专题04投影与视图和概率的进一步认识（9个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（北师大版） (2)

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专题04投影与视图和概率的进一步认识（9个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．简单几何体的三视图
（1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（2）常见的几何体的三视图：

圆柱的三视图：
二．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
三．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
四．作图-三视图
（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（4）具体画法及步骤：
①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．
五．平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
六．中心投影
（1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
（2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
（3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．
七．视点、视角和盲区
（1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点．
（2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．
（3）盲区：视线到达不了的区域为盲区．
八．列表法与树状图法求概率
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
九．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
【专题过关】
一．简单几何体的三视图（共2小题）
1．（2022•阜新）在如图所示的几何体中，俯视图和左视图相同的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A．俯视图是带圆心的圆，左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
B．俯视图是圆，左视图是矩形，故本选项不合题意；
C．俯视图与左视图都是正方形，故本选项符合题意；
D．俯视图是三角形，左视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的轮廓线都应表现在三视图中．
2．如图，正方形ABCD边长为2，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，则所得圆柱的主视图（正视图）的周长是多少？

【分析】判断出圆柱的主视图矩形的长和宽，再根据矩形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，所得圆柱的主视图是长为4，宽为2的矩形，
周长＝2×（2+4）＝12．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，判断出主视图的形状与长和宽是解题的关键．
二．简单组合体的三视图（共3小题）
3．（2022•五华区校级模拟）如图是由6个形状大小相同的小正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看，可得如下图形：

故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．（2021秋•六盘水月考）如图是一个大正方体切去一个小正方体组成的几何体．

（1）下列三个图形中，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是　③　、　②　、　①　；
（2）若大正方体的棱长为20cm，小正方体的棱长为10cm，求这个几何体的表面积．
【分析】（1）根据从上面、左面、正面看到的三视图，可得答案．
（2）依据三视图的面积，即可得到这个几何体的表面积．
【解答】解：（1）由题可得，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是③，②，①；
故答案为：③，②，①；
（2）∵大正方体的棱长为20cm，小正方体的棱长为10cm，
∴这个几何体的表面积为：2（400+400+400）＝2×1200＝2400（cm2）．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图以及几何体的表面积，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
5．（2020秋•汉滨区校级期中）画出如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图：

【分析】主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1；俯视图，3列，每列小正方形数目分别为3，1，1．
【解答】解：作图如下：

【点评】此题考查的知识点是简单组合体的三视图，关键明确主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
三．由三视图判断几何体（共3小题）
6．（2022•五华区校级三模）如图是一个几何体的立体图及其三视图，则这个几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
【解答】解：观察图形可知，这个几何体的俯视图是．
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图．
7．（2022•桓台县一模）一个几何体的三种视图如图所示．
（1）这个几何体的名称是 　圆柱　．
（2）求这个几何体的体积．（结果保留π）

【分析】（1）根据主视图和左视图可以得到该几何体是柱体，根据俯视图判断为圆柱；
（2）根据圆柱的底面直径和高求得其体积即可．
【解答】解：（1）这个几何体是圆柱．
故答案为：圆柱；
（2）观察三视图知：该圆柱的高为10，底面直径为6，
所以其体积为：π×（）2×10＝90π．
故这个几何体的体积为90π．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体，然后得到其相关数据求体积．
8．（2021秋•九江期末）某食品包装盒抽象出的几何体的三视图如图所示．（俯视图为等边三角形）
（1）写出这个几何体的名称；
（2）若矩形的长为10cm，等边三角形的边长为4cm，求这个几何体的表面积．

【分析】（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都是长方形，俯视图为三角形，故可判断出该几何体是三棱柱；
（2）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．
【解答】解：（1）这个几何体是三棱柱；
（2）三棱柱的侧面展开图形是长方形，长方形的长是等边三角形的周长即
C＝4×3＝12cm，
根据题意可知主视图的长方形的长是三棱柱的高，所以三棱柱侧面展开图形的面积为：
S＝12×10＝120cm2．
这个几何体的表面积＝120+（cm2），
答：这个几何体的表面积为（120+8）cm2．
【点评】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．注意：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．


