2022-2023学年高一数学(人教A版2019)必修第一册 专题01 集合与常用逻辑用语（知识串讲+热考题型+专题训练）

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专题01 集合与常用逻辑用语







知识点1 集合的概念与特征
1、集合定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.
集合三要素：确定性、互异性、无序性.
2、集合的相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.
3、元素和集合的关系：属于（）和不属于（）.
4、常见数集及其记法：
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法

或



5、集合的表示方法：
（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法.
（2）描述法：设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.
知识点2 集合间的基本关系
1、子集：对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，
则称集合是集合的子集，记作.

2、真子集：如果集合，但存在元素，且，则称集合是集合的真子集.
记作：集合(或).

3、空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作：.并规定：空集是任何集合的子集.
4、子集个数：如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
知识点3 集合的基本运算
1、并集：由所有属于集合或集合的元素组成的集合，称为集合集合是集合与的并集.
记作：，即.
2、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合是集合与的交集.记作：，即.
3、补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作:,即.
知识点4 充分条件与必要条件
1、命题：可以判断真假的陈述句叫命题；
2、充分条件、必要条件与充要条件
（1）如果“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出，我们就说由可以推出，
记作，并且说是的充分条件，是的必要条件；
（2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能提出结论，记作，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件；
（3）如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作
（4）此时则是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件．如果，那么与互为充要条件.
3、充分必要条件与集合的关系
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A⊆B可得，p是q的充分条件，
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A⊇B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
知识点5 全称量词与存在量词
1、全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，记为.
（2）存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，记为.
2、全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）全称量词命题：，它的否定：
（2）存在量词命题：，它的否定：
3、常见正面词语的否定：
正面词语
等于（＝）
大于（＞）
小于（＜）
是
都是
否定
不等式（≠）
不大于（≤）
不小于（≥）
不是
不都是
正面词语
至多有一个
至少有一个
任意
所有
至多有n个
否定
至少有两个
一个都没有
某个
某些
至少有n+1个



考点1 集合中元素的特性

【例1】（2022·全国·高一课时练习）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近的所有实数；③方程的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④
【答案】B
【解析】对①，联合国安全理事会常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国，
能构成集合.
对②，充分接近的所有实数，不满足集合的确定性，不能构成集合，
对③，方程，，方程无实根，集合为空集，
对④，中国著名的高等院校，不满足集合的确定性，不能构成集合，故选：B


【变式1-1】（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）下列各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班全体学生家长
C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生
【答案】A
【解析】对A，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；
对BCD，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合，故选：A


【变式1-2】（2022·全国·高一课时练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由集合中元素的互异性知，两个“墩”相同，去掉一个，“容”“融”不同都保留，
所以有5个元素．故选：C


【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）在集合中，的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】A
【解析】首先确定不可以取的值，由可得或，
由可得，
当可得，
所以的值不能取-1，，，3，
当时有可以取，故选：A


考点2 元素与集合的关系

【例2】（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）给出下列关系：① ② ③ ④，其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，，故②④正确，①③错误.故选：B.


【变式2-1】（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】是实数，①正确；是无理数，②错误；
－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.
所以正确的个数为2.故选：B.


【变式2-2】（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知集合，则与集合的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，所以，故选：A


【变式2-3】（2021·湖北黄石·高一阶段练习）集合，，，若，，则一定有（ ）．
A． B．
C． D．不属于P，Q，M中任意一个
【答案】B
【解析】若，，则，，，，
所以，，所以．故选：B.

考点3 根据元素与集合的关系求参数

【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，则（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴或．
若，解得或．
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合，满足题意，故成立．
若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．
综上所述，．故选：D．


【变式3-1】（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
【答案】B
【解析】∵2∈A，∴m＝2 或 m2﹣3m+2＝2．
当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；
当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．
综上可知，m＝3．故选：B．


【变式3-2】（2022·四川·雅安中学高一开学考试）已知集合，若，则实数a的值为（ ）
A．1 B．1或 C． D．或
【答案】C
【解析】∵，
∴或，
∴或，
经检验得.故选：C.


【变式3-3】（2022·上海·复旦附中高一开学考试）若，则实数______．
【答案】
【解析】当x＝-2时，，与互异性矛盾.
当时，解得x＝-1或x＝-2（舍去）．
当x＝-1时符合题意，
故答案为：.


