资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩5页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
北师大版九年级上册3 用公式法求解一元二次方程巩固练习
展开
这是一份北师大版九年级上册3 用公式法求解一元二次方程巩固练习
第12课 用公式法解一元二次方程课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（ ）．A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得的值解：化为一般形式为： ，，故选C【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．2．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可．解：A. 的两根为，故选项A不符合题意；B. 的两根为，故选项B不符合题意；C. 的两根为，故选项C不符合题意；D. 的两根为，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键．3．用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【答案】C【解析】【分析】按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可．解：判别式故选：C【点睛】此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．4．解方程时，下面说法正确的是（ ）A．只能用公式法 B．不能用配方法 C．只能用配方法 D．公式法、配方法都能用【答案】D【解析】【分析】公式法和配方法适用于任何有实根的一元二次方程．解：∵有实根，任何有实根的一元二次方程都可用配方法和公式法求解．故选：D【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，熟悉每种方法的适用条件是解题的关键．5．用公式法解方程，其中求得的值是（ ）.A．16 B．C．32 D．64【答案】D【解析】【分析】先将方程化为一般形式，然后计算即可.解：方程整理得：，∴，，，∴，故选D.【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键．6．一元二次方程x2﹣px+q=0的两个根是（4q＜p2）（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的求根公式x=()可直接得到答案．∵a=1，b=-p，c=q，∴b2-4ac=p2-4q，∵4q＜p2，∴b2-4ac=p2-4q＞0，∴x==.故选A．【点睛】此题主要考查了公式法解一元二次方程，关键是掌握求根公式．7．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0【答案】A【解析】解：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是b2-4ac≥0．故选A．8．方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于( )A．3 B．2 C．1 D．【答案】B【解析】试题分析：2x2－6x＋3＝0，这里a＝2，b＝－6，c＝3，∵△＝36－24＝12，∴x＝＝，即p＝；2x2－2x－1＝0，这里a＝2，b＝－2，c＝－1，∵△＝4＋8＝12，∴x＝＝，即q＝；则p＋q＝＋＝2．故选B．点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a，b，c，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解．9．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【解析】【分析】对于，当方程有两个不相等的实根，当方程有两个相等的实根，方程没有实根，根据原理作答即可.解：将转换为一般式为则所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键.10．关于的方程有实数根，则的取值范围是 （ ）A．且 B．且 C． D．【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论：①=0，为一元一次方程；②≠0，为一元二次方程，根据根的判别式计算即可．①当=0时，此时方程为，有实数根；②当≠0时，此时方程为为一元二次方程，∵方程有实数根∴，解得：综上所述： 故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．分两种情况讨论是解题的关键．11．若a，b，c是△ABC的三边，则关于x的方程的根的情况是( )A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【答案】A【解析】【分析】根据三角形三边关系，得到，再根据一元二次方程根的判别式即可求解．解：∵a，b，c是△ABC的三边∴，∴∴∴原方程没有实数根故选A．【点睛】本题考查三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式计算是解题的关键．12．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若c是方程的一个根，则一定有成立；②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确．②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确．综上：正确的有①②④，共3个．故选：A．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．二、填空题13．把方程化为一般形式是______，其中______，______，______，______，方程的根是______，______.【答案】 3 －5 －2 49 2【解析】【分析】方程整理为一般形式，找出一般形式中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．解：方程化为一般形式是：，∴a＝3，b＝−5，c＝−2，∵b2−4ac＝25＋24＝49，∴x＝，则方程的解为x1＝，x2＝2．故答案为；3，−5，−2，49；，2．【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键．14．方程的解为________．【答案】或【解析】【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．（x-1）（x+3）=12x2+3x-x-3-12=0x2+2x-15=0x=,∴x1=3，x2=-5故答案是:3或-5．【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．15．方程（）的根是___________．【答案】【解析】【分析】利用公式法解一元二次方程即可得出结论．解：∴x=解得： 故答案为：．【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解决此题的关键．16．已知则的值=___________【答案】或【解析】【分析】依题意解后，分a=b与进行讨论即可．解：依题意得a,b是方程的解，解得：，当时，a+b=，当时，a+b=，当时，，故答案为：或．