专题02 常用逻辑用语 （知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题02 常用逻辑用语

一、命题

1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

2．判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.

3．命题常写成“若p，则q”的形式，其中命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.

4．定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理.

5.定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.

6．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题．

二、充要条件

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA，

A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB，

弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．

2.等价转化法判断充分条件、必要条件

p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．

3.充分、必要条件与集合的子集之间的关系

设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．

(3)若A＝B，则p是q的充要条件．

三、全称量词和存在量词

1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．

2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

3．全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定

提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

题型一   命题真假的判定

【典例1】（2021·江苏·高一期中）关于区间，有下列四个命题：

甲：小于1的数都不在区间I内      

乙：区间I内不存在两个数互为倒数

丙：区间I内存在小于1的数         

丁：区间I内每个数的平方都大于它本身

如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【典例2】同住一个房间的四名女生，她们在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲．有以下五个命题：

(1)A既不在修剪指甲，也不在看书；

(2)B既不在听音乐，也不在修剪指甲；

(3)若C在修剪指甲，则A在听音乐；

(4)D既不在看书，也不在修剪指甲；

(5)C既不在看书，也不在听音乐．

若上面的命题都是真命题，问：她们各自在干什么？

【规律方法】

1.命题真假的判定方法

真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．可以根据已学过的定义、定理、公理，已知的正确结论和命题的条件进行正确的逻辑推理进行判断．

要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

2．从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A⊆B时满足．

题型二   充分、必要条件的判定

【典例3】（2022·天津·高考真题） “为整数”是“为整数”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不允分也不必要条件

【典例4】（2020·江苏·南京外国语学校高一期中）“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【典例5】（2020·江苏·泰州市第二中学高一期中）命题“”是“”的（     ）

A．既不充分又不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．充分不必要条件

【典例6】【多选题】（2021·江苏常州·高一期中）命题“，则”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【规律方法】

1.判断p是q的充分条件，就是判断命题“若p，则q”为真命题．

2. 判断p是q的必要条件，就是判断命题“若q，则p”成立.

3.充要条件的三种判断方法：

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；

(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．

4．充分条件、必要条件、充要条件与命题的真假之间关系：

题型三：充分条件、必要条件的探求与应用

【典例7】（2022·江苏·高一单元测试）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【典例8】（2021·江苏·高一专题练习）若，则的一个充分不必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【典例9】【多选题】（2022·江苏·高一单元测试）已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（　　）

A．  B．

C．  D．

【总结提升】

充分、必要条件的探求方法(与范围有关)

先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．

题型四  利用充分、必要条件求参数的取值范围

【典例10】（2021·江苏·东海县教育局教研室高一期中）若集合，，其中b为实数.若A是B的充分不必要条件，则b的取值可以是___________.（答案不唯一，写出一个即可）

【典例11】（2021·江苏省天一中学高一期中）已知集合，或．

(1)当时，求；

(2)若，且“”是“”的__________条件，求实数的取值范围．

（请在“①充分不必要；②必要不充分”两个条件中选一个条件填入横线后作答）

【总结提升】

利用充要条件求参数的两个关注点

(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．

题型五  全称命题、存在命题的否定与命题真假判断

【典例12】（2021·江苏·徐州市第七中学高一期中）命题“，都有”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【典例13】（2021·江苏·盐城市大丰区新丰中学高一期中）已知命题p：∃n∈N，n2>3，则﹁p为（    ）

A．∀n∈N，n2≤3 B．∃x∈N，n2≤3

C．∀n∈N，n2>3 D．∃n∈N，n2＝3

【典例14】（2022·全国·高三专题练习）已知命题p：，或，则（       ）

A．：，或 B．：，且

C．：，且 D．：，或

【典例15】【多选题】（2020·江苏·南京师范大学附属实验学校高一期中）已知下列命题中，真命题的是（    ）

A． B．

C． D．

【总结提升】

1．全称命题与存在命题的否定

(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

(2)否结论：对原命题的结论进行否定．

2．全称命题与存在命题真假的判断方法

题型六  由全称命题、存在命题真假求参数

【典例16】（2023·全国·高三专题练习）已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 _____.

【规律方法】

1.根据全称(存在)命题的真假求参数的思路

与全称命题或存在命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．

2．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．

3．存在命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．

1．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）命题“ ”的否定是（　　）

A．  B．

C．   D．

2．（2020·江苏省西亭高级中学高一期中）设命题，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

3．（2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期末）不等式成立的一个充分条件是（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·江苏·高一课时练习）命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·江苏常州·高一期中）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）“”是“”成立的是（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（2021·江苏·高一期中）设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2021·江苏苏州·高一期中）下列四个选项中，是的充分不必要条件的是（　　）

A．：，：

B．：，：

C．：，，：

D．：，，：

10．（2021·江苏苏州·高一期中）若集合，，则（　　）

A．

B．可能为、

C．与有相同的子集个数

D．是的必要不充分条件

11．（2021·江苏·高一期中）“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

12．（2021·江苏·高一期中）若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

13．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期中）命题“”的否定是_____.

14.（2021·江苏宿迁·高一期中）若命题“”为假命题，则满足条件的一个自然数的值为______

15．（2021·江苏省滨海中学高一期中）命题“”是假命题，则实数a的范围是_________．

16．（2021·江苏省天一中学高一期中）已知命题：，，则命题的否定为___________；若命题为真命题，则的取值范围为___________.

四、解答题

17．（2021·江苏·姜堰中学高一期中）已知集合，.

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.

18．（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）已知命题：“，不等式成立”是真命题．

(1)求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19．（2021·江苏·南京市人民中学高一期中）设集合，B＝{x|2(a＋1)x＋a2－1＝0}.

(1)若－1∈B，求a的值；

(2)设条件p：x∈A，条件q：x∈B，若q是p的充分条件，求a的取值范围.

20．（2021·江苏·徐州市第七中学高一期中）已知集合，.

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若是的充分条件，求的取值范围.

21．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）已知集合，，全集．

(1)当时，求；

(2)当时，求实数的取值范围；

(3)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．

22．（2020·江苏·星海实验中学高一期中）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}.

(1)若a=3，求；

(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围.