专题02 轴对称图形突破核心考点【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（苏科版）

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专题02 轴对称图形（突破核心考点）【聚焦考点+题型导航】考点一 轴对称图形的识别 考点二 轴对称图形的性质考点三 画轴对称及设计轴对称图形 考点四 线段的垂直平分线性质与判定考点五 角平分线的性质与判定 考点六 等腰三角形的定义与性质考点七 利用等腰三角形定义与性质的多解题 考点八 等腰三角形中全等综合问题三角形的性质与判定【知识梳理+解题方法】一、轴对称与轴对称图形1.轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.2.轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.3.轴对称与轴对称图形的区别和联系二、轴对称的性质轴对称图形具有以下的性质：（1）成轴对称的两个图形 HYPERLINK \t "/item/%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank" 全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线；经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 HYPERLINK \t "/item/%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank" 垂直平分线.这样就得到了以下性质：1.如果两个图形关于某条直线对称，那么 HYPERLINK \t "/item/%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank" 对称轴是任何一对对应点所连 HYPERLINK \t "/item/%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank" 线段的 HYPERLINK \t "/item/%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank" 垂直平分线.2.类似地， HYPERLINK \t "/item/%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank" 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个 HYPERLINK \t "/item/%E8%BD%B4%E5%AF%B9%E7%A7%B0/_blank" 端点的距离相等.4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合.轴对称图形性质的应用：可以通过对称轴的一边从而画出另一边.可以通过画对称轴得出的两个图形全等.扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义.三、设计轴对称图案几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形,只要画出图形中的- -些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.画轴对称图形的步骤简单归纳如下:(1)找一 在原图形上找特殊点(如线段的端点);(2)画一画 各个特殊点关于对称轴的对称点;(3)连一依次连接各对称点. 如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.同样,对于轴对称图形,只要找到任意一-组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.在轴对称图形(包括关于某直线对称的两个图形)中,对称轴两边的图形是全等形,它们的对应边相等,对应角相等,对称点的连线被对称轴垂直平分.解决实际问题,需分析实际情况,再解答.如镜子中的图形与实际图形左.右对称,水中倒影与实际图形上、下对称.四、线段、角的轴对称性由于线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,角平分线上的点到角的两边的距离相等，因此可利用此性质解决距离相等的问题，解题时应注意两者的区别.利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,可解决实际问题,如确定位置问题，主要运用了作线段垂直平分线解决问题的方法,因此,对现实生活中的问题要注意与数学的联系.利用垂直平分线的性质可以解决生活中由同一点到几个不同地点距离相等的问题.1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．2.角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.角平分线上的点到角两边的距离相等.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.五、等腰三角形的轴对称性1.等腰三角形的有关定义有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.(1)顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.(2)等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底，还是腰，角没有明确是顶角还是底角,需要分类讨论.2.等腰三角形的性质(1)性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).应用模式:在△ABC中, :AB=AC.∠B=∠C.①这是等腰三角形的重要性质,它是证明角相等常用的方法,它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便.②应用这个性质时,必须在同-一个三角形中.3.等腰三角形的判定(1)有两边相等的三角形是等腰三角形.(2)如果-一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").“等角对等边"是证明一个三角形是等腰三角形的常用方法.【专题过关+能力提升】考点一 轴对称图形的识别例题：（2022·全国·八年级专题练习）下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”判断即可得．【详解】解：A. 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B. 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；C. 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D. 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：B．【点睛】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．【变式训练】1．（2021·重庆市巴渝学校八年级期中）下列图形中是轴对称图形是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）下列交通安全图标不是轴对称图形的是（    ）A．