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的问题，掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键．17．若关于x的一元二次方程无实数根，则k的最小整数值是______．【答案】2【解析】【分析】把原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据判别式为负可求得k的取值范围，则可求得k的最小整数值．原方程化简得： 由题意得： 且 解不等式得： 则k的最小整数值为2故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是本题的关键．18．若为的三边，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是_________三角形．【答案】等腰【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式进行求解可以得到或，由此判定即可．解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴即解得或，∴这个三角形为等腰三角形．故答案为：等腰．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式．三、解答题19．解下列一元二次方程：(1)x2﹣4x+1＝0；(2)2x2+3x﹣3＝0．【答案】(1)x1＝2+，x2＝2﹣(2)x1＝，x2＝【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用公式法求解即可．(1)解： x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，∴x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣；(2)2x2+3x﹣3＝0，∵a＝2，b＝3，c＝﹣3，∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟记并应用求根公式解一元二次方程是解此题的关键．20．解方程：(1)（2x﹣1）2＝（3﹣x）2；(2)．【答案】(1)或(2)或【解析】【分析】（1）先移项，用平方差公式进行因式分解，然后求解即可；（2）先配方，然后直接开平方计算求解即可．(1)解：∴或解得或∴方程的解为或．(2)解：∴或解得或∴方程的解为或．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于用适当的方式进行求解．21．【答案】【解析】【分析】根据公式法可以解答本题．解：∵，∴a=9，b=，c=1，∴△=，∴方程有两个不相等的实数根，∴=，∴．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．22．【答案】，【解析】【分析】利用公式法求解，．解：，，．【点睛】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的各个解法，选择合适的解法求解．23．不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）； （2）； （3）．【答案】（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【解析】【分析】（1）先化为一般式，然后计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况；（2）直接计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况；（3）先化为一般式，然后计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．解：（1）原方程化为一般式5x2+x-7=0，∵Δ=12-4×5×（-7）=141＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵Δ=202-4×25×4=0，∴方程有两个相等的实数根；（3）原方程化为一般式4x2+3x+1=0，∵Δ=32-4×4×1=-7＜0，∴方程有没有实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．24．已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当m为何值时：(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.【答案】⑴ m=2 ⑵ m=3 ⑶m=0或1.【解析】【分析】（1）方程只有一个实数根，则方程为一元一次方程，据此可以得到m的值；（2）方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0，从而求得m的值；（3）方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于0，从而得到m的值．(1)∵方程只有一个实数根，∴m−2=0解得：m=2；(2)∵方程有两个相等的实数根，∴△=4(m−1)2−4(m−2)(m+1)=0解得：m=3；(3)∵方程有两个不相等的实数根，∴△=4(m−1)2−4(m−2)(m+1)>0解得：m<3，∵m为非负整数，且m≠2，∴m=0或1.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据根的情况列出不等式并求解.25．关于x的方程(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．(2)若此方程的一个根为1，求m的值：(3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长【答案】(1)答案见解析(2)2(3)4+【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；（2）将x=1代入方程可确定m的值；（3）由m的值可得一元二次方程，解方程得出方程的另一个解，可得直角三角形的两直角边，再由勾股定理求出得直角三角形的斜边，即可得答案．(1)证明：x2−(m+2)x+(2m−1)=0，∵a=1，b=−(m+2)，c=2m−1，∴b2−4ac=[−(m+2)]2−4×1×(2m−1)=(m−2)2+4，∵在实数范围内，m无论取何值，(m−2)2+4>0，即b2−4ac＞0，∴关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；(2)将x=1代入方程可得：12−(m+2)+(2m−1)=0，解得：m=2；(3)∵m=2，∴方程为x2−4x+3=0，解得：x1=1或x2=3，∴方程的另一个根为x=3；∴直角三角形的两直角边是1、3，∵，∴斜边的长度为，∴直角三角形的周长为1＋3＋=4＋．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，解一元二次方程，勾股定理，理解题意、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．26．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0．(1)求证：不论m取何值，此方程总有实数根；(2)若m为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m的值．