是公共边，即已知两边对应相等，根据全等三角形的判定，可补充一组边相等或补充两边的夹角相等．【详解】解：添加BC=AD或∠CAB=∠DBA．添加BC=AD时，证明△ABC≌△BAD的理由如下：在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SSS）．添加∠CAB=∠DBA时，证明△ABC≌△BAD的理由如下：在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS）．∴加一个适当的条件是BC=AD或∠CAB=∠DBA．故答案为：BC=AD或∠CAB=∠DBA．（答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2020·北京·垂杨柳中学八年级期中）如图，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，那么要得到△ABC≌△DEF，可以添加一个条件是________，△ABC与△DEF全等的理由是________．【答案】     AC＝DF（答案不唯一）     SAS（答案不唯一）【分析】由已知一边一角相等，根据全等三角形的判定可知需要添加一组边或角相等即可证明△ABC≌△DEF；【详解】解：根据题意：AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，结合全等三角形的判定可知需要添加一组边或角相等即可证明△ABC≌△DEF：AC＝DF，SAS，或者BC＝EF，HL，或者∠B＝∠E，ASA，或者∠ACB＝∠DFE，AAS，故答案为：AC＝DF（答案不唯一），SAS（答案不唯一）．【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据图形与题意，熟练运用三角形全等的判定条件是解决问题的关键．3．（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE和△ACD全等判定依据是AAS，需添加的一个条件是 _____．【答案】【分析】根据题目条件和图形可知，AE＝AD，公共角，不添加新的线段和字母，要使△ABE和△ACD全等判定依据是AAS，添加的条件是即可得到结论．【详解】解：添加的条件是．理由如下：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL是解决问题的关键．4．（2022·湖南·新田县云梯学校八年级阶段练习）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，只添加一个条件使△ABC≌△AED，你添加的条件是 _____．【答案】∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．【分析】由∠1＝∠2可得∠CAB＝∠DAE，又有AC＝AD，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形，根据判定定理ASA、AAS、SAS添加条件．【详解】解：添加∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．①添加∠C＝∠D，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，∴∠CAB＝∠DAE，在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（ASA）；②添加∠B＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，∴∠CAB＝∠DAE，在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）；③添加AB＝AE，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，∴∠CAB＝∠DAE，在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），故答案为：∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．【点睛】此题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．5．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：______，使△ABC≌△ADE．（只写出一种即可）【答案】∠B＝∠D（或∠C＝∠E或AB＝AD）【分析】根据等式的性质可得∠BAC＝∠DAE，然后利用全等三角形的判定方法，即可解答．【详解】解：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，∵AE＝AC，∴再添加AB＝AD，利用“SAS”可以证明△ABC≌△ADE；添加∠B＝∠D，利用“AAS” 可以证明△ABC≌△ADE；添加∠C＝∠E，利用“ASA” 可以证明△ABC≌△ADE．故答案为：∠B＝∠D（或∠C＝∠E或AB＝AD）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．考点四 全等三角形的判定例题：（2021·江西·鹰潭市余江区正源学校七年级阶段练习）如图，点B，F，C，E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：△ABC≌△DEF．【答案】见解析【分析】先根据BF＝CE，得出BC＝EF，然后根据“SAS”证明△ABC≌△DEF即可．【详解】证明：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF，∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【点睛】本题主要考查三角形全等的证明，熟练掌握三角形全等的判定方法，SAS、ASA、AAS、SSS和HL，是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校八年级）如图， A、E、F、C在一条直线上， AF＝CE，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，AB＝CD，求证：(1)△ABF≌△CDE(2)BG＝DG【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用HL证明△ABF≌△CDE，即可；（2）根据，可得，利用AAS证明，即可求证．（1）证明：∵，∴，在和中，，，∴；（2）证明：∵，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2020·北京二中八年级期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，ABDE，∠A=∠D．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若BE=10m，BF=3m，则FC的长度为 m．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）先证明∠ABC=∠DEF，再根据ASA即可证明．（2）根据全等三角形的性质即可解答．