B．C． D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．3．（2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习）繁体字具有数千年的历史，不仅在中国，在中国周边国家中，繁体字仍旧具有非常大的影响力．简繁互补是中国文字的演变规律．下面是成语“喜闻乐见”的繁体字，其中可以看作是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．考点二 轴对称图形的性质例题：（2021·山西临汾·八年级期中）如图，与关于直线对称，其中，，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据轴对称的性质可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：∵与关于直线对称，∴，∴，∵，∴．故选∶A．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=28°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（　　）A．94° B．96° C．102° D．128°【答案】B【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE=∠DEF，再根据翻折变换的性质，折叠后重叠了3层，然后根据平角的定义列式进行计算即可得解．【详解】解：∵长方形的对边ADBC，∴∠BFE=∠DEF=28°，∴∠CFE=180°-3×28°=96°．故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，观察图形，判断出重叠部分重叠了3层是解题的关键．2．（2022·广东·茂名市电白区第三中学七年级阶段练习）如图，与关于直线l对称，若，，则______，______．【答案】     2cm##2厘米     95°##95度【分析】根据轴对称的性质，有对应边相等、对应角相等求解．【详解】根据轴对称的性质有：AB=AE，∠D=∠C，∵AB=2cm，∠C=95°，∴AE=AB=2cm，∠D=∠C=95°，故答案为：2cm，95°．【点睛】本题考查轴对称的知识，理解轴对称的性质是解题的关键．3．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B=__度．【答案】50或65【分析】连接AP、BP，由点P为AB和BC垂直平分线的交点，得PA＝PB＝PC，知∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，又点Q与点P关于AC对称，可得PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∠CPQ＝∠CQP，分两种情况：①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，可得∠PCA＝40°，∠PAC＝40°，即得2∠ABP+2∠PBC＝100°，∠ABC＝50°，②当∠PCQ＝50°时，同理可得∠ABC＝65°．【详解】解：连接AP、BP，如图：∵点P为AB和BC垂直平分线的交点，∴PA＝PB＝PC，∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，∵点Q与点P关于AC对称，∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，∴∠CPQ＝∠CQP，①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，∴∠PCA＝40°，∴∠PAC＝40°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°，∴2∠ABP+2∠PBC＝100°，∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°，②当∠PCQ＝50°时，∠PCA＝25°，∴∠PAC＝25°，∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°，∴2∠ABP+2∠PBC＝130°，∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，综上所述，∠ABC为50°或65°，故答案为：50或65．【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理的应用及轴对称的性质．考点三 画轴对称及设计轴对称图形例题：（2022·安徽·定远县第六中学九年级阶段练习）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有____种选择．【答案】3【分析】根据轴对称图形的性质即可得．【详解】解：如图所示，这样的白色小方格共有3种选择，故答案为：3．【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的根据设置为轴对称图形的性质．【变式训练】1．（2022·河南省实验中学八年级开学考试）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形，请在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴．（要求画出3种不同方法）【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的概念作图即可．【详解】解：如图所示：．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合．2．（2022·全国·八年级专题练习）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图．(1)如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴．(2)如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴．(3)如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析【分析】（1）根据轴对称图形的性质作出对称轴即可；（2）根据要求画出图形即可；（3）根据要求画出图形即可．（1）如图①中，直线m即为所求；（2）如图②中，图形即为所求；（3）如图③中，图形即为所求．【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．（2022·四川达州·七年级期末）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A，B，C均为格点．(1)作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作出关于直线l的对称图形；②在直线l上找一点D，使最小；(2)求出的面积．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)【分析】（1）①依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线l的对称图形；②连接，交直线l于D，连接BD，则AD+BD最小值等于的长；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．