【答案】(1)证明见解析(2)﹣1（答案不唯一）【解析】【分析】（1）由题意知，判断其与0的关系，即可得出结论；（2）表示出方程的两根，根据要求进行求解即可．(1)证明：由题意知∵（m+2）2≥0，∴△≥0，∴关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0总有实数根；(2)解：由（1）知，△＝（m+2）2，∴x，∴，，∵方程有一根小于2，∴﹣m＜2，∴m＞﹣2，∵m为整数，∴满足条件的m的一个值为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于利用判根公式确定方程根的个数，利用公式求方程的根．27．已知：关于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k＝0（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0，可得方程总有实数根；（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b、c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长．（1）证明：由题意知：Δ＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∴△ABC的周长为5．【点睛】本题考查了根的判别式△＝b2－4ac：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程没有实数根．也考查了等腰三角形的性质以及三角形三边的关系．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为，右图是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，解方程即可求出．解：依题意得，整理得：，则，方程两边同时除以，，（负值已经舍去），故选：C．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．2．探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（ ）A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式求解，然后根据各种说法的条件逐项验证即可．解：关于x的一元二次方程根的判别式为：，甲：当a，b同号时，若两数均为负数，就不能确保的符号为正，不符合题意；乙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意；丙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意；综上所述，甲的建议不能满足题意、乙和丙的建议满足题意，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程有实数根的条件，根据题中所给条件，结合一元二次方程根的判别式讨论是解决问题的关键．3．有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（ ）A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等 D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数【答案】B【解析】【分析】分别求出两个方程的根的判别式，由此可判断选项A；设方程的一个实数根为，则，先根据可得，从而可得，再分别将、和代入方程的左边，检验是否等于0即可判断选项B、C、D，由此即可得出答案．解：方程根的判别式为，方程根的判别式为，所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A错误；若两个方程都有实数根，设方程的一个实数根为，则，即，，，，将代入方程的左边得：，即是方程的根，所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B正确；将代入方程的左边得：，即不是方程的根，选项C错误；将代入方程的左边得：，则只有当时，才是方程的根，所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D错误；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．4．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ）A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k，∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0，又∵ab≠0，∴a−b−1＝0，即a＝b＋1，∴ax2＋2ax＋a＝0，解得：x1＝x2＝−1，∴k＝−1，∵＝，∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0，此时＞0，即；当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0，此时＜0，即；故A、C错误；当时，即＞0，＞0，解得：a＞1或a＜0，故B错误；当时，即＜0，＜0，解得：0＜a＜1，故D正确故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．5．若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b【答案】A【解析】试题分析：方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，根据求根公式即可求得方程的两个根，再根据m＜n，a＜b，即可判断．解：方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，根据求根公式得到：x=，又因m=＜a，n=＞b，∵a=，b=∵a＜b，∴a＜＜b，又∵＜＜＜＜，∴m＜a＜b＜n．故本题选A．考点：解一元二次方程-公式法．6．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（ ）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【答案】C【解析】【分析】据题意，可以将方程转化为一元二次方程，然后根据Δ的值，即可判断根的情况．解：∵方程，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+3＝0，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，∴方程两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．7．如图，直线与y轴，x轴分别交于点A、B，C为线段AB上的动点，过C作x轴的垂线垂足为点D，以CD为一边在CD左侧内正方形CDEF，当正方形CDEF与△AOB重叠部分的面积为△AOB的面积的时，点C的横坐标为（ ）A． B．或C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】由y=-2x+2知，A（0，2），B(1，0)，得OA=2，OB=1，，由矩形ODCG面积为，可知OD∙CD=，设OD=m，可得，求解即可得到C点的横坐标．