（1）证明：∵ABDE∴∠ABC=∠DEF在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF(ASA)（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BF+FC=EC+FC，∴BF=EC，∵BE=10m，BF=3m，∴FC=10﹣3﹣3=4m．故答案为：4．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．3．（2021·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点C为AE的中点，AB =CD，BC = DE．(1)求证：△ABC≌△CDE；(2)将△ABC沿射线AC方向平移得到△ ，边与边CD的交点为F ，连接EF，若EF将CDE分为面积相等的两部分，且AB = 4，则 CF = 【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）首先由点C为AE的中点得出，再根据SSS证明△ABC≌△CDE即可；（2）根据平移的性质得再由EF将CDE分为面积相等的两部分得（1）证明：∵点C为AE的中点，∴在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（2）解：将△ABC沿射线AC方向平移得到，且AB = 4，∴∵边与边CD的交点为F ，连接EF，EF将CDE分为面积相等的两部分，如图∴故答案为：2【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及平移的性质，根据SSS证明△ABC≌△CDE是解答本题的关键．考点五 全等三角形的判定的基本模型 例题：（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2 求证：．【答案】见解析【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证；方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得；方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证．【详解】解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使，连接DE，因为BD是的平分线，所以．在和中，因为所以，所以，．因为，所以，所以．因为，所以．方法2  补短如图，延长BA到点E，使．因为BD是的平分线，所以在和中，因为，所以，所以，．因为，所以，所以．因为，所以．方法3  构造直角三角形全等作于点E．交BA的延长线于点F因为BD是的平分线，所以．因为，，所以，在和中，因为，所以，所以．在和中，因为，所以，所以．因为，所以．【变式训练】1．（2022·广东·河源广赋创新学校八年级阶段练习）如图，在中，，，直线经过点，且于，于．(1)当直线绕点旋转到①的位置时，求证：①≌；②；(2)当直线绕点旋转到②的位置时，求证：；(3)当直线绕点旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)证明见解析(3)，证明见解析【分析】（1）①先根据垂直的定义可得，，再根据直角三角形的性质可得，然后利用定理即可得证；②先根据全等三角形的性质可得，，再根据、等量代换即可得证；（2）同（1）的方法，先利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据、等量代换即可得证；（3）同（1）的方法，先利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据、等量代换即可得出结论．（1）证明：①，，，，， ，，在与中，，；②由（1）①已证：，，，．（2）证明：，，，，， ，，在与中，，，，，．（3）解：，证明如下：，，，，， ，，在与中，，，，，．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定、垂线的定义等知识点，解题的关键是推出证明和全等的三个条件．2．（2022·全国·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得．【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：∵，∴，又∵,∴（SAS），，∵，∴，∴，∴，，故答案为：，；拓展探究：成立．理由如下：设与相交于点，如图1所示：∵，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，∴，即，依然成立．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．3．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，∵P为BD的中点，∴BP=PD，又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；②证明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BEOD，∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．考点六 全等三角形的动态问题例题：（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，在∆ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC =8cm，点P从A点出发，沿A→C路径向终点C运动；点Q从点B出发，沿B→C→A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动．其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P运动时间为_____时，∆PEC与∆QFC全等．【答案】1s或3.5s【分析】推出CP=CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6-t=8-3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6-t=3t-8，Q在AC上，求出即可得出答案．【详解】解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△CFQ，∵△PEC≌△CFQ，∴斜边CP=CQ，有2种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP=6-t，CQ=8-3t，∴6-t=8-3t，∴t=1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP=6-t=3t-8，∴t=3.5；答：点P运动1s或3.5s时，△PEC与△QFC全等．故答案为：1s或3.5s．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点，能根据题意得出方程是解此题的关键．【变式训练】1．（2021·贵州·兴义市万峰林民族学校八年级期中）如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0

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