数学九年级上册1 认识一元二次方程课时作业

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第10课认识一元二次方程课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．下列是关于x的一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；B．是一元二次方程，符合题意；C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意；D．是一元三次方程，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．2．关于x的方程中，二次项系数和一次项系数分别是（）A．3，－2 B．3，4 C．3，－4 D．－4，－2【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念即可求求解．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：，化为一般式为则二次项系数和一次项系数分别是故选C【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．3．关于的方程是一元二次方程，则满足（）A． B． C． D．为任意实数【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得m21≠0，再解即可．解：由题意得：m21≠0，解得：m≠±1，故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果没有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2（二次项系数不为0）．4．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（）A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0C．x2＋﹣1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．解：A. x2＋2x＝x2﹣1，整理后是一元一次方程，故此选项不符合题意；B. m2x2﹣7＋x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；C. x2＋﹣1＝0不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D. ax2＋bx＋c＝0，a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．5．下列方程中一元二次方程的个数为（）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义直接判断即可．解：是一元二次方程；含有两个未知数，不是一元二次方程；未知数在根号内，不是一元二次方程；未知数在分母中，不是一元二次方程；故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，明确只含有一个未知数，未知数的最高次为2次的整式方程是一元二次方程是解题关键．6．若一元二次方程有一个解为，则k为（）A． B．1 C． D．0【答案】C【解析】【分析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程k2-1=0，解关于k的方程，然后利用一元二次方程的定义确定k的值．把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程：k2-1=0，解得k1=1，k2=-1，而k-1≠0，所以k=-1．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．7．已知关于x的一元二次方程x2＋mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【答案】D【解析】【分析】把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0得1＋m﹣3＝0，然后解关于m的方程．解：把x＝1代入方程x2＋mx﹣3＝0，得：1＋m﹣3＝0，解得m＝2．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．8．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】【分析】将代入方程得到关于和n的方程，从而即可期刊．把代入方程，得，即，∴．【点睛】本题主要考查的是方程的解（根）的定义，将方程的解（根）代入方程得到关于和n的方程是解题的关键．二、填空题9．方程的一次项系数是______．【答案】-8【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式解答．解：方程的一次项是，其系数是．故答案是：．【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．10．一元二次方程化为一般形式为___________________________，它的二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_______．【答案】 3 2 【解析】【分析】首先利用完全平方公式进行计算，然后再把5移到等号左边，合并同类项即可得到，然后再确定二次项、一次项系数和常数项．解：方程整理为一般形式为，∴二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是，故答案为：，3，2，．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____．【答案】m≠1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．解：根据一元二次方程的定义可得：m-1≠0，解得：m≠1，故答案是：m≠1．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．12．若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝___，n＝___．【答案】 0 7【解析】【分析】首先把方程变为一元二次方程的一般形式，再根据题意可得，进而可得答案．解：m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0，整理得，，∵为一元二次方程且不含x的一次项，∴，解得，故答案为：0，7．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．13．已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c=________【答案】0【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=-1代入关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)即可求得a-b+c的值．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为-1，∴x=-1满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，∴，即a-b+c=0．故答案是：0．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．14．关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是________．【答案】6【解析】【分析】把x＝0代入一元二次方程（m−1）x2＋6x＋m2−m＝0得出m2−m＝0，求出m＝0，代入方程，解方程即可求出方程的另一个根．把x＝0代入方程（m−1）x2＋6x＋m2−m＝0得出m2−m＝0，解得：m＝0或1，∵方程（m−1）x2＋6x＋m2−m＝0是一元二次方程，∴m−1≠0，解得：m≠1，∴m＝0，代入方程得：−x2＋6x＝0，−x（x−6）＝0，x1＝0，x2＝6，即方程的另一个根为6．故答案为：6．【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义的应用，解题的关键是求出m的值．三、解答题15．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．【答案】（1）；（2），二次项系数为，一次项系数为，常数项为【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的整式方程进行求解即可；（2）根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程进行求解即可；解：（1）∵是关于x的一元一次方程，∴，解得（2）∵是关于x的一元二次方程，∴即，∴这个一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为．