解：由y=-2x+2知，A（0，2），B(1，0)∴OA=2，OB=1∴ 由题意四边形ODCG是矩形，且面积为 ，∴OD∙CD= ，设OD=m，则 ，∴，∴，解得m= ，∴C点的横坐标为或，故选B．【点睛】本题考查了一次函数点的坐标特征、矩形的性质，三角形的面积及解一元二次方程，解题的关键是利用面积的关系得到OD∙CD=，从而求解．8．已知，，下列结论正确的个数为( )①若是完全平方式，则；②B－A的最小值是2；③若n是的一个根，则；④若，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【分析】①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③利用求根公式和完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解．解：①∵A=x2+6x+n2是完全平方式，∴n=±3，故结论正确；②∵B-A=2x2+4x+2n2+3-（x2+6x+n2）=x2-2x+n2+3=（x-1）2+n2+2，而（x-1）2+n2≥0，∴B-A≥2，∴B-A的最小值是2，故结论正确；③∵A+B=x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3=3x2+10x+3n2+3，把x=n代入3x2+10x+3n2+3=0，得3n2+10n+3n2+3=0，即6n2+10n+3=0，解得当时，当时，故结论错误；④∵（2022-A+A-2019）2=（2022-2019）2=（2022-A）2+（A-2019）2+2（2022-A）（A-2019）=（2022-A）2+（A-2019）2+2×2=9，∴（2022-A）2+（A-2019）2=5；故结论错误； 故选B．【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方方法的应用，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．二、填空题9．若一元方程有两个实数根，则m的取值范围为是 _____．【答案】m≤且m≠2【解析】【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．解：∵方程有两个实数根，∴，解得m≤且m≠2．故答案为：m≤且m≠2．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．10．已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是_____．【答案】-1【解析】【分析】分二次项系数为零及非零两种情况考虑：当a+1＝0，即a＝-1时，原方程为一元一次方程，解之可求出x的值，进而可得出a＝-1符合题意；当a+1≠0，即a≠-1时，原方程为一元二次方程，由根的判别式 ，可得出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围．综上即可得出a的取值范围，取其内的最大整数即可得出结论．解：当，即时，原方程为，解得，∴符合题意；当，即时，原方程为一元二次方程，∵，∴且．综上所述，，∴整数的最大值为-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是分二次项系数为零及非零两种情况找出a的取值范围．11．关于x的一元二次方程有实数根，则2ax的值为 ___．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根可得判别式大于或等于0，进而列出不等式求解，根据二次根式的性质可得，进而根据，确定的值，代入原方程，解方程即可求得的值，进而求得2ax的值．关于x的一元二次方程有实数根，其中且即且则原方程为解得故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，二次根式的性质，解一元二次方程，求得的值是解题的关键．12．若代数式有意义，则x的取值范围是 _____．【答案】﹣3≤x≤且x≠．【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0．解：若代数式有意义，必有，解①得解②移项得两边平方得整理得解得③∴解集为﹣3≤x≤且x≠．故答案为：﹣3≤x≤且x≠．【点睛】本题考查了二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式，（a≥0）是一个非负数．注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．13．关于的一元二次方程，下列命题是真命题的是______．（填序号）①若，则方程必有实数根；②若，，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．【答案】①④【解析】【分析】①将式子变形代入根的判别式化简，根据平方的非负性即可判断；②将，，代入根的判别式化简，根据平方的非负性即可判断；③根据一元二次方程根的定义，将代入即可判断；④根据一元二次方程根的定义将代入，可得代入判别式进而判断①，则，则方程必有实数根，故①正确；②，，，则方程必有实数根，故②不正确③是方程的一个根，则，当时，可以是任意实数，故③不正确④是方程的一个根，则，即故④正确综上所述，正确的是①④故答案为：①④【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式判断根的情况是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．三、解答题14．解方程：(1)(2)．【答案】(1)(2)无解【解析】【分析】（1）利用配方法求解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．(1)解：∵，∴，∴，∴∴；(2)解：，∵，∴ ，∴原方程无实数根，即此方程无解．【点睛】本题主要考查了利用配方法和公式法求解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解决本题的关键．15．已知关于x的一元二次方程x（kx﹣4）﹣x2＝﹣4(1)如果方程的根的判别式的值为4，求k的值；(2)如果方程有两个实数根，求k的取值范围．【答案】(1)(2)k≤2且k≠1【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，再根据根的判别式的定义得到Δ=（-4）2-4（k-1）×4=4，然后解关于k的方程即可；（2）利用判别式的意义得到k-1≠0且Δ=（-4）2-4（k-1）×4≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．(1)方程化为：（k-1）x2-4x+4=0，根据题意得Δ=（-4）2-4（k-1）×4=4，解得k=；(2)根据题意得：k-1≠0且Δ=（-4）2-4（k-1）×4≥0，解得k≤2且k≠1，即k的取值范围为k≤2且k≠1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．设m为整数，且，方程有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．【答案】当m=8时，x=17或9；当m=18时，x=39或27【解析】【分析】方程有整数根，则根的判别式就为完全平方数，所以就是求使△为完全平方数且大于0的m的值，求得后再代入方程检验即可．解：解方程得∵原方程有两个不相等的整数根，∴为完全平方数，又∵m为整数，且3
