初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程4 用因式分解法求解一元二次方程课堂检测

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第13课 用因式分解法解一元二次方程课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．一元二次方程的解是（       ）A． B． C． D．2．方程x（x﹣2）＝3x的解为（       ）A．x＝5 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝0，x2＝﹣53．下列方程能用因式分解法求解的有（       ）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．一元二次方程的解是　　A．， B．，C．， D．，5．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（       ）A．0 B．1或2 C．1 D．26．如果能分解成的形式，则方程的两根为（ ）A．， B．，C．， D．，7．一元二次方程的解为（       ）A． B．B． C．， D．，8．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的周长是（       ）A．19 B．11或19 C．13 D．119．已知实数满足，则代数式的值是(   )A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或310．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0二、填空题11．一元二次方程x(x﹣5)=x﹣5的解为___________．12．认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：（1）4x2+16x=5，应选用_____法；（2）2（x+2）（x﹣1）=（x+2）（x+4），应选用_____法；（3）2x2﹣3x﹣3=0，应选用_____法．13．方程的根为__________．14．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2﹣3x=4（x﹣3）的两个实数根，则该等腰三角形的周长是_____．15．解方程：1+22x-3x2＝25解得 ____．16．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．17．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．18．定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则______．三、解答题19．用因式分解法解下列关于x的方程（1）                           （2）（3）                              （4）20．用因式分解法解下列方程：(1)；(2) ；(3)；(4).21．阅读下面的例题．解方程： ．解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）．（2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）．∴原方程的解是 ， ．请参照上述方法解方程 ．22．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．已知关于的方程的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（        ）．A．8 B．10 C．8或10 D．6或102．已知，则等于（   ）A．或 B．6或1 C．或1 D．2或33．方程的解是（                 ）A．或 B．或 C．或 D．无实数根4．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记，，，…，那么，则的值是（       ）A．13 B．10 C．8 D．75．若，，，，为互不相等的正奇数，满足，则的末位数字是（       ）A．1 B．3 C．5 D．76．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（     ）个； ①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．若关于x的一元二次方程的根都是整数，则整数m的最大值是________．8．若方程和的解相同，则的值为______．9．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是________.10．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．11．小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．12．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令 ① ② ①＋②：有 解得：请类比以上做法，回答下列问题：若为正整数，，则____．三、解答题13．解方程：(1)(2)(3)(4)14．按要求解方程：(1)直接开平方法： 4（t-3）2=9（2t-3）2；(2)配方法：2x2-7x-4=0；(3)公式法：   3x2+5（2x+1）=0；(4)因式分解法：3（x-5）2=2（5-x）；(5)因式分解法：abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ；(6)用配方法求最值：6x2-x-12．15．已知关于x的一元二次方程．(1)当m＝1时，试求出该方程的解；(2)求证：不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根．16．阅读下面的例题：解方程m2﹣|m|﹣2＝0的过程如下：（1）当m≥0时，原方程化为m2﹣m﹣2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1（舍去）．（2）当m＜0时，原方程可化为m2＋m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1（舍去）．原方程的解：m1＝2，m2＝﹣2请参照例题解方程：m2﹣|m﹣1|﹣1＝017．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设m＝，n＝，则原方程组可化为，解之得，即所以原方程组的解为．运用以上知识解决下列问题：（1）求值：＝　 　．（2）方程组的解为　 　．（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝　 　．（4）解方程组（5）已知关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．18．阅读理解：德国著名数学家高斯（C．F．Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日，物理学家、天文学家、大地测量学家．）被认为是历史上最重要的数学家之一，并有"数学王子"的美誉．高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出 ，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令 ① ②（右边相加 共 组）①+②：有   ，解得： 请类比以上做法，回答，                            题目：如下图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推．（1） 填写下表：（2） 写出第层所对应的点数； （3） 如果某一层共个点，你知道它是第几层吗?（4） 写出层的六边形点阵的总点数；（5） 如果六边形点阵图的总点数是个，你知道它共有几层吗?19．阅读下列材料：1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 − 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 () 整除，则其一定可以分解为 () 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．例如：多项式 可以分解为 () 与另外一个整式 M 的乘积，即 令时，可知 x =1 为该方程的一个根．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 () 与另一个整式的积．令：，则=，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，得，从而此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式分解因式；（2）若多项式 含有因式及 ，求a+ b 的值．20．如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，点坐标为，正比例函数的图象与交于点，点在轴上一个动点，过点作轴的垂线与直线和分别交于、两点．（1）求的值及直线所对应的一次函数表达式；（2）当时，求的取值范围；（3）求出当为何值时，面积为12？培优第三阶——中考沙场点兵一、单选题1．（2022·山东临沂·中考真题）方程的根是（     ）A．， B．，C．， D．，2．（2022·广西贵港·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（       ）A．0， B．0，0 C．， D．，03．（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝04．（2021·西藏·中考真题）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（       ）A．6 B．10 C．12 D．245．（2016·四川攀枝花·中考真题）若x＝-2是关于x的一元二次方程x2＋ax-a2＝0的一个根，则a的值为（        ）A．1或-4 B．-1或-4C．-1或4 D．1或46．（2015·广东广州·中考真题）已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）A．10 B．14 C．10或14 D．8或107．（2016·山东泰安·中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）A．无实数根 B．有一正根一负根C．有两个正根 D．有两个负根8．（2016·广东深圳·中考真题）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（ ）A． B．C． D．二、填空题9．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．10．（2020·贵州毕节·中考真题）关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．11．（2020·四川乐山·中考真题）已知，且．则的值是_________．12．（2021·浙江丽水·中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当时，a的值是__________．（2）当时，代数式的值是__________．13．（2020·湖南·中考真题）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．三、解答题14．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：．15．（2021·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．16．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是方程的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒（1）线段______；（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．已知实数同时满足，求代数式的值．