专题04 指数与对数 （知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

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专题04 指数与对数


（一）根式
(1)n次方根的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，n＞1)．
②＝
（二）有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算．
（三）对数的概念
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
提醒：指数式与对数式的关系

（四）对数的性质、换底公式与运算性质
1．对数的性质：
①loga1＝0；②a＝N；③logaab＝b(a＞0，且a≠1)．
2．换底公式：
logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．
3．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
4．对数的运算性质：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

题型一 根式的化简与求值
【典例1】（2021·江苏·高一专题练习）化简（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用配方法将被开方数配凑成完全平方形式即可求解.
【详解】解：，
故选：D．
【典例2】（2021·江苏·高一专题练习）下列各式中成立的一项（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项.
【详解】对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：D.
【典例3】（2021·江苏·高一专题练习），则实数a的取值范围_________ 
【答案】
【分析】由二次根式的化简求解
【详解】由题设得，
，
所以
所以，．
故答案为：
【规律方法】
1.根式化简或求值的注意点
解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
2．对与()n的进一步认识
(1)对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a(a≥0)．
(2)对的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝.
(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．
题型二 指数幂的化简与求值
【典例4】（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知，，则（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出的值，再开方即可.
【详解】根据题意得，
，
因为，所以.
故选：D.
【典例5】（2021·江苏·高一专题练习）已知，则不可能满足的关系是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数的运算性质及基本不等式即可求解
【详解】，，
，
，
，
则有，，，
，故A. B正确；
，故C正确；
，故D错误，
故选：D.
【典例6】（2020·江苏镇江·高一期中）（1）求值：；
（2）已知，求值：.
【答案】（1）81；（2）6.
【分析】（1）（2）根据指数幂的运算性质即可求出.
【详解】（1）原式；
（2）由，而，
则，故.
【特别提醒】
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
题型三 对数的概念与性质
【典例7】（2021·天津高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】
由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】
，，
.
故选：C.
【典例8】对数式中，实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，5)　　　　　 B．(2,5)　　　　　
C．(2，＋∞)　　　　　 D．(2,3)∪(3,5)
【答案】D
【解析】由题意，得∴2