第12课 用公式法解一元二次方程课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（ ）．A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得的值解：化为一般形式为： ，，故选C【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．2．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可．解：A. 的两根为，故选项A不符合题意；B. 的两根为，故选项B不符合题意；C. 的两根为，故选项C不符合题意；D. 的两根为，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键．3．用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（ ）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【答案】C【解析】【分析】按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可．解：判别式故选：C【点睛】此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤．4．解方程时，下面说法正确的是（ ）A．只能用公式法 B．不能用配方法 C．只能用配方法 D．公式法、配方法都能用【答案】D【解析】【分析】公式法和配方法适用于任何有实根的一元二次方程．解：∵有实根，任何有实根的一元二次方程都可用配方法和公式法求解．故选：D【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，熟悉每种方法的适用条件是解题的关键．5．用公式法解方程，其中求得的值是（ ）.A．16 B．C．32 D．64【答案】D【解析】【分析】先将方程化为一般形式，然后计算即可.解：方程整理得：，∴，，，∴，故选D.【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键．6．一元二次方程x2﹣px+q=0的两个根是（4q＜p2）（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的求根公式x=()可直接得到答案．∵a=1，b=-p，c=q，∴b2-4ac=p2-4q，∵4q＜p2，∴b2-4ac=p2-4q＞0，∴x==.故选A．【点睛】此题主要考查了公式法解一元二次方程，关键是掌握求根公式．7．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0【答案】A【解析】解：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是b2-4ac≥0．故选A．8．方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于( )A．3 B．2 C．1 D．【答案】B【解析】试题分析：2x2－6x＋3＝0，这里a＝2，b＝－6，c＝3，∵△＝36－24＝12，∴x＝＝，即p＝；2x2－2x－1＝0，这里a＝2，b＝－2，c＝－1，∵△＝4＋8＝12，∴x＝＝，即q＝；则p＋q＝＋＝2．故选B．点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a，b，c，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解．9．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【解析】【分析】对于，当方程有两个不相等的实根，当方程有两个相等的实根，方程没有实根，根据原理作答即可.解：将转换为一般式为则所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键.10．关于的方程有实数根，则的取值范围是 （ ）A．且 B．且 C． D．【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论：①=0，为一元一次方程；②≠0，为一元二次方程，根据根的判别式计算即可．①当=0时，此时方程为，有实数根；②当≠0时，此时方程为为一元二次方程，∵方程有实数根∴，解得：综上所述： 故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．分两种情况讨论是解题的关键．11．若a，b，c是△ABC的三边，则关于x的方程的根的情况是( )A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【答案】A【解析】【分析】根据三角形三边关系，得到，再根据一元二次方程根的判别式即可求解．解：∵a，b，c是△ABC的三边∴，∴∴∴原方程没有实数根故选A．【点睛】本题考查三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式计算是解题的关键．12．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若c是方程的一个根，则一定有成立；②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确．②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确．综上：正确的有①②④，共3个．故选：A．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．二、填空题13．把方程化为一般形式是______，其中______，______，______，______，方程的根是______，______.【答案】 3 －5 －2 49 2【解析】【分析】方程整理为一般形式，找出一般形式中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．解：方程化为一般形式是：，∴a＝3，b＝−5，c＝−2，∵b2−4ac＝25＋24＝49，∴x＝，则方程的解为x1＝，x2＝2．故答案为；3，−5，−2，49；，2．【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键．14．方程的解为________．【答案】或【解析】【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．（x-1）（x+3）=12x2+3x-x-3-12=0x2+2x-15=0x=,∴x1=3，x2=-5故答案是:3或-5．【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．15．方程（）的根是___________．【答案】【解析】【分析】利用公式法解一元二次方程即可得出结论．解：∴x=解得： 故答案为：．【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解决此题的关键．16．已知则的值=___________【答案】或【解析】【分析】依题意解后，分a=b与进行讨论即可．解：依题意得a,b是方程的解，解得：，当时，a+b=，当时，a+b=，当时，，故答案为：或．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的问题，掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键．