专题02简单几何体（7个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）

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专题02简单几何体（7个考点）【知识梳理+解题方法】一．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．二．棱锥的结构特征【知识点的认识】1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．2．认识棱锥棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．3．棱锥的结构特征根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．4．棱锥的分类棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．5．棱锥的体积公式设棱锥的底面积为S，高为h，V棱锥＝Sh．三．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【知识点的认识】旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．1．圆柱①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱． 圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．②认识圆柱③圆柱的特征及性质圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．④圆柱的体积和表面积公式设圆柱底面的半径为r，高为h：2．圆锥①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．②认识圆锥③圆锥的特征及性质与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2④圆锥的体积和表面积公式设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：3．圆台①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．②认识圆台③圆台的特征及性质平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．④圆台的体积和表面积公式设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：．四．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【知识点的知识】侧面积和全面积的定义：（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）五．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的知识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥＝Sh．六．球的体积和表面积【知识点的认识】1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．2．球体的体积公式设球体的半径为R，V球体＝3．球体的表面积公式设球体的半径为R，S球体＝4πR2．【命题方向】考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．七．球的性质【知识点的知识】1、球的定义：（1）球的旋转定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面．球面所围成的几何体叫做球体．（2）球的集合定义：空间中，与定点（球心）的距离等于或小于定长（半径）的点的集合叫做球体，简称球．2、球的相关概念：（1）球心：半圆的圆心叫做球心．（2）连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径．（3）连结球面上两点并经过球心的线段叫做球的直径．（4）球的体积：V球＝πR3．（5）球的表面积：4πR2．3、球的截面及其性质：（1）截面的定义：用一个平面去截一个球，截面是圆面．（2）球的截面的性质：①球心和截面圆心的连线垂直于该截面；②球心到截面的距离d与球的半径R，小圆半径r有下面的关系：d＝．（3）大圆和小圆：①球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆．②球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆．4、两点间的球面距离： 球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度．即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度．【专题过关】一．棱柱的结构特征（共2小题）1．（2021秋•长宁区期末）如图是一个棱长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是 　   　．①直线AF与直线CN垂直；②直线BM与直线CN相交；②直线ME与直线CN平行；④直线AB与直线CN异面． 2．（2022•静安区校级开学）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N、P分别是B1C1、D1D和AB的中点，则下列关系：①BM⊥AB；②BM∥平面A1PC1；③BM⊥C1P；④B1N和⊥平面A1PC1，正确的编号为　   　．二．棱锥的结构特征（共3小题）3．（2021秋•宝山区校级期末）如图，AD与BC是三棱锥A﹣BCD中互相垂直的棱，BC＝2，AD＝2c（c为常数）．若AB+BD＝AC+CD＝2a，则实数a的取值范围为 　   　．4．（2021秋•奉贤区校级期末）如图，在三棱锥P﹣ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝　   　．5．（2021秋•黄浦区校级期末）在三棱锥P﹣ABC中，点P在底面ABC内的射影为Q，若PA＝PB＝PC，则点Q定是△ABC的 　   　心．三．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共7小题）6．（2022•闵行区校级开学）圆锥P﹣O轴截面的顶角为，母线长为2，则过任意两条母线的截面面积的取值范围为 　   　．7．（2021秋•杨浦区校级期末）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为30°，则该圆锥的侧面积大小为 　   　.（结果保留π）8．（2021秋•长宁区期末）圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积为 　   　．9．（2021秋•奉贤区校级期末）已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥母线的长为 　   　．10．（2021秋•上海期末）圆柱的母线长为4cm，底面半径为2cm，则体积为 　   　cm3．11．（2022春•闵行区校级期末）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为　   　．12．（2021秋•普陀区校级期末）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的封闭图形．（1）设BC＝1，AB＝2，求这个几何体的表面积；（2）设G是弧的中点，设P是弧上的一点，且AP⊥BE．求异面直线AG与BP所成角的大小．      四．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共3小题）13．（2021秋•杨浦区校级期末）如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为　   　．14．（2021秋•黄浦区期末）若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为 　   　．15．（2021秋•宝山区校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AC＝AA1＝4，∠ABC＝90°．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；（2）求异面直线A1B与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．      五．棱柱、棱锥、棱台的体积（共6小题）16．（2022•闵行区校级开学）三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的体积是（　　）A． B． C． D．17．（2021秋•上海期末）若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为（　　）A． B． C． D．18．（2022•徐汇区校级开学）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙，若＝2，则＝　   　．19．（2021秋•浦东新区期末）已知正三棱锥O﹣ABC的底面边长为4，高为2，则此三棱锥的体积为 　   　．20．（2021秋•黄浦区校级期末）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，B1为棱PB的中点，D1为棱PD的中点，则棱锥P﹣ABCD与棱锥A﹣B1CD1的体积之比为 　   　．21．（2021秋•上海期末）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E，F分别是AB，CC1的中点．（1）求异面直线A1E与D1F所成的角的大小；（2）求三棱锥A1﹣D1EF的体积．     六．球的体积和表面积（共5小题）22．（2021秋•杨浦区校级期末）大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱（如图）．以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（　　）A． B． C． D．23．（2022•闵行区校级开学）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为 　   　．24．（2021秋•浦东新区期末）已知球O的半径为1，则此球的表面积为 　   　．25．（2021秋•普陀区校级期末）如图，SD是球O的直径，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，∠ASD＝∠BSD＝∠CSD＝30°，当三棱锥S﹣ABC的底面是边长为3的正三角形时，则球O的半径为 　   　．26．（2022春•闵行区校级期末）若一个球的表面积为π，则该球的半径为 　   　．七．球的性质（共1小题）27．（2021秋•嘉定区校级期末）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，则两圆圆心的距离MN＝　   　．