【变式3-4】（2021·上海市洋泾中学高一阶段练习）己知集合，若，则实数a的值为____________．
【答案】
【解析】由集合中元素的互异性得，故，则，
又，所以，解得．
故答案为：


【变式3-5】（2022·全国·高一课时练习）若，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】 ， .
故答案为： .

考点4 根据集合中元素的个数求参数

【例4】（2022·江苏·高一）已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，可得.故选：D


【变式4-1】（2022·全国·高一课时练习）如果集合中只有一个元素，则实数m的所有可能值的和为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】当m=0时，显然满足集合有且只有一个元素，
当m≠0时，由集合有且只有一个元素，
可得判别式，解得，
∴实数m的值为0或2，即实数m的所有可能值的和为2.故选：B．


【变式4-2】（2022·全国·高一专题练习）已知集合A中含有两个元素和，若，则实数______．
【答案】或
【解析】因为，所以或，解得或
故答案为：或


【变式4-3】（2022·江苏省如皋中学高一开学考试）若集合为单元集，则实数的取值集合为_________.
【答案】
【解析】由题可知关于x的方程只有一个解，
方程变形为，
当a=±2时，方程均仅有一个解，满足题意；
当a≠±2时，方程化为，
由得；
综上，实数a的取值集合为．
故答案为：．


【变式4-4】（2022·全国·高一课时练习）若集合不含有任何元素，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为集合不含有任何元素，
所以方程无实根，
当时，方程为，可得符合题意；
当时，方程无实根，则，解得，
综上所述，.
故答案为：.

考点5 集合的表示方法

【例5】（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，满足|x|≤3的集合，可得：，故选：B


【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）集合是（ ）
A．第一象限的点集 B．第二象限的点集
C．第三象限的点集 D．第四象限的点集
【答案】C
【解析】由，
故集合是第三象限的点集．故选：C.


【变式5-2】（2022·全国·高一专题练习）方程组的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，
即方程组构成的集合为.故选：D．


【变式5-3】（2022·全国·高一课时练习）集合用列举法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，，，
因为，所以.故选：C


【变式5-4】（2022·全国·高一专题练习）集合用列举法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，可得，
因为，所以，集合，故选：B.


【变式5-5】（2022·全国·高一课时练习）已知集合中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为，
所以中含6个元素．故选：C.
考点6 子集（真子集）的个数问题
【例6】（2022·全国·高一学业考试）集合的真子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合的元素个数为，故集合的真子集个数为.故选：B.


【变式6-1】（2022·北京·101中学高一阶段练习）已知集合满足，则满足要求的的个数是______．
【答案】7
【解析】因为，
于是得，且集合M中至少包含集合中的元一个素，
因此，集合的个数就是集合的非空子集个数，
而集合的非空子集个数为，
所以集合的个数为7.
故答案为：7.


【变式6-2】（2022·四川雅安·高一期末）若集合，则满足的集合的个数是___________.
【答案】4
【解析】因为集合，，
因为，故有元素0，3，且可能有元素1或2，
所以或或或
故满足的集合的个数为，
故答案为：．


【变式6-3】（2022·全国·高一专题练习）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．8 D．7
【答案】D
【解析】由题意，
因此其真子集个数为．故选：D．


【变式6-4】（2022·江苏·高一单元测试）设集合，，则的子集的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由得，即方程组有2组解，
故有2个元素，故其子集的个数是．故选：C．


【变式6-5】（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）已知，，则的非空子集的个数为（ ）.
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】根据题意可得，则非空子集有个．故选：B．


【变式6-6】（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）满足条件的所有集合的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【解析】因为，所以，且，
所以满足条件的可能为：，
故满足条件的集合的个数是8个，故选：D.
考点7 根据元素与集合的关系求参数
【例7】（2022·河南·邓州春雨国文学校高一阶段练习）设集合，集合，若集合是集合的真子集，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为集合，集合，且Ü，
所以；故选：A


【变式7-1】（2022·全国·高一课时练习）已知集合，若，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，故，解得，故选：D


【变式7-2】（2022·全国·高一专题练习）已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于，所以，
所以实数m的取值集合为.故选：C


【变式7-3】（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知集合，若，则实数___________.
【答案】或3##3或-2
【解析】，∴或，
解得或或，
将的值代入集合、验证，知不符合集合的互异性，
故或3.
故答案为：或3.


【变式7-4】（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，，若，则实数的取值范围是__.
【答案】
【解析】，且，
，解得，
故的取值范围是.
故答案为：.