17．若关于x的一元二次方程无实数根，则k的最小整数值是______．【答案】2【解析】【分析】把原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据判别式为负可求得k的取值范围，则可求得k的最小整数值．原方程化简得： 由题意得： 且 解不等式得： 则k的最小整数值为2故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是本题的关键．18．若为的三边，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是_________三角形．【答案】等腰【解析】【分析】根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式进行求解可以得到或，由此判定即可．解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴即解得或，∴这个三角形为等腰三角形．故答案为：等腰．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式．三、解答题19．解下列一元二次方程：(1)x2﹣4x+1＝0；(2)2x2+3x﹣3＝0．【答案】(1)x1＝2+，x2＝2﹣(2)x1＝，x2＝【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用公式法求解即可．(1)解： x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，∴x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣；(2)2x2+3x﹣3＝0，∵a＝2，b＝3，c＝﹣3，∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟记并应用求根公式解一元二次方程是解此题的关键．20．解方程：(1)（2x﹣1）2＝（3﹣x）2；(2)．【答案】(1)或(2)或【解析】【分析】（1）先移项，用平方差公式进行因式分解，然后求解即可；（2）先配方，然后直接开平方计算求解即可．(1)解：∴或解得或∴方程的解为或．(2)解：∴或解得或∴方程的解为或．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于用适当的方式进行求解．21．【答案】【解析】【分析】根据公式法可以解答本题．解：∵，∴a=9，b=，c=1，∴△=，∴方程有两个不相等的实数根，∴=，∴．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．22．【答案】，【解析】【分析】利用公式法求解，．解：，，．【点睛】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的各个解法，选择合适的解法求解．23．不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）； （2）； （3）．【答案】（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【解析】【分析】（1）先化为一般式，然后计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况；（2）直接计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况；（3）先化为一般式，然后计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．解：（1）原方程化为一般式5x2+x-7=0，∵Δ=12-4×5×（-7）=141＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵Δ=202-4×25×4=0，∴方程有两个相等的实数根；（3）原方程化为一般式4x2+3x+1=0，∵Δ=32-4×4×1=-7＜0，∴方程有没有实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．24．已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当m为何值时：(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.【答案】⑴ m=2 ⑵ m=3 ⑶m=0或1.【解析】【分析】（1）方程只有一个实数根，则方程为一元一次方程，据此可以得到m的值；（2）方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0，从而求得m的值；（3）方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于0，从而得到m的值．(1)∵方程只有一个实数根，∴m−2=0解得：m=2；(2)∵方程有两个相等的实数根，∴△=4(m−1)2−4(m−2)(m+1)=0解得：m=3；(3)∵方程有两个不相等的实数根，∴△=4(m−1)2−4(m−2)(m+1)>0解得：m<3，∵m为非负整数，且m≠2，∴m=0或1.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据根的情况列出不等式并求解.25．关于x的方程(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．(2)若此方程的一个根为1，求m的值：(3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长【答案】(1)答案见解析(2)2(3)4+【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；（2）将x=1代入方程可确定m的值；（3）由m的值可得一元二次方程，解方程得出方程的另一个解，可得直角三角形的两直角边，再由勾股定理求出得直角三角形的斜边，即可得答案．(1)证明：x2−(m+2)x+(2m−1)=0，∵a=1，b=−(m+2)，c=2m−1，∴b2−4ac=[−(m+2)]2−4×1×(2m−1)=(m−2)2+4，∵在实数范围内，m无论取何值，(m−2)2+4>0，即b2−4ac＞0，∴关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；(2)将x=1代入方程可得：12−(m+2)+(2m−1)=0，解得：m=2；(3)∵m=2，∴方程为x2−4x+3=0，解得：x1=1或x2=3，∴方程的另一个根为x=3；∴直角三角形的两直角边是1、3，∵，∴斜边的长度为，∴直角三角形的周长为1＋3＋=4＋．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程，解一元二次方程，勾股定理，理解题意、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．26．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0．(1)求证：不论m取何值，此方程总有实数根；(2)若m为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m的值．【答案】(1)证明见解析(2)﹣1（答案不唯一）【解析】【分析】（1）由题意知，判断其与0的关系，即可得出结论；（2）表示出方程的两根，根据要求进行求解即可．