专题02 一元二次方程（12个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（北师大版）

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专题02 一元二次方程（12个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
九．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
十．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
十一．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
十二．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
【专题过关】
一．一元二次方程的定义（共2小题）
1．（2022春•苏州期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x2+3y＝1 B．x2+3x＝1 C．ax2+bx+c＝2 D．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．据此解答即可．
【解答】解：A．该选项的方程为二元二次方程，故该选项不符合题意；
B．该选项的方程只含有一个未知数且最高次数为2，所以是一元二次方程，故该选项符合题；
C．该选项的方程中a可能等于0，所以可能不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D．该选的方程是分式方程，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．（2021秋•北京期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．如：2*1＝22﹣2×1＝2．根据这个法则，
（1）计算：3*2＝　3　；
（2）判断（t+2）*（2t+1）＝0是否为一元二次方程，并求解；
（3）判断方程（x+2）*1＝3的根是否为x1＝，x2＝，并说明理由．
【分析】（1）利用题中的新定义列式计算可得结果；
（2）利用题中的新定义判断即可；
（3）利用题中的新定义判断即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：3*2＝32﹣3×2＝9﹣6＝3，
故答案为：3；
（2）已知等式变形得：（t+2）2﹣（t+2）（2t+1）＝0，整理得t2+t﹣2＝0，是一元二次方程；
解方程得t2+t﹣2＝0，得（t+2）（t﹣1）＝0，即t+2＝0或t﹣1＝0，解得t1＝﹣2，t2＝1；
（3）方程变形得：（x+2）2﹣（x+2）＝3，
整理得：x2+4x+4﹣x﹣2﹣3＝0，即x2+3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
故方程（x+2）*1＝3的根不是x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了根与系数的关系，实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
二．一元二次方程的一般形式（共3小题）
3．（2022春•嘉兴期末）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　）
A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0
【分析】先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可．
【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x，
x2﹣1﹣3x＝0，
即x2﹣3x﹣1＝0，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
4．（2021秋•日喀则市月考）将方程x2+1＝2x化为一元二次方程的一般形式，正确的是（　　）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2＝2x+1 D．x2＝2x﹣1
【分析】根据一元二次方程的一般形式，进行计算即可解答．
【解答】解：将方程x2+1＝2x化为一元二次方程的一般形式，即：x2﹣2x+1＝0，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
5．（2021春•射阳县校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出方程的解．
【解答】解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
三．一元二次方程的解（共3小题）
6．（2022•南岸区校级模拟）若m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，则3﹣2m2+2m的值是（　　）
A．2 B．1 C．4 D．5
【分析】把m代入方程得到m2﹣m的值，变形代数式后整体代入得结果．
【解答】解：∵m是关于x的二元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1．
∴3﹣2m2+2m
＝3﹣2（m2﹣m）
＝3﹣2×1
＝3﹣2
＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．掌握整体代入的思想方法是解决本题的关键．
7．（2022秋•洪泽区校级月考）如果a是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则2a2﹣4a+2019的值为 　2023　．
【分析】首先由已知可得a2﹣2a﹣2＝0，即aa2﹣2a＝2．然后化简代数式，注意整体代入，从而求得代数式的值．
【解答】解：把x＝a代入得到a2﹣2a﹣2＝0，
则a2﹣2a＝2．
又∵2a2﹣4a＝2（a2﹣2a），
把a2﹣2a＝2代入2a2﹣4a+2019＝2（a2﹣2a）+2019＝2×2+2019＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意解题中的整体代入思想的应用．
8．（2022•峨眉山市模拟）化简：并求值，其中x是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的解．
【分析】根据分式的除法可以化简题目中的式子，然后根据一元二次方程x2+3x﹣1＝0，可以得到x2+3x＝1，整体代人后即可解答本题．
【解答】解：原式＝
＝
＝3x（x+3）
＝3（x2+3x），
∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2+3x＝1，
∴原式＝3．
【点评】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
9．（2022•仙居县校级开学）解方程：
（1）（x﹣2）2＝16；
（2）x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）把方程两边开方得到x﹣2＝±4，然后解一次方程即可；
（2）利用配方法解方程．
【解答】解；（1）（x﹣2）2＝16，
x﹣2＝±4，
所以x1＝6，x2＝﹣2；
（2）x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x+4＝3，