（1）解：如图，①△A'B'C'就是所求作的三角形；②点D就是所求作的点；（2）解：的面积=3×5-×1×5-×2×4-×1×3=7．【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，解决问题的关键是掌握轴对称的性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．考点四 线段的垂直平分线性质与判定例题：（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，是的角平分线，若，则点的距离是（    ）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】过D作于E，则DE是点D到AC的距离，根据角平分线性质得出BD＝DE，代入求出即可．【详解】解：过D作DE⊥AC于E，则DE是点D到AC的距离，∵AD是∠BAC的角平分线，，，∴BD＝DE，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．【变式训练】1．（2021·山东烟台·七年级期中）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（    ）A．40 B．42 C．46 D．48【答案】A【分析】过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=5，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，∴DE=CD=5，∴四边形ABCD的面积．故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为F，E，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.【答案】证明见解析【分析】先证，所以根据全等三角形的对应边相等推知DE＝DF．再结合已知条件“DF⊥AC，DE⊥AB”可以证得结论．【详解】证明：如图，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，又∵DF⊥AC，DE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF.∵DF⊥AC，DE⊥AB，∴AD平分∠BAC．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．3．（2022·湖南·郴州市第四中学八年级期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．(1)求证：△BDE≌△CDF(2)求证：AD平分∠BAC；(3)直接写出AB＋AC与AE之间的等量关系．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)AB+AC=2AE，理由见解析【分析】（1）直接利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；（2）根据全等三角形的性质得到DE=DF，又DE⊥AB，DF⊥AC，即可证明结论；（3）只需要证明Rt△DEA≌Rt△DFA得到AE=AF，即可证明AB+AC=2AE．（1）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，∵BD=CD，BE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）；（2）解：∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（3）解：AB+AC=2AE，理由如下：∵DE=DF，AD=AD，∠DEA=∠DFA，∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），∴AE=AF，∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．考点五 角平分线的性质与判定例题：（2021·甘肃·庆阳市西峰区黄官寨实验学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为18cm，则BC的长为______．【答案】8cm【分析】利用线段垂直平分线的性质得AD＝BD，再利用已知条件结合三角形的周长计算．【详解】解：∵△DBC的周长＝BC+BD+CD＝18cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC+AD+CD＝18cm，∵AC＝AD+DC＝10cm，∴BC＝18﹣10＝8（cm）．故答案为：8cm．【点睛】本题考查中垂线的性质：中垂线上的点到线段两端点的距离相等．【变式训练】1．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）△ABC中，BC=14，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于D、E，连接AD、AE，且DE=6，则AD+AE=________．【答案】8或20##20或8【分析】根据题意，分两种情况，当与无重合，当与有重合解答即可得到结论．【详解】解：的垂直平分线与的垂直平分线分别交于点，，，，分两种情况：当与无重合时，如图所示：，，，当与有重合时，如图所示：，，，综上所述：的值为：8或20，故答案为：8或20．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．(1)求证：AB＝EC；(2)若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．【答案】(1)见解析(2)4cm【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，AB＝AE，即可求证；（2）根据△ABC的周长为14cm，可得AB+BC＝8（cm），再由AB＝EC，BD＝DE，可得DC＝DE+EC＝（AB+BC），即可求解．（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周长为14cm，∴AB+BC+AC＝14（cm），∵AC＝6cm，∴AB+BC＝8（cm），∵AB＝EC，BD＝DE，∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝4（cm）．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F．(1)请判断FC与AD的数量关系，并说明理由；(2)若AB＝6，AD＝2，求BC的长度．【答案】(1)FC=AD，理由见解析(2)【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；（2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出AB=BF，据此求解即可．（1）解：FC=AD，理由如下：∵AD∥BC（已知），∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE=EC（中点的定义）．在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD（全等三角形的性质）；（2）解：∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∴AB=BC+AD，∵AB=6，AD=2，∴BC=4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．