(1)证明：由题意知∵（m+2）2≥0，∴△≥0，∴关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0总有实数根；(2)解：由（1）知，△＝（m+2）2，∴x，∴，，∵方程有一根小于2，∴﹣m＜2，∴m＞﹣2，∵m为整数，∴满足条件的m的一个值为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于利用判根公式确定方程根的个数，利用公式求方程的根．27．已知：关于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k＝0（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0，可得方程总有实数根；（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b、c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长．（1）证明：由题意知：Δ＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∴△ABC的周长为5．【点睛】本题考查了根的判别式△＝b2－4ac：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程没有实数根．也考查了等腰三角形的性质以及三角形三边的关系．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为，右图是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，解方程即可求出．解：依题意得，整理得：，则，方程两边同时除以，，（负值已经舍去），故选：C．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．2．探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（ ）A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式求解，然后根据各种说法的条件逐项验证即可．解：关于x的一元二次方程根的判别式为：，甲：当a，b同号时，若两数均为负数，就不能确保的符号为正，不符合题意；乙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意；丙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意；综上所述，甲的建议不能满足题意、乙和丙的建议满足题意，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程有实数根的条件，根据题中所给条件，结合一元二次方程根的判别式讨论是解决问题的关键．3．有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（ ）A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等 D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数【答案】B【解析】【分析】分别求出两个方程的根的判别式，由此可判断选项A；设方程的一个实数根为，则，先根据可得，从而可得，再分别将、和代入方程的左边，检验是否等于0即可判断选项B、C、D，由此即可得出答案．解：方程根的判别式为，方程根的判别式为，所以若一个方程有实数根，则另一个方程也一定有实数根，选项A错误；若两个方程都有实数根，设方程的一个实数根为，则，即，，，，将代入方程的左边得：，即是方程的根，所以此时两个方程必有一根互为相反数，选项B正确；将代入方程的左边得：，即不是方程的根，选项C错误；将代入方程的左边得：，则只有当时，才是方程的根，所以此时两个方程不一定有一根互为倒数，选项D错误；故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．4．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ）A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k，∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0，又∵ab≠0，∴a−b−1＝0，即a＝b＋1，∴ax2＋2ax＋a＝0，解得：x1＝x2＝−1，∴k＝−1，∵＝，∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0，此时＞0，即；当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0，此时＜0，即；故A、C错误；当时，即＞0，＞0，解得：a＞1或a＜0，故B错误；当时，即＜0，＜0，解得：0＜a＜1，故D正确故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．5．若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b【答案】A【解析】试题分析：方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，根据求根公式即可求得方程的两个根，再根据m＜n，a＜b，即可判断．解：方程可以化简为x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，根据求根公式得到：x=，又因m=＜a，n=＞b，∵a=，b=∵a＜b，∴a＜＜b，又∵＜＜＜＜，∴m＜a＜b＜n．故本题选A．考点：解一元二次方程-公式法．6．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（ ）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【答案】C【解析】【分析】据题意，可以将方程转化为一元二次方程，然后根据Δ的值，即可判断根的情况．解：∵方程，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+3＝0，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，∴方程两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．7．如图，直线与y轴，x轴分别交于点A、B，C为线段AB上的动点，过C作x轴的垂线垂足为点D，以CD为一边在CD左侧内正方形CDEF，当正方形CDEF与△AOB重叠部分的面积为△AOB的面积的时，点C的横坐标为（ ）A． B．或C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】由y=-2x+2知，A（0，2），B(1，0)，得OA=2，OB=1，，由矩形ODCG面积为，可知OD∙CD=，设OD=m，可得，求解即可得到C点的横坐标．解：由y=-2x+2知，A（0，2），B(1，0)∴OA=2，OB=1∴ 由题意四边形ODCG是矩形，且面积为 ，∴OD∙CD= ，设OD=m，则 ，∴，∴，解得m= ，∴C点的横坐标为或，故选B．【点睛】本题考查了一次函数点的坐标特征、矩形的性质，三角形的面积及解一元二次方程，解题的关键是利用面积的关系得到OD∙CD=，从而求解．8．