（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】本题考查了解方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了配方法．
五．解一元二次方程-配方法（共2小题）
10．（2022•宿豫区校级开学）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣4x﹣6＝0，
x2﹣4x＝6，
x2﹣4x+4＝6+4，
（x﹣2）2＝10，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
11．（2022•大观区校级开学）用配方法解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】利用配方法得到（x﹣1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝4，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
所以x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
六．解一元二次方程-公式法（共2小题）
12．（2022春•莱芜区期中）解下列方程：
（1）x2+4x+1＝13（配方法）；
（2）（x﹣3）（x+2）＝6．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2+4x+1＝13，
x2+4x＝12，
x2+4x+4＝12+4，
（x+2）2＝16，
x+2＝±4，
x+2＝4或x+2＝﹣4，
x1＝2，x2＝﹣6；
（2）（x﹣3）（x+2）＝6，
x2﹣x﹣12＝0，
（x﹣4）（x+3）＝0，
x﹣4＝0或x+3＝0，
x1＝4，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
13．（2022秋•河南月考）用公式法解方程：（x﹣1）（x﹣2）＝5．
【分析】根据公式法即可求出答案．
【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）＝5，
x2﹣3x+2＝5，
x2﹣3x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac
＝9﹣4×1×（﹣3）
＝9+12
＝21，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型．
七．解一元二次方程-因式分解法（共3小题）
14．（2022•莲池区校级一模）一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣16x+55＝0的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（　　）
A．11 B．27 C．5或11 D．21或27
【分析】可先解出x的值，然后根据等腰可知三角形三边为5，5，11或11，11，5，然后看两组数是否符合三角形的性质，最后解出周长的值．
【解答】解：x2﹣16x+55＝0，
解得：x1＝11，x2＝5，
如果11是等腰三角形的底边，5为腰长，此时根据三角形三边关系，不合题意；
如果11是等腰三角形的腰长，5为底边，则三角形的周长为27．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系定理，运用了分类讨论的思想，学生应该对x的值进行讨论，根据三角形的性质（a﹣b＜c＜a+b）来判断x的取值是否满足题意．
15．（2022秋•江岸区校级月考）一元二次方程（x﹣1）2＝x﹣1的根为 　x1＝1，x2＝2　．
【分析】先移项，再利用提公因式法把方程左边分解得到（x﹣1）（x﹣1﹣1）＝0，则原方程化为x﹣1＝0或x﹣1﹣1＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣1﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣1﹣1＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
故答案为：x1＝1，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．
16．（2022春•姑苏区校级期中）解方程：
（1）x2﹣9＝0；
（2）2x2﹣x﹣3＝0．
【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x﹣3＝0，然后解一次方程即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为2x﹣3＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣9＝0，
（x+3）（x﹣3）＝0，
x+3＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝3；
（2）2x2﹣x﹣3＝0，
（2x﹣3）（x+1）＝0，
2x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
八．根的判别式（共3小题）
17．（2022•五华区校级三模）关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【分析】根据一元二次方程x2+mx+4＝0有两个相等的实数根列关于m的方程，即可解得答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即m2﹣4×1×（﹣）＝0，
解得m＝1，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝0．
18．（2022•蜀山区校级三模）当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况为（　　）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【分析】利用c＝1﹣b得到Δ＝（b﹣2）2≥0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵b+c＝1，
∴c＝1﹣b，
∴Δ＝b2﹣4×（﹣c）＝b2+4（1﹣b）＝（b﹣2）2≥0，
∴方程有两个实数解．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
19．（2022春•蜀山区校级期中）关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，求m的值．
【分析】（1）根据关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的根的判别式的符号来证明结论；
（2）根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0，即可求得m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得
12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，
解得，m＝2．
【点评】本题综合考查了勾股定理、根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程解的定义．
九．根与系数的关系（共2小题）