四．作图-三视图（共4小题）
9．（2021秋•秦都区期末）画出如图所示的正三棱柱的三视图．

【分析】根据题意可得正三棱柱的主视图为中间有一条竖的实心线的矩形，左视图为矩形，俯视图为正三角形，从而可画出三视图．
【解答】解：如图所示：

【点评】此题考查了作图﹣三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握三视图的观察方法，要求一定的空间想象能力．
10．（2022•龙岗区模拟）如图所示是由若干个相同的小正方体组成的几何体．
（1）该几何体由 　8　个小正方体组成；
（2）在虚线网格中画出该几何体的三视图．

【分析】（1）根据几何体的特征判断即可；
（2）根据三视图的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）这个几何体有8个小正方形组成．
故答案为：8；
（2）三视图如图所示．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
11．（2021秋•钦北区期末）如图所示是某几何体的展开图．
（1）请写出这个几何体的名称，并画出它的三视图；
（2）求这个几何体的体积．

【分析】（1）由展开图可直接得知这个几何体是圆柱，圆柱的左视图与主视图都是长方形；
（2）根据圆柱体的体积公式计算即可．
【解答】解：（1）圆柱，它的三视图如图所示．

（2）这个几何体的体积为π×52×20＝500π．
【点评】本题考查了几何体的展开图，以及三视图的画法，识记常见立体图形的特点是解题的关键．
12．（2021秋•金台区期末）画出如图所示物体的三种视图．

【分析】主视图为长方形的正上方有一个梯形；左视图为一个矩形中间偏上有一条虚线；俯视图为一个矩形内有2条竖的虚线和两条竖的实线．
【解答】解：作图如下：



【点评】本题考查三视图的画法；用到的知识点为：三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面图形；注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．
五．平行投影（共3小题）
13．（2022•昭平县二模）如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（　　）

A．15 B． C． D．10
【分析】根据题意画出几何图形，利用∠DEC＝60°可计算出DE＝5，则CD＝15，所以AB＝15，从而得到皮球的直径．
【解答】解：如图，AB为直径，CE＝10，
∵太阳光线与地面成60°的角，
∴∠DEC＝60°，
在Rt△CDE中，
DE＝CE＝5，
CD＝DE＝×5＝15，
∴AB＝15，
所以皮球的直径是15．
故选：A．

【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．也考查了切线的性质．
14．（2022•鹿城区二模）由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据平行投影的定义进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影有4个小正方形组成，如图.
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行投影，熟练掌握平行投影的应用进行求解是解决本题的关键．
15．（2021秋•任城区期末）如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，其中边AB、CD与投影面平行，AD，BC与投影面不平行．若正方形ABCD的边长为5厘米，∠BCC1＝45°，求其投影A1B1C1D1的面积．

【分析】过B点作BH⊥CC1于H，如图，利用∠BCC1＝45°得到BH＝，再利用平行投影的性质得到B1C1＝BH＝，C1D1＝CD＝5，然后根据矩形的面积公式计算四边形A1B1C1D1的面积．
【解答】解：过B点作BH⊥CC1于H，如图，
∵∠BCC1＝45°，
∴BH＝BC＝，
∵正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，
∴B1C1＝BH＝，C1D1＝CD＝5，
∴四边形A1B1C1D1的面积＝×5＝（cm2）．

【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．也考查了正方形的性质．
六．中心投影（共6小题）
16．（2022•枝江市一模）人从路灯下走过时，影子的变化是（　　）
A．长→短→长 B．短→长→短 C．长→长→短 D．短→短→长
【分析】由题意易得，离光源是由远到近再到远的过程，根据中心投影的特点，即可得到身影的变化特点．
【解答】解：因为人在路灯下行走的这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，所以人在地上的影子先变短后变长．
故选：A．
【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
17．（2021秋•新华区校级期末）太阳发出的光照在物体上是（　　），路灯发出的光照在物体上是（　　）
A．平行投影，中心投影 B．中心投影，平行投影
C．平行投影，平行投影 D．中心投影，中心投影
【分析】根据平行投影与中心投影的定义判断即可．
【解答】解：太阳发出的光照在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影．
故选：A．
【点评】本题考查中心投影，平行投影等知识，解题的关键是理解中心投影，平行投影的定义，属于中考常考题型．
18．（2021秋•薛城区期末）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是（　　）号窗口．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据中心投影的定义，画出图形即可．
【解答】解：如图，点O即为所求，投影中心在3号窗口．