考点六 等腰三角形的定义与性质例题：（2021·河北·唐山市第九中学八年级阶段练习）若等腰三角形的一条边长为5，另一条边长为10，则此三角形第三条边长为________．【答案】10【分析】分两种情况考虑：当5为等腰三角形的腰长时和底边时，分别求出周长即可．【详解】当5为等腰三角形的腰长时，10为底边，此时等腰三角形三边长分别为5，5，10，不能构成三角形；当5为等腰三角形的底边时，腰长为10，此时等腰三角形三边长分别为5，10，10，能构成三角形；综上所述，这个等腰三角形的第三条边的边长为10．故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式训练】1．（山西省临汾市2021-2022学年八年级上学期段考数学试卷（二））如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DFBC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8cm，DE＝2.5cm，则CE的长为______．【答案】5.5cm【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得．【详解】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，∵DEBC，∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，∴BD=FD，EF=CE，∴EF=DF-DE=BD-DE=8-2.5=5.5，∴EC=5.5cm故答案为5.5cm【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．2．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E在BC上，BD⊥AE于点D，F为BC中点．(1)在图中找出与∠ABD相等的角，并证明；(2)求证：DF平分∠BDE．【答案】(1)∠CAE=∠ABD，理由见详解(2)见详解【分析】（1）由∠BAD+∠CAE=90°和∠ABD+∠BAD=90°即可证明；（2）过C点作CG⊥AE，交AE的延长线于点G，延长CG、DF交于点H，先证明△ABD≌△CAG，可得到AG=BD，AD=CG；根据BD⊥AE，CG⊥AE，可得，即有∠BDF=∠FHC；再证明△DBF≌△HCF，即有BD=CH；根据DG=AG-AD，HG=CH-CG，可得DG=HG，即有∠FDG=∠FHC，则结论即可得证．（1）∠CAE=∠ABD，理由如下：∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵BD⊥AE，∴∠BDA=90°，∴在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°，∵∠BAD+∠CAE=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°=∠ABD+∠BAD，∴∠CAE=∠ABD，（2）证明：过C点作CG⊥AE，交AE的延长线于点G，延长CG、DF交于点H，如图，∵CG⊥AE，∴∠AGC=90°，即∠ADB=∠AGC=90°，根据（1）的结论有∠CAE=∠ABD，∵AB=AC，∴△ABD≌△CAG，∴AG=BD，AD=CG，∵BD⊥AE，CG⊥AE，∴，∴∠BDF=∠FHC，∠DBF=∠HCF，∵F为BC中点，∴BF=FC，∴△DBF≌△HCF，∴BD=CH，∵DG=AG-AD，HG=CH-CG，∴DG=BD-AD，HG=BD-CG=BD-AD，∴DG=HG，∴∠FDG=∠FHC，∵∠BDF=∠FHC，∴∠BDF=∠GDF，∴DF平分∠BDE，【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，构造辅助线CH、FH证明△DBF≌△HCF，是解答本题的关键．3．（2021·四川·东坡区实验中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC=∠ACB ，D是AC边上的一点，连接BD并延长到点E，连接AE、CE，AF平分∠BAC交BD于点F．(1)若∠BAC＝70°，∠FBC＝25°，求∠AFD；(2)已知CE⊥BC，AD＝CD，求证：BF＝AE．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质以及三角形内角和解答即可；（2）根据全等三角形的性质判定与性质先证明△ADF≌△CDE，然后证明△ABF≌△CAE即可得出答案．（1）解：∵平分∠BAC,∴，∵AB＝AC，∴,∵∠FBC＝25°，∴,∴；（2）设∠BAF＝∠CAF＝x°，∴∠BAC＝2x°，∴∠ABC＝∠ACB＝90°−x°，∵∠ECB＝90°，∴∠ECA＝x°，∴∠BAF＝∠ACE＝∠DAF＝x°，∵AD＝CD，∴△ADF≌△CDE（ASA），∴AF＝EC，在△ABF与△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴BF＝AE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．考点七 利用等腰三角形定义与性质的多解题例题：（2022·河南·驻马店市第十中学八年级阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为_____．【答案】16或17【分析】分边长6是等腰三角形的腰和底两种情况讨论，即可求解．【详解】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长＝6+6+5＝17，②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长＝6+5+5＝16，综上所述，三角形的周长为16或17．故答案为：16或17．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解答本题时注意分情况讨论，避免出现错漏．【变式训练】1．已知等腰三角形的一个内角是72°，那么这个等腰三角形的顶角是______度．【答案】72或36【解析】【分析】本题应分底角为72°、顶角为72°这两种情况，分别计算每种情况下等腰三角形是否存在．【详解】解∶ ①当72°角是顶角时，顶角为72°，②当72°角是底角时，顶角＝180°－72°×2＝36°，综上顶角为72°或36°．故答案为：72或36．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，，树立分类讨论思想，培养学生全面思考问题的数学素养， 在计算等腰三角形有关边、角的问题时，要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论是解题的关键．2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°，则这个等腰三角形底角度数是_______．【答案】或【解析】【分析】在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出．【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，，当在内部时，如图1，为高，，， ，；当在外部时，如图2，为高，，，，，而，，综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．