20．（2022•宜阳县二模）若m，n分别是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则m2﹣3m+n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由于m、n是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n＝4，而m是方程的一个根，可得m2﹣4m+1＝0，即m2﹣4m＝﹣1，那么m2﹣3m+n＝m2﹣4m+m+n，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵m，n分别是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根，
∴m2﹣4m+1＝0，m+n＝4，
∴m2﹣4m＝﹣1，
∴m2﹣3m+n＝m2﹣4m+m+n＝﹣1+（m+n）＝﹣1+4＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
21．（2022•西城区校级模拟）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，且x1＝3x2，求m的值．
【分析】（1）求出一元二次方程根的判别式，判断Δ与0的关系．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，再利用x1＝3x2形成关于m的方程，然后求解即可．
【解答】（1）证明：关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣4m，c＝4m2﹣4．
∴Δ＝（﹣4m）2﹣4×1×（4m2﹣4）＝16＞0．
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：若此方程的两个根分别为x1，x2，由题意得，
x1+x2＝4m，x1x2＝4m2﹣4．
∵x1＝3x2，
∴3x2+x2＝4m，
即x2＝m，
∴x1＝3m，
∴3m•m＝4m2﹣4，即m2＝4，
解得m＝±2．
当m＝﹣2时，
x1＝﹣6，x2＝﹣2．
此时x1＜x2，不符合题意．
∴m＝﹣2舍去
故m的值为2．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，及根与系数的关系，根据根与系数的关系及两个根的关系得到方程中有关参数的方程是解题的关键．
一十．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）
22．（2022•宁夏）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　）
A．6.2（1+x）2＝8.9
B．8.9（1+x）2＝6.2
C．6.2（1+x2）＝8.9
D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9
【分析】利用该地92号汽油五月底的价格＝该地92号汽油三月底的价格×（1+该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的感觉．
23．（2020春•嘉兴期末）某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：　（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000　．
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：　（y﹣750）（30+）＝12000　．
（2）请写出一种完整的解答过程．
【分析】（1）根据总利润＝每件皮衣的利润×销售数量，即可得出关于x（y）的一元二次方程；
（2）选择小明（小红）的设法，解方程即可求出结论．
【解答】解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，
依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；
小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，
依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．
故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．
（2）选择小明的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，
整理，得：x2﹣200x+7500＝0，
解得：x1＝50，x2＝150，
∴1100﹣x＝1050或950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，
整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，
解得：y1＝1050，y2＝950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
一十一．一元二次方程的应用（共3小题）
24．（2022春•萧山区期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2022•南岸区自主招生）北京冬奥会期间，某商店购进600个纪念品，每个纪念品的进价为6元，第一周以每个10元的价格售出200个．第二周商店为了适当增加销售量，决定降价销售．根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个（售价不得低于进价）．第三周商店把每个纪念品的售价再在第二周售价的基础上降低20%，剩余纪念品全部售完．
注：销售利润＝销售量×（售价﹣进价）
（1）若第二周每个纪念品降价m元，用含m的代数式表示这批纪念品第二周的销售利润；
（2）若前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元，求第二周每个纪念品的售价；
（3）若这批纪念品共获得销售利润1730元，求这批纪念品第三周的销售数量．
【分析】（1）利用第二周每个纪念品的销售利润＝售价﹣进价，即可用含m的代数式表示出第二周每个纪念品的销售利润，利用销售量＝200+50×每个纪念品降价的钱数，即可用含m的代数式表示出销售量，再利用这批纪念品第二周的销售利润＝第二周每个纪念品的销售利润×销售量，即可用含m的代数式表示这批纪念品第二周的销售利润；
（2）根据前两周商店销售这批纪念品的利润为1400元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其正值代入（10﹣m）中即可求出结论；
（3）利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再将其正值代入600﹣200﹣（200+50m）中即可求出结论．
【解答】解：（1）依题意得：第二周每个纪念品的销售利润为（10﹣m﹣6）＝（4﹣m）元，销售量为（200+50m）个，
∴这批纪念品第二周的销售利润为（4﹣m）（200+50m）元．
（2）依题意得：（10﹣6）×200+（4﹣m）（200+50m）＝1400，
整理得：m2﹣4＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴10﹣m＝10﹣2＝8．
答：第二周每个纪念品的售价为8元．
（3）依题意得：（10﹣6）×200+（4﹣m）（200+50m）+[（10﹣m）×（1﹣20%）﹣6][600﹣200﹣（200+50m）]＝1730，
整理得：m2+26m﹣27＝0，
解得：m1＝1，m2＝﹣27（不符合题意，舍去），
∴600﹣200﹣（200+50m）＝600﹣200﹣（200+50×1）＝150．
