初中数学北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系一课一练

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第14课 一元二次方程的根与系数的关系课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．若是一元二次方程的两个根，则的值是（       ）A． B． C． D．2．一元二次方程的两个根为，则的值为（       ）A．2 B．6 C．8 D．143．下列一元二次方程中，两根均为负数的是(     )A． B．C． D．4．若、是一元二次方程的两个根，且，那么这个一元二次方程是（       ）A． B． C． D．5．若、是关于x的一元二次方程的两个实数根，，则必有（       ）A． B． C． D．6．设是一元二次方程的两根，则（       ）A． B．2 C．3 D．7．已知一元二次方程的两根为，则（       ）A．0 B．1 C．2 D．8．若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（       ）A．1 B．-1C． D．9．下列关于x的一元二次方程的命题中，真命题有（       ）①若，则；②若方程两根为1和－2，则；③若方程有一个根是，则A．①②③ B．①② C．②③ D．①③10．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（       ）A． B． C．2012 D．2011二、填空题11．设，是关于x的方程的两个根，且，则______．12．若、是一元二次方程的两根，则的值是_______．13．在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝________，q＝________．14．已知、是方程的两个实数根，则的值为__．15．设一元二次方程x2－3x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2(x22－3x2)＝____．16．已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是_________．17．已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若m是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是__________．三、解答题19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）；          （2）．20．已知关于x的方程．(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为，，若，求m的值．21．在等腰中，、、的对边分别是、、；已知，、分别是方程的两个根，试求的周长．22．方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为．（1）求m的取值范围；（2）若，求m的值．23．设是一元二次方程的两根，（1）试推导；（2）求代数式的值．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（       ）A．－3 B．3 C．－5 D．52．关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（       ）A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根3．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（       ）A．2或6 B．2或8 C．2 D．64．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则（       ）A． B． C． D．5．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（       ）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根6．设a、b为x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a3＋a2＋3a＋2024b＝（       ）A．2024 B．﹣2024 C．2021 D．﹣20217．已知关于的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）A． B．C．或a>0 D．或a>08．若a≠b，且则的值为（       ）A． B．1 C．.4 D．39．已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（       ）A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是10．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题11．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．12．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是_________．13．已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是_________．14．一元二次方程的两根为x1，x2，＋2x1x2＋＝_____．15．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1＝0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2；④当a+b＝ab时，方程有一根为1．则正确结论的序号是 ____________．16．若α2﹣2α＋k＝0，β2﹣2β＋k＝0，且α2﹣α＋β＝5，α≠β，则k＝___．17．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有___．（填序号）①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．18．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：①，②；③；④，其中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）．三、解答题19．已知关于x的方程有两个实数根(1)求k的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2-15，求k的值．20．已知的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是10．(1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．(2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长．(3)当n为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？21．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：(1)若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝______；(2)若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．22．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2＋bx＋c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx＋2t2a，所以有b2ac＝0；我们记“K＝b2ac”，即K＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：(1)以下为倍根方程的是　 　；（写出序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x＋8＝0；(2)若关于的x方程mx2＋（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2＋5mn＋n2的值；(3)若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程是倍根方程，求此倍根方程．23．阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．24．材料一：若一个各位数字均不为零的自然数满足各位数字之和不大于10，则称该数为“易数”．例如“1123”，因为，所以“1123”为“易数”．材料二：以三位数中的b，c构造一元二次方程，若该方程有两个实数根，则称为m的“系数关联数”．(1)一个各位数字均不相等的四位数k它是“易数”，请直接写出满足该条件的最小易数______和最大易数______；(2)请将材料二中的“系数关联数”n用字母b、c表示出来；(3)已知一个三位数为易数，t的“系数关联数”n为8的倍数，求满足条件的所有三位数t．25．阅读材料：材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．材料2：已知实数，满足，，且，求的值．解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以根据上述材料解决以下问题：(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．培优第三阶——中考沙场点兵一、单选题1．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（       ）A．7 B． C．6 D．2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（       ）A．3或 B．或9 C．3或 D．或63．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（       ）A．4045 B．4044 C．2022 D．14．（2018·山东潍坊·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（       ）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在5．（2021·广西贵港·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是（       ）A．－2 B．2 C．－1 D．16．（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（       ）A．2或6 B．2或8 C．2 D．67．（2021·四川南充·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为（     ）A． B． C． D．8．（2015·湖南株洲·中考真题）有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论中，错误的是(　 　)A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1二、填空题9．（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．10．（2021·江苏泰州·中考真题）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为 ___．11．（2021·江苏南通·中考真题）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．12．（2022·四川内江·中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．13．（2020·四川宜宾·中考真题）一元二次方程的两根为，则________________14．（2020·贵州黔南·中考真题）对于实数a，b，定义运算“”，例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则_________．三、解答题15．（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．(1)求k的取值范围；(2)若，求k的值．16．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程有实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．17．（2020·广西玉林·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求的值．18．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．