故选：C．
【点评】本题考查中心投影，解题的关键是正确作出投影中心的位置，属于中考常考题型．
19．（2022•息烽县二模）如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（　　）

A．越长 B．越短
C．一样长 D．随时间变化而变化
【分析】连接路灯和旗杆的顶端并延长交平面于一点，这点到旗杆的底端的距离是就是旗杆的影长，画出相应图形，比较即可．
【解答】解：由图易得AB＜CD，那么离路灯越近，它的影子越短，
故选：B．

【点评】此题主要考查了中心投影，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．
20．（2021秋•衡阳期末）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？

【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
【解答】解：∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即＝，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即＝＝，
∴＝，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴＝，解得：y＝3，经检验y＝3是原方程的根．
∵＝，即＝，
解得x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．
21．（2021秋•深圳期中）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，求小方行走的路程．

【分析】利用身高与影长成正比可以求得AB的长，然后再利用相似三角形求得AC的长即可．
【解答】解：∵AE⊥OD，GO⊥OD，
∴EA∥GO，
∴△AEB∽△OGB，
∴＝，
∴＝，
解得AB＝2（m）；
∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，
∴DC＝5（m），
同理可得△DFC∽△DGO，
∴＝，
即 ＝，
解得AC＝7.5（m）．
答：小方行走的路程AC为7.5m．

【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的中心投影应用，根据题意得出相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例求解是解答此题的关键．
七．视点、视角和盲区（共4小题）
22．（2020秋•路南区期末）如图，从点D观测建筑物AC的视角是（　　）

A．∠ADC B．∠DAB C．∠DCA D．∠DCE
【分析】根据视角的定义判断即可．
【解答】解：从点D观测建筑物AC的视角是∠ADC．
故选：A．
【点评】本题考查视点、视角和盲区，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（2021秋•茶陵县期末）驾驶员在驾驶车辆行驶过程中都会产生视觉盲区，如图，△ABC、△FED区域分别为该驾驶员在驾车行驶过程中的左右盲区，铅直高度AC、FD分别为盲高，BC、ED分别为盲宽，驾驶员视线PB与地面所在水平线BE的夹角∠PBE＝45°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝30°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若点A到点B的距离AB＝2m．
（1）求盲高AC；
（2）求右盲区△FED面积．

【分析】（1）根据AC＝AB•sin45°求解即可；
（2）解直角三角形求出DE，DF，可得结论．
【解答】解：（1）∵FD⊥EB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
∴AC＝AB•sin45°＝＝（m），
（2）∵DF＝AC＝（m），
在Rt△DEF中，∠FDE＝90°，
∴tan∠E＝，
∴DE＝＝＝（m）．
所以右盲区△FED面积＝××＝（m2）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（2021•碑林区校级三模）小明周末到公园里散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一棵树AC和一座景观塔BD（如图），假设小明行走到M处时正好透过树顶C看到景观塔的第5层顶端E处，此时他的视角为30°，已知树高AC＝10米，景观塔BD共6层（塔顶高度和小明的身高忽略不计），每层5米．请问，小明再向前走多少米刚好看不到景观塔BD？（结果保留根号）

【分析】构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和相似三角形的性质进行解答即可．
【解答】解：连接DC并延长交BM于点N，
由题意得，BE＝5×5＝25（米），BD＝5×6＝30（米），
在Rt△ACM中，
∵∠M＝30°，AC＝10，
∴AM＝10，
在Rt△BEM中，
∵∠M＝30°，BE＝25，
∴BM＝25，
∴AB＝BM﹣AM＝25﹣10＝15，
∵AC∥BD，
∴△ACN∽△BDN，
∴＝＝＝，
设NA＝x，则NB＝x+15，
∴＝，
解得，x＝，
∴MN＝MA﹣NA＝10﹣＝（米），
答：小明再向前走米刚好看不到景观塔BD．