答：这批纪念品第三周的销售数量为150个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出各数量；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26．（2022•南岸区校级模拟）某新建公园需要绿化的面积为24000m2，施工队在绿化了12000m2后将每天的工作量增加为原来的1.2倍，结果提前5天完成了该项目的绿化工程．
（1）求该公园绿化工程原计划每天完成多少平方米？
（2）如图所示，该公园内有一块长30米，宽20米的矩形空地，准备将其修建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条等宽的矩形小道（图中阴影部分），剩余地方种植花草，要使得种植花草的面积为468m2，那么小道的宽应为多少米？

【分析】（1）设该公园绿化工程原计划每天完成x平方米，则增加工作效率后每天完成1.2x平方米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合结果提前5天完成了该项目的绿化工程，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设小道的宽为y米，则种植花草部分可合成长为（30﹣2y）米，宽为（20﹣y）米的矩形，根据种植花草的面积为468m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该公园绿化工程原计划每天完成x平方米，则增加工作效率后每天完成1.2x平方米，
依题意得：﹣＝5，
解得：x＝400，
经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意．
答：该公园绿化工程原计划每天完成400平方米．
（2）设小道的宽为y米，则种植花草部分可合成长为（30﹣2y）米，宽为（20﹣y）米的矩形，
依题意得：（30﹣2y）（20﹣y）＝468，
整理得：y2﹣35y+66＝0，
解得：y1＝2，y2＝33（不符合题意，舍去）．
答：小道的宽应为2米．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
一十二．配方法的应用（共3小题）
27．（2022•平泉市二模）甲、乙、丙三人共同探究代数式﹣2x2+4x+2的情况，三人的说法如下：
甲：只有当x＝0时，代数式﹣2x2+4x+2的值为2；
乙：当x取大于2的实数时，代数式﹣2x2+4x+2的值随x的增大而减小；
丙：无论x取何值时，代数式﹣2x2+4x+2的值都不可能大于4．
下列判断正确的是（　　）
A．甲对，乙对 B．甲对，丙对 C．甲错，丙对 D．乙错，丙错
【分析】通过解一元二次方程判断甲同学的说法；通过配方法，根据二次函数的性质判断乙同学的说法；根据非负数的性质判断丙同学的说法．
【解答】解：甲：∵﹣2x2+4x+2＝2，
∴﹣2x2+4x＝0，
∴﹣2x（x﹣2）＝0，
∴x1＝0，x2＝2，故甲同学的说法不符合题意；
乙：∵﹣2x2+4x+2
＝﹣2（x2﹣2x）+2
＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）+2
＝﹣2（x﹣1）2+2+2
＝﹣2（x﹣1）2+4，
∴当x＞2时，代数式﹣2x2+4x+2的值随x的增大而减小，故乙同学的说法符合题意；
丙：∵（x﹣1）2≥0，
∴﹣2（x﹣1）2≤0，
∴﹣2（x﹣1）2+4≤4，
∴无论x取何值时，代数式﹣2x2+4x+2的值都不可能大于4，故丙同学的说法符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次方，根据完全平方公式将代数式配方是解题的关键．
28．（2022春•市南区校级期中）阅读材料：a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，求a，b的值．
解：∵a2﹣2ab+2b2﹣8b+16＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣4）2＝0，
∴a＝4，b＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若m2+n2﹣4m+4＝0，则m＝　2　，n＝　0　；
（2）已知x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，求xy的值；
（3）已知Rt△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据m2+n2﹣4m+4＝0，，应用因式分解的方法，判断出（m﹣2）2+n2＝0，应用非负数的性质便可求得结果；
（2）对已知方程左边多项式进行因式分解，再根据非负数性质求得求解便可；
（3）对已知方程左边多项式进行因式分解，再根据非负数性质求得求得a、b的值，最后分两种情况求得三角形的周长．
【解答】解：（1）∵m2+n2﹣4m+4＝0，
∴（m2﹣4m+4）+n2＝0，
∴（m﹣2）2+n2＝0，
∴m﹣2＝0，n＝0，
∴m＝2，n＝0，
故答案为：2；0；
（2）∵x2+2y2+10y+25﹣2xy＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+10y+25）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+5）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+5＝0，
∴x＝﹣5，y＝﹣5，
∴xy＝25；
（3）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
当∠C＝90°时，c＝，
此时△ABC的周长为3+4+5＝12，
当∠B＝90°时，c＝，
此时△ABC的周长为3+4+＝7+，
综上，△ABC的周长为12或7+．
【点评】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，同时考查了三角形的三边关系．本题难度中等．
29．（2022春•惠山区期中）阅读以下材料：
若x2﹣4x+y2﹣10y+29＝0，求x、y的值．
思路分析：一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性转化成两个一元一次方程，进而求出x、y．
解：∵x2﹣4x+y2﹣10y+29＝0，
∴（x2﹣4x+4）+（y2﹣10y+25）＝0，
∴（x﹣2）2+（y﹣5）2＝0，
∴x＝2，y＝5．
请你根据上述阅读材料解决下列问题：
（1）若m2+2m+n2﹣6n+10＝0，则m+n＝　2　；
（2）请你说明：无论x、y取何值，代数式x2﹣4xy+5y2+2y+5的值 　一定是正数　．
【分析】（1）把10化为1和9后配方，利用非负数的和为0求出m、n，再求出m+n；
（2）把5y2写成4y2、y2的和后配方，把5写成1、4的和后配方，利用非负数的性质说明即可．
【解答】解：（1）m2+2m+n2﹣6n+10＝0，
m2+2m+1+n2﹣6n+9＝0，
（m+1）2+（n﹣3）2＝0，
解得m＝﹣1，n＝3．
则m+n＝2．
故答案为：2；
（2）x2﹣4xy+5y2+2y+5
＝（x2﹣4xy+4y2）+（y2+2y+1）+4
＝（x﹣2y）2+（y+1）2+4，
∵（x﹣2y）2≥0，（y+1）2≥0，4＞0，
∴x2+5y2﹣4xy+2y+5＞0，
即无论x、y取何值，代数式x2﹣4xy+5y2+2y+5的值一定是正数．
故答案为：一定是正数．
【点评】本题考查了配方法和非负数的应用，掌握完全平方公式和完全平方式的非负性是解决本题的关键．