已知，，下列结论正确的个数为( )①若是完全平方式，则；②B－A的最小值是2；③若n是的一个根，则；④若，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【分析】①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③利用求根公式和完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解．解：①∵A=x2+6x+n2是完全平方式，∴n=±3，故结论正确；②∵B-A=2x2+4x+2n2+3-（x2+6x+n2）=x2-2x+n2+3=（x-1）2+n2+2，而（x-1）2+n2≥0，∴B-A≥2，∴B-A的最小值是2，故结论正确；③∵A+B=x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3=3x2+10x+3n2+3，把x=n代入3x2+10x+3n2+3=0，得3n2+10n+3n2+3=0，即6n2+10n+3=0，解得当时，当时，故结论错误；④∵（2022-A+A-2019）2=（2022-2019）2=（2022-A）2+（A-2019）2+2（2022-A）（A-2019）=（2022-A）2+（A-2019）2+2×2=9，∴（2022-A）2+（A-2019）2=5；故结论错误； 故选B．【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方方法的应用，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．二、填空题9．若一元方程有两个实数根，则m的取值范围为是 _____．【答案】m≤且m≠2【解析】【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．解：∵方程有两个实数根，∴，解得m≤且m≠2．故答案为：m≤且m≠2．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．10．已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是_____．【答案】-1【解析】【分析】分二次项系数为零及非零两种情况考虑：当a+1＝0，即a＝-1时，原方程为一元一次方程，解之可求出x的值，进而可得出a＝-1符合题意；当a+1≠0，即a≠-1时，原方程为一元二次方程，由根的判别式 ，可得出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围．综上即可得出a的取值范围，取其内的最大整数即可得出结论．解：当，即时，原方程为，解得，∴符合题意；当，即时，原方程为一元二次方程，∵，∴且．综上所述，，∴整数的最大值为-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是分二次项系数为零及非零两种情况找出a的取值范围．11．关于x的一元二次方程有实数根，则2ax的值为 ___．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根可得判别式大于或等于0，进而列出不等式求解，根据二次根式的性质可得，进而根据，确定的值，代入原方程，解方程即可求得的值，进而求得2ax的值．关于x的一元二次方程有实数根，其中且即且则原方程为解得故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，二次根式的性质，解一元二次方程，求得的值是解题的关键．12．若代数式有意义，则x的取值范围是 _____．【答案】﹣3≤x≤且x≠．【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0．解：若代数式有意义，必有，解①得解②移项得两边平方得整理得解得③∴解集为﹣3≤x≤且x≠．故答案为：﹣3≤x≤且x≠．【点睛】本题考查了二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式，（a≥0）是一个非负数．注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．13．关于的一元二次方程，下列命题是真命题的是______．（填序号）①若，则方程必有实数根；②若，，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．【答案】①④【解析】【分析】①将式子变形代入根的判别式化简，根据平方的非负性即可判断；②将，，代入根的判别式化简，根据平方的非负性即可判断；③根据一元二次方程根的定义，将代入即可判断；④根据一元二次方程根的定义将代入，可得代入判别式进而判断①，则，则方程必有实数根，故①正确；②，，，则方程必有实数根，故②不正确③是方程的一个根，则，当时，可以是任意实数，故③不正确④是方程的一个根，则，即故④正确综上所述，正确的是①④故答案为：①④【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式判断根的情况是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．三、解答题14．解方程：(1)(2)．【答案】(1)(2)无解【解析】【分析】（1）利用配方法求解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．(1)解：∵，∴，∴，∴∴；(2)解：，∵，∴ ，∴原方程无实数根，即此方程无解．【点睛】本题主要考查了利用配方法和公式法求解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解决本题的关键．15．已知关于x的一元二次方程x（kx﹣4）﹣x2＝﹣4(1)如果方程的根的判别式的值为4，求k的值；(2)如果方程有两个实数根，求k的取值范围．【答案】(1)(2)k≤2且k≠1【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，再根据根的判别式的定义得到Δ=（-4）2-4（k-1）×4=4，然后解关于k的方程即可；（2）利用判别式的意义得到k-1≠0且Δ=（-4）2-4（k-1）×4≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．(1)方程化为：（k-1）x2-4x+4=0，根据题意得Δ=（-4）2-4（k-1）×4=4，解得k=；(2)根据题意得：k-1≠0且Δ=（-4）2-4（k-1）×4≥0，解得k≤2且k≠1，即k的取值范围为k≤2且k≠1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．设m为整数，且，方程有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．【答案】当m=8时，x=17或9；当m=18时，x=39或27【解析】【分析】方程有整数根，则根的判别式就为完全平方数，所以就是求使△为完全平方数且大于0的m的值，求得后再代入方程检验即可．解：解方程得∵原方程有两个不相等的整数根，∴为完全平方数，又∵m为整数，且3
相关试卷
人教版九年级上册23.2.1 中心对称一课一练： 这是一份人教版九年级上册23.2.1 中心对称一课一练
人教版九年级上册23.1 图形的旋转课后作业题： 这是一份人教版九年级上册23.1 图形的旋转课后作业题
初中2 视图习题： 这是一份初中2 视图习题，文件包含第32课视图解析版docx、第32课视图原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