3．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．【答案】25°或40°或10°【解析】【详解】【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，∠C=（180°-100°）=40°，②AB=AD，此时∠ADB=（180°-∠A）=（180°-80°）=50°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，∠C=（180°-130°）=25°，③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，∠C=（180°-160°）=10°，综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°故答案为25°或40°或10°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．4．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为和两部分，求该三角形各边的长．（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1）或者；（2）周长为或者10【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，列出方程求解，注意分类讨论．（2）分三种情况，进行讨论，结合三角形三边关系得出答案．【详解】设腰长为2x,底为y，根据题意得：① 解得： 三边为10,10,7② 解得： 三边为8,8,11故本题答案为：或者①当时，解，此时，能构成三角形．此时周长为10②当时，解，此时不能构成三角形．③当，解得，此时，能构成三角形，周长为＝7综上，三角形的周长为7或者10．【点睛】本题考查等腰三角形性质，以及三角形三边关系，属于基础提高题．5．（2022·福建·莆田市城厢区南门学校八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；(2)在运动过程中，求当t为何值时，△BCP为等腰三角形．【答案】(1)(2)s或5.3s或5s或s【分析】（1）连接BP，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理列方程计算，得到答案；（2）分类讨论：若点P在AC上，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，CP＝BC，根据P移动的路程易得t的值；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD＝CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP＝AB＝5，易得t的值；当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，易得t的值；（1）如图1，连接BP，在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8（cm），则PC＝8﹣PA，由勾股定理得，PB2＝PC2+BC2，当PA＝PB时，PA2＝（8﹣PA）2+62，解得，PA＝，则t＝÷4＝；（2）分四种情况：①如图1，点P在CA上，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，∵BC=6,AC=8,∴AP=AC-CP=AC-CB=2则4t＝2，解得t＝（s）；②如图2，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，∴t＝20÷4＝5（s）；③如图3，若点P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，则S△ABC＝，CD＝4.8，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝＝3.6，∴PB＝2BD＝7.2，∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，此时t＝21.2÷4＝5.3（s）；④如图4，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，∴PD为△ABC的中位线，∴AP＝BP＝AB＝5，∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，∴t＝19÷4＝（s）；综上所述，t为s或5.3s或5s或s时，△BCP为等腰三角形．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．考点八 等腰三角形中全等综合问题例题：（2021·重庆市璧山中学校八年级期中）（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系．（2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，证明见解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．证明见解析【分析】（1）延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题；（2）由△ACE≌△BCD，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°．∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案为AE=BD，AE⊥BD；（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD，理由如下：如图2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°-∠CED=135°，由（2）可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．【变式训练】1．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．(1)如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．(2)如图2，当点E为AB上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．(3)在等边三角形ABC中，若点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，请直接写出CD的长．【答案】(1)AE=DB，理由见解析(2)AE=DB，理由见解析(3)CD=3【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠D＝∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD∠ACB＝30°，然后证∠DEB＝∠D，得DB＝BE，即可得出结论；（2）过点E作EFBC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE＝EF，再证△DBE≌△EFC（AAS），得DB＝EF，即可得出结论；（3）过点E作EFBC，交AC的延长线于点F，可证得△AEF是等边三角形，△DEB≌△ECF(AAS)，由DB＝EF＝2，BC＝1，即可得出答案．