专题03 不等式 （知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题03 不等式

（一）不等式的性质

1.比较大小的常用方法

(1)作差法

一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．

(2)作商法

一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．

*(3)函数的单调性法

将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．

2．判断不等式是否成立的方法

(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．

(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．

3．求代数式的取值范围

利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．

4.不等式性质

(1)对称性：a>b⇔b<a.

(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.

(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.

(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.

(5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.

(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.

(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．

(8)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．

（二）基本（均值）不等式

1．重要不等式

当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．

2．基本不等式

当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．

3.常用推论

（1）（）

（2）（，）；

（3）

（三）基本（均值）不等式应用

1．基本不等式与最值

已知x、y都是正数．

(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．

2. 利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．

（四）二次函数与方程、不等式

1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系

（五）不等式的解法

1.解一元二次不等式的一般步骤

(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．

(2)判：计算对应方程的判别式．

(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．

(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．

*2．分式不等式的解法

求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．

(1) ；

(2)

3．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．

(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．

(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．

(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．

题型一  不等式的性质及应用

【典例1】（2021·湖南高考真题）若，则（    ）

A． B．

C． D．

【典例2】（2020·慈溪中学高一月考）下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【典例3】（2022·江苏·高一）已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．无法确定

【典例4】（2022·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）已知，.

(1)分别求a，c的取值范围；

(2)求的取值范围.

【特别提醒】

1.比较两个数或代数式的大小的三种方法

(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．

步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．

变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．

(2)作商法：要求两个数(或式子)为正数．

步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．

(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较．
2．判断不等式是否成立的方法

(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件．

(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．

3．利用不等式的性质求取值范围的方法

(1)已知x，y的范围，求F(x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．

(2)已知f(x，y)，g(x，y)的范围，求F(x，y)的范围．

可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．

题型二  利用基本不等式证明不等式

【典例5】【多选题】（2021·江苏扬州·高一期中）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【典例6】【多选题】（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a＞0，b＞0，则（       ）

A． B．

C． D．

【典例7】（2021·江苏·高一专题练习）已知均为正实数，且满足证明：

(1)；

(2)．

【方法技巧】

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

题型三：利用基本不等式求最值

【典例8】【多选题】（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）以下结论正确的是（    ）

A．函数的最小值是2；

B．若且，则；

C．的最小值是2；

D．函数的最大值为0．

【典例9】（2021·江苏·姜堰中学高一期中）设，若，则的最大值是___________.

【典例10】（2022·江苏·高一）已知，，且，则的最小值是________.

【典例11】（2021·江苏省溧阳中学高一期中）设实数，若函数的最小值为6，则________.

【典例12】（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．

【规律方法】

1.利用基本不等式求最值的三种方法

2.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.

题型四：基本不等式的实际应用

【典例13】（2021·江苏扬州·高一期中）为响应创建文明卫生城市的号召，某校计划在学校空地建设一个面积为的长方形花草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形种植花卉，矩形上下各留左右各留种植草坪，设花草坪长度为（单位：），宽度为（单位：），矩形的面积为（单位：）.

(1)试用表示；

(2)求的最大值，并求出此时的值.

【典例14】（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.

（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;

（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.

【规律方法】

1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：

(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．

【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！

题型五：二次函数的图象和性质的应用

【典例15】（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（       ）

A． B． 

C． D．

【典例16】（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）不等式的解集是，则下列结论正确的是（   ）

A． B．

C． D．

题型六：一元二次不等式的解法

【典例17】（2022·江苏省如皋中学高一开学考试）不等式的解集为（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【典例18】（2022·江苏·高一专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集是（    ）

A． B．或

C． D．

【典例19】解不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0.（a为实数）

【特别提醒】

含参不等式的解法：

(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．

(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．

(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．

题型七：一元二次不等式恒成立问题

【典例20】（2021·四川省南充高级中学高二期中（文））若命题“，”是真命题，则实数的取值范围为_________.

【典例21】（2022·江苏·高一）设函数，若对于任意的，恒成立，则实数m的取值范围为______．

【规律方法】

一元二次不等式恒成立问题的解法

(1)函数法(图象法)

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

①f(x)＞0在x∈R上恒成立⇔a＞0且Δ＜0；

②f(x)＜0在x∈R上恒成立⇔a＜0且Δ＜0；

③当a＞0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立⇔ 或或

f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立⇔

④当a＜0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立⇔；f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立⇔或或

(2)最值法

对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题．

a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max，

a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min.

一、单选题

1．（2022·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

2．（2022·江苏·高一专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ）

A． B．或 C． D．或

3．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．或

4．（2022·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·江苏省如皋中学高一开学考试）命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．

C． D．

6．（2021·江苏·高一单元测试）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．或

C． D．

7．（2022·江苏·高一）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ）

A． B．

C． D．

8．（2021·江苏·扬州大学附属中学高一期中）下列命题，错误的是（    ）

A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2

C．若，则的最小值为2 D．若，则的最小值为2

二、多选题

9．（2022·江苏省天一中学高一期末）已知、、、均为非零实数，则下列一定正确的有（    ）

A． B．

C．若，则 D．若，，则

10．（2022·江苏·高一专题练习）已知，，且，则（    ）

A．xy的取值范围是 B．的取值范围是

C．的最小值是3 D．的最小值是

11．（2020·江苏·明达中学高一阶段练习）在R上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

12．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（    ）.

A．

B．若不等式的解集为，则

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

三、填空题

13．（2022·江苏省响水中学高一开学考试）已知正实数a，b满足，则的最小值为______．

14．（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）已知，，且满足，则的最大值为__________.

15．（2022·江苏·高一专题练习）已知不等式的解集是，，则不等式的解集是____________.

16．（2022·江苏·高一）已知，，，则的最小值为__．

四、解答题

17．（2020·江苏·明达中学高一阶段练习）设，，比较与的大小

18．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）设全集，集合，集合，其中．

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围．

19．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）若正数，，满足．

(1)求的最大值；

(2)求的最小值．

20．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知不等式的解集为．

(1)求实数，的值；

(2)解关于的不等式（其中为实数）．

21．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期中）（1）已知，比较与的大小；

（2）已知正数，满足，证明：

22．（2022·江苏·高一）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.

(1)当时，求海报纸的面积；

(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？