【点评】本题考查直角三角形的边角关系，相似三角形的判断和性质，连接和掌握直角三角形的边角关系、相似三角形的性质是解决问题的前提．
25．（2020•碑林区校级一模）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，求出x的最小值．

【分析】依据CD∥AB，即可得到△OCD∽△OAB，再根据相似三角形的性质可得＝，即可得到x的最小值为10．
【解答】解：如图，由题可得CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴＝，
即＝，
解得x＝10，
∴x的最小值为10．

【点评】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会把实际问题转化为数学问题．
八．列表法与树状图法（共7小题）
26．（2022•金凤区校级三模）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有正方形、圆、平行四边形、等边三角形、菱形的卡片任意摆放（卡片大小、质地、颜色完全相同），将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的图形都是中心对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有20种等可能的情况，其中一次过关的情况有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：正方形、圆、平行四边形、菱形是中心对称图形，
将5张分别画有正方形、圆、平行四边形、等边三角形、菱形的卡片分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：

共有20种等可能的情况，其中一次过关的情况有12种，
∴一次过关的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及中心对称图形．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
27．（2022•宜阳县二模）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，掷得“两个正面，一个反面”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意画出树状图如下：

一共有8种情况，两个正面，一个反面的情况有3种，
所以，P（两个正面，一个反面）＝；
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
28．（2022•乌鲁木齐模拟）为在中小学生心中厚植变党情怀，某市开展“重心向党”教育实践活动．有舞蹈、书法、唱歌、国学诵读四项．为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动（必选且只选一种）的调查，部分信息如统计图所示，请回答下列问题：

（1）这次抽样调查的总人数为 　200　人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为 　108°　：
（2）若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人？
（3）学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或列表法求恰为一男一女的概率．
【分析】（1）由参加唱歌的人数和所占百分比求出这次抽样调查的总人数，即可解决问题；
（2）由该校学生人数乘以参加书法的学生所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选取的2人恰为一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次抽样调查的总人数为：36÷18%＝200（人），
则参加舞蹈”的学生人数为：200﹣36﹣80﹣24＝60（人），
∴扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为：360°×＝108°，
故答案为：200，108°；
（2）1400×＝560（人），
答：估计选择参加书法有560人；
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中选取的2人恰为一男一女的结果有8种，
∴选取的2人恰为一男一女的概率为＝．
【点评】此题考查了树状图法求概率以及以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
29．（2022•庐阳区校级三模）为了疫情防控，合肥某商场的家装节开通了1、2、3、4号四个入口，参加入员领取入场券后，由电脑随机安排其由某个入口进场．
（1）小明领取入场券后，被安排从3号入口进场的概率是多少？
（2）某品牌瓷砖的商家开展了“买瓷砖砸金蛋”的活动，即购买该品牌瓷砖的顾客有一次砸金蛋的机会．小明和小亮同时购买了该品牌的瓷砖，商家提供了五个金蛋，只有一个是一等奖，其余都是二等奖．商家让小明执锤先砸，小亮认为商家这种做法对他不公平．请从两人获得一等奖的概率的角度说明小亮的质疑是否合理．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中小明获得一等奖的结果有4种，小亮获得一等奖的结果有4种，再由概率公式求出小明和小亮获得一等奖的概率，即可得出结论．
【解答】解：（1）小明领取入场券后，被安排从3号入口进场的概率是；
（2）小亮的质疑不合理，理由如下：
画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中小明获得一等奖的结果有4种，小亮获得一等奖的结果有4种，
∴小明获得一等奖的概率为＝，小亮获得一等奖的概率为＝，
∴小明获得一等奖的概率＝小亮获得一等奖的概率，
∴小亮的质疑不合理．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
30．（2022•小店区校级模拟）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金卷；
方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
指针指向
两红
一红一蓝
两蓝
礼金券（元）
18
9
18

（1）请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．
（2）如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．
【分析】（1）用列表法列举所有可能出现的结果，即可求出两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率；
（2）分别求出一红一蓝，两红、两蓝的概率，进而求出平均每次所获的奖券的金额即可．
【解答】解：（1）用列表法列举所有可能出现的结果如下：