【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程和一元二次方程的定义．16．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：【答案】见解析【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．培优第二阶——拓展培优练一、单选题(共0分)1．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（）A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0C．x2＋﹣1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．解：A. x2＋2x＝x2﹣1，整理后是一元一次方程，故此选项不符合题意；B. m2x2﹣7＋x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；C. x2＋﹣1＝0不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D. ax2＋bx＋c＝0，a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．2．下列方程中，是一元二次方程的有（）个①；②；③；④；⑤．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义判断，应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．①变形为，是一元二次方程；②，整理变形为，最高次数为4，不是一元二次方程；③，变形为，是一元二次方程；④变形为，不是一元二次方程；⑤，是分式方程；故①③满足，共有个一元二次方程故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程，一元二次方程应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程．3．下列说法中，正确的是（）A．形如ax2+bx+c=0的方程叫做一元二次方程B．方程4x2+3x=6不含常数项C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项均不能为0D．（2-x）2=0是一元二次方程【答案】D【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．解：A、形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程叫一元二次方程，故此选项错误；B、方程4x2+3x=6可变形为4x2+3x-6=0含有常数项，故此选项错误；C、一元二次方程中，二次项系数不能为0，故此选项错误；D、（2-x）2=0是一元二次方程，故此选项正确.故选D．【点睛】本题考查一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．4．已知x＝﹣1是方程x2+mx+n＝0的一个根，则代数式m2+n2﹣2mn的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．±1【答案】C【解析】【分析】把x=-1代入方程x2+mx+n=0求出n-m=-1，根据完全平方公式代入求出即可．把x=-1代入方程x2+mx+n=0得出n-m=-1，∴m2+n2﹣2mn=（m-n）2=1故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解, 完全平方公式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的意义及完全平方式.5．已知实数a,b满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是　(　　)A．x=a,x=b都不是该方程的解 B．x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解C．x=a不是该方程的解,x=b是该方程的解 D．x=a,x=b都是该方程的解【答案】D【解析】【分析】由于实数a，b满足a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，根据一元二次方程的解的意义可知，x=a，x=b都是方程x2-3x+1=0的根．∵实数a，b满足a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，∴x=a，x=b都是一元二次方程x2-3x+1=0的根．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．6．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】D【解析】【分析】把化为：再结合题意可得从而可得方程的解.解：可化为：关于的一元二次方程有一个根为，把看作是整体未知数，则即有一根为故选D【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.二、填空题(共0分)7．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____．【答案】m≠1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．解：根据一元二次方程的定义可得：m-1≠0，解得：m≠1，故答案是：m≠1．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．8．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．【答案】 m=﹣1 ﹣2 ﹣4 3【解析】【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．解：根据题意得，|m|+1=2且m﹣1≠0，解得m=1或﹣1且m≠1，所以，m=﹣1，m﹣1=﹣1﹣1=﹣2，所以，此方程为，所以，此方程的二次项系数为﹣2，一次项系数为﹣4，常数项为3．故答案为：m=﹣1；﹣2，﹣4，3．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．9．下列方程中，①； ②； ③（其中是常数）；④； ⑤，一定是一元二次方程的有__________（填编号）【答案】①⑤【解析】【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．解：①是一元二次方程；②，含有两个未知数x、y，不是一元二次方程；③（其中是常数），a=0时不是一元二次方程；④，整理后是一元一次方程；⑤是一元二次方程；一定是一元二次方程的有①⑤．故答案为①⑤．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点.10．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,那么方程必有一根为____.【答案】-1【解析】【分析】二次项系数与常数项之和等于一次项系数即a+c=b，即可得a-b+c=0；在关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，令x=-1时，就得到a-b+c=0，所以-1必是该方程的一个根．由此即可解答.根据题意，得：a+c=b，即a-b+c=0；当x=-1时，ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0，∴-1必是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．故答案为-1.【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的定义，熟记使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解题的关键．11．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ___．【答案】【解析】【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为，则，然后利用整体代入的方法计算．解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，∴“天宫”方程的一个解为，方程是“天宫”方程，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键．12．根据如下表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=1.5（a≠0）的解x的范围是___________．【答案】0