【变式7-5】（2022·全国·高一专题练习）已知集合A={|2＜＜+1，B=＜＜5，求满足AB的实数的取值范围.
【答案】
【解析】由题意，集合，
因为，若，则，解得，符合题意；
若，则，解得，
所求实数的取值范围为.

考点8 集合的交并补综合运算

【例8】（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】故选：D


【变式8-1】（2022·河南·邓州春雨国文学校高一阶段练习）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
又，，
所以，所以；故选：C


【变式8-1】（2022·四川泸州·高一期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以；故选：C


【变式8-2】（2022·河南信阳·高一期末）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
∴.故选：D.


【变式8-3】（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）设集合，，．求：
（1）；；（2）；；（3）．
【答案】（1）；（2）或；
（3）或
【解析】（1）∵，，
∴；
（2）∵，，，
∴，或；
（3）∵，，，
∴或，或，
∴或．
考点9 根据集合的运算结果求参数
【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，又，
所以当时，，要使，则，即．故选：A．


【变式9-1】（2022·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以
当时，的解集为，此时，显然有.
当时，的解集为，由得，所以 .
当时，的解集为，显然有.
综上所述.故选：D.


【变式9-2】（多选）（2022·辽宁·同泽高中高一开学考试）设，．若，则实数的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】ACD
【解析】由得：,
当时，,符合题意；
当时，，若，则；若，则；
由于B中至多有一个元素，故,
所以实数的值可以为，故选：ACD


【变式9-3】（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）已知集合，，若，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵，∴，∴．
故答案为：.


【变式9-4】（2022·辽宁·同泽高中高一开学考试）已知集合，集合，集合．
（1）若，求实数a的值；
（2）若，，求实数a的值．
【答案】（1）;（2）
【解析】（1）因为集合，
集合，且，
所以，所以，即，
解得或．
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意．
综上，实数a的值为．
（2）因为，，
，且，，
所以，
所以，即，解得或．
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意．
综上，实数a的值为．

考点10 集合在实际问题中的应用

【例10】（多选）（2022·全国·高一单元测试）某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（ ）
A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人
B．仅参加跳远比赛的有8人
C．仅参加跑步比赛的有7人
D．同时参加两项比赛的有10人
【答案】ACD
【解析】设同时参加跳远和跑步比赛的有x人，由题意画出韦恩图，如图，
则，解得，故A正确；
仅参加跳远比赛的人数为，故B错误；
仅参加跑步比赛的人数为，故C正确；
同时参加两项比赛的人数为，故D正确；
故选：ACD



【变式10-1】（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项．得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中__________；__________；__________．

【答案】 9 8 10
【解析】由题意得，解得.
故答案为：①9；②8；③10.


【变式10-2】（2022·湖南·高一课时练习）市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸（日报和晚报）方面的取向，抽样调查了500个市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人．试问：
（1）只订日报不订晚报的有多少人？
（2）只订晚报不订日报的有多少人？
（3）至少订一种报纸的有多少人？
（4）有多少人不订报纸？
【答案】（1）184；（2）147；（3）331；（4）19.
【解析】（1）设是被调查的500名市民，是订阅日报的人，订阅晚报的人，则card( U )=500，card()=150，card()=334，card()=297，
所以只订日报不订晚报的人，
只订日报不订晚报的人数为334－150=184(人)；
（2）只订晚报不订日报的人，
只订晚报不订日报的人数为297－150=147(人)；
（3）至少订一种报纸的人，
至少订一种报纸的人数为334+297－150=481(人)；
（4）不订报纸的人，不订报纸的人数为500－481=19(人).
考点11 充分条件、必要条件的判断

【例11】（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）设x，y都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且，必有且；
当且时，如，不满足，故不一定有且．
所以“且”是“且”的充分不必要条件．故选：A．


【变式11-1】（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由得或
或，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.


【变式11-2】（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由得，
由，得，即，
；反之，不成立.
“”是“”的必要不充分条件.故选：B


【变式11-3】（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为,所以“” “”，但“”推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.


【变式11-4】（2022·全国·高一课时练习）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，
即要达成目标必须一点一点积累，
所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件.故选：B


【变式11-5】（多选）（2022·江苏省如皋中学高一开学考试）若p：，则p成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】，解得或
又

则p成立的一个充分不必要条件是和故选:CD.
考点12 根据充分性、必要性求参数

【例12】（2022·陕西·定边第四中学高二阶段练习）若“x>1或x