（1）解：如图1，∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，∴∠ACB=60°，∠BEC=90°，AE=BE，又∵ED=EC，∴∠D=∠ECB=30°，∴∠DEC=120°，∴∠DEB=120°−90°=30°，∴∠D=∠DEB=30°，∴BD=BE=AE，即AE=DB．（2）解：当点E为AB上任意一点时，如图2，AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：如图2，过E作EFBC交AC于F，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60∘，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，，∴△DEB≌△ECF(AAS)，∴BD=EF=AE，即AE=BD，（3）解：过点E作EFBC，交AC的延长线于点F，如图3所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60∘，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF＝2，∵∠ABC=∠ACB=∠EFC=60°，∴∠DBE=∠ABC=∠EFC =60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∵EFBC，∴∠ECD=∠CEF，∴∠D＝∠CEF，在△DEB和△ECF中，，∴△DEB≌△ECF(AAS)，∴DB＝EF＝2，∵BC＝1，∴CD＝BC+DB＝3．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．2．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D是直线BC上一点，过点A作∠DAE=90°（使点D，A，E按顺时针的顺序排列），且AE=AD，连接CE，过点A作AF⊥CE交直线CE于点F．(1)如图，当点D在线段BC上时；求证：CE=BD；(2)当点D在直线BC上时，直接写出线段BD、CD、EF之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)BD＋CD=2EF或BD-CD=2EF或CD-BD=2EF【分析】(1)先证明∠DAB =∠EAC，得到△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到CE=BD；(2)分三种情况讨论，在CE上截取CH=CD，连接AH，可证得、，进而得到线段BD、CD、EF之间的数量关系．（1）证明：，，，在△DAB与△EAC中， ，；（2）解：如图，当点D在BC上时，在CE上截取CH=CD，连接AH，，，，，， 在△ACD与△ACH中， ，，，，，，；当点D在点B的下方时，如图：同理可得：CD-BD=2EF；当点D在点C的上方时，如图：同理可得：BD+CD=2EF，综上所述：BD＋CD=2EF或BD-CD=2EF或CD-BD=2EF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形及等腰直角三角形的性质，作出辅助线是解题的关键．3．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图1，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别是AC和BC上的动点，BD⊥AE，垂足为F．(1)求证∠CAE=∠ABD；(2)连接DE，满足∠AEB=∠DEC，求证：BD=DE+AE；(3)点G在BD的延长线上，连接EG，满足∠AEB=∠GEC，试写出AE，EG，BG之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)BG=AE+EG，见解析【分析】（1）根据∠CAE=90°-∠BAE，∠ABD=90°-∠BAE，等量代换即可得证．（2）作CM⊥AD于点C，CM交AE的延长线于点M，证明△ABD≌△CAM和△EDC≌△EMC即可得证．（3）延长AE至点N，作EN=EG，先证明△BEG≌△BEN，再证明AN=BN即可．（1）证明：∵BD⊥AF，∴∠BFA=90°，∵∠CAE+∠BAF=90°，∠ABD+∠BAF=90°∴∠CAE=∠ABD．（2）证明：如图，作CM⊥AD于点C，CM交AE的延长线于点M由①知，∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAM中，，∴△ABD≌△CAM（ASA）∴BD=AM，∵∠AEB=∠CEM，∴∠DEC=∠CEM，又∵∠ACBA=45°∴∠MCE=45°在△EDC和△EMC中，，∴△EDC≌△EMC（ASA）∴EM=ED，∵AM=AE+EM，∴BD=DE+AE．（3）证明：如图，延长AE至点N，作EN=EG，∵∠AEB =∠GEC，∠AEB =∠CEN，∴∠GEC =∠CEN，∴∠BEG =∠BEN，在△BEG和△BEN中，∴△BEG≌△BEN（SAS），∴BN=BG，∠GBC =∠NBC，∵∠GBC =45°－∠ABD，∴∠ABN =90°－∠ABD，∵∠BAN =90°－∠CAE，且∠ABD =∠CAE，∴∠ABN =∠BAN，∴AN=BN=BG，∵AN=AE+EN=AE+EG∴BG=AE+EG．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握补短法证明线段间的关系是解题的关键．4．（2022·江西萍乡·八年级开学考试）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．(1)判断△ABD与△DCE是否全等？并证明？(2)若BD＝4，CD＝7，求AE的长．(3)若∠ADE＝30°，求∠2的度数．【答案】(1)结论：△ABD≌△DCE．证明见解析(2)3(3)45°【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；（2）得出AB=DC=5，CE=BD=3，求出AC=5，则AE可求出；（3）由AB=AC=CD，推出∠B=∠C=30°，∠CAD=∠CDA=（180°-30°）=75°，可得结论．（1）解：结论：△ABD≌△DCE．理由：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（2）∵△ABD≌△DCE，∴AB=DC=7，CE=BD=4，∵AC=AB，∴AC=7，∴AE=AB-EC=7-4=3；（3）∵∠ADC=∠ADE+∠2=∠1+∠B，∠1=∠2，∴∠ADE=∠B=30°，∵AB=AC=CD，∴∠B=∠C=30°，∠CAD=∠CDA=（180°-30°）=75°，∴∠2=∠ADC-∠ADE=45°．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．关系 名称轴对称轴对称图形区别意义不同两个图形之间的对称关系具有特殊形状的图形对象不同两个图形一个图形对称轴的位置不同在两个图形之间过图形的某条直线对称轴的数量不同只有一条不一定只有一条联系(1)沿对称轴折叠 ,两个图形重合;(2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形(1)沿对称轴折叠,图形的两部分重合;(2)如果把轴对称图形的两部分看作两个图形,那么这两个图形成轴对称