共有9种可能出现的结果，其中两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的有5种，
所以两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率为；
（2）由（1）可得，两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率为；
两款转盘指针都是红色的概率为；
两款转盘指针都是蓝色的概率为；
因此各种情况下所获的购物劵的金额为：一红一蓝：9×＝5（元），
两红：18×＝4（元），
两蓝：18×＝4（元），
由于20＞5＞4，
所以选择方案一，即直接获得20元的礼金卷比较实惠．
【点评】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
31．（2022•淄博）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 　120　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 　99　度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×＝99°，
故答案为：120，99；
（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×＝18（名），
则选修“园艺”的学生人数为：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（名），
补全条形统计图如下：

（3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
32．（2022•五华区校级模拟）在2022年4月23日第27个“世界读书日”到来之际，央视网《天天学习》重温习近平总书记爱读书、勤读书、读好书、善读书、擅用书所引述用典，学习领会习近平总书记的读书观，积极参加全民阅读活动，为中华民族的伟大复兴而努力读书，让智慧之光照亮我们每个人前行之路！为了提高学生们的书籍阅读兴趣，某校开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动，推荐书目为A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著．
（1）小云从这4部名著中，随机选择1部阅读，则她选中《红楼梦》的概率为 　　；
（2）该校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求《红楼梦》被选中的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和《红楼梦》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有4部名著，
∴随机选择1部为《红楼梦》的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》被选中的结果有6种，
∴《红楼梦》被选中的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率＝．
九．利用频率估计概率（共4小题）
33．（2022•思明区校级二模）厦门在形式上助手数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P（A）＝；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2+y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”构成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”则需满足x2+y2＞1，可以用图中（3）区域表示，再根据①几何概率的计算方法得到满足题意的概率，最后通过共搜集上来的m份数据中能和“1”构成锐角三角形的数据有n份的条件得到用m，n表示上述方法计算的概率，即可求解．
【解答】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，
可以用图中正方形区域表示，
∴S正＝1×1＝1，
再根据“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”
则需满足x2+y2＞1，
可以用图中（3）区域表示，
∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，
∴S（3）＝1﹣，
设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，
∴根据①概率计算方法可以得到：P（A）＝，
又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”构成锐角三角形的数据有n份，
∴P（A）＝，
解得π＝，
故选：D．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．
34．（2022•新华区校级一模）某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植的成活情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是（　　）

A．随着移植树木的增加，这种树苗的成活率会逐渐稳定在某一个数附近
B．这种树苗成活的频率稳定在0.8，成活概率的估计值为0.8
C．若该地区已经移植这种树苗3万棵，则这种树苗大约成活2.4×104万棵
D．如果该地区计划成活12万棵这种树苗，那么需移植这种树苗约15万棵
【分析】根据表格中的数据和概率的含义，可以估计出树苗成活的概率，再根据概率公式进行计算，即可得出答案．
【解答】解：A、随着移植树木的增加，这种树苗的成活率会逐渐稳定在某一个数附近，正确，不符合题意；
B、这种树苗成活的频率稳定在0.8，成活概率的估计值为0.8，正确，不符合题意；
C、若该地区已经移植这种树苗3万棵，则这种树苗大约成活：30000×0.8＝2.4万棵，故本选项错误，符合题意；
D、如果该地区计划成活12万棵这种树苗，那么需移植这种树苗约：12÷0.8＝15万棵，正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应频率．部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
35．（2022春•姑苏区校级期中）在一个不透明的盒子里装有红球、白球共30个，这些球除颜色外完全相同．通过多次实验发现，摸出白球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 　12个　．
【分析】用球的总个数乘以摸出白球的频率稳定值即可．
【解答】解：根据题意，盒子中白球的个数约为30×0.4＝12（个），
故答案为：12个．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
36．（2022•鹿城区校级三模）某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数n
20
50
100
200
500
1000
1500
2000
残次品的频数m
1
3
9
16
38
79
121
154
残次品的频率
0.050
0.060
0.090
0.080
0.076
0.079
0.081
0.077
估计从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是残次品的概率是 　0.08　．（精确到0.01）
【分析】由表中数据可判断频率在0.08左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是残次品的概率为0.08．
【解答】解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是残次品的概率为0.08．
故答案为：0.08．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．