北师大版2 平行线分线段成比例练习

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第21课 平行线分线段成比例课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．如图，在△ABC中，DEBC，若，则等于(             )A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵DEBC，∴，故选C．【点睛】考点：平行线分线段成比例．2．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，则下列比例式中正确的是（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用得到对应线段成比例，再逐一分析即可得到答案．【解析】解： 故错误； 故错误； 故错误；，故正确，故选【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．3．中，直线交于，交于点，那么能推出的条件是（          ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出图像证明△ABC∽△ADE即可解题.【解析】解：见下图,当时,∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADE,∴∠ADE=∠B,∴DE∥BC,故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,作出图像,熟悉相似三角形的判定方法是解题关键.4．如图，已知：AB、CD相交于点O，由下列哪一组条件可以推出AC∥BD（          ）A．， B．C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例的性质解答即可．【解析】解：由 ，才能得出AC∥DB，A、=，不能得出AC∥DB，错误；B、，不能得出AC∥DB，错误；C、∵，∴，∴，又∵∠AOC=∠BOD∴△AOC∽△BOD∴∠C=∠D∴AC∥DB，正确；D、，不能得出AC∥DB，错误；故选：C．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．5．如图，已知直线a//b//c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若，则＝(　　)A． B． C． D．1【答案】A【分析】先由得出，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解析】解：∵，∴，∵a∥b∥c，∴．故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．6．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，BE的延长线交AD于点G，且，则下列结论中错误的是（　　）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】C【分析】根据，可得＝，，即可判断ABC选项，根据，可得△AFD∽△CFH，根据平行线分线段成比例可得＝，即可判断D选项．【解析】解：∵，∴∴＝，，∴A选项结论正确，不符合题意；C选项结论错误，符合题意；B选项结论正确，不符合题意；∵，∴＝，D选项结论正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找出对应边是解题的关键．7．如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（     ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平行线所截线段成比例直接判断即可．【解析】如图： ，只有B选项符合，A、C、D都错误．故选B．【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，关键是根据题意及结合图形得到相应线段成比例即可．8．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则（   ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由题意易得AB=3，然后根据平行线所截线段成比例直接求解即可．【解析】解： AH=2，HB=1，BC=5，AB=3，，；故选A．【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．9．如图，在中，，两边上的中线，相交于点，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】因为BE、CD是△ABC中的两条中线，可知DE是△ABC的中位线，于是，，根据，可得出，即可得出结论．【解析】解：∵BE、CD是△ABC中的两条中线，∴DE是△ABC的中位线，∴，DE=BC，∴，∴，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查的是三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，根据题意得出，是解题的关键．10．如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为(            )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】①∵MN ∥ BC，∴   AN：CN = AM：BM ，该项错误；②∵DN ∥ MC，∴   AD：DM = AN：NC ，再由（1）得   AD：DM = AM：BM，该项正确；③根据（1）知，此项正确；④根据（2）知，此项正确．所以正确的有3个，故选C．点睛：本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．二、填空题11．如图，已知，、交于点，若，则______．【答案】【分析】由AE∥BC可知△AED∽△CBD，从而可求得＝，然后即可求得的值．【解析】解：∵AE∥BC，∴△AED∽△CBD，∴，∴＝，∴＝，故答案为【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．12．如图，已知，则______，______，______，______．【答案】                    或【分析】根据，可知AC∥EF∥BD，然后根据平行线分线段成比例定理解答即可.【解析】∵，∴AC∥EF∥BD，∴，，，或.故答案为 ， ， ，或.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.13．如图，，如果，那么________．【答案】12【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出AE、GC的长，计算即可．【解析】∵DE∥FG∥BC，∴AE：EG：GC=AD：DF：FB=2：3：4，∵EG=4，，．故答案为：12．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．14．如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则____________．【答案】12【分析】如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：，根据AC=18，求出AF即可解决问题．【解析】解：∵G是△ABC的重心，∴AG=2DG，AD=3DG；∵EF∥BC，∴，∵AC=18，∴AF=12．故答案为12．【点睛】该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．15．如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则 的值是_____．【答案】【分析】先利用AB∥EF得到，求得AE=12，然后利用AB∥CD，根据定理可即求出的值．【解析】∵AB∥EF，∴，∵CE=4，CF=3，AE=BC，∴，解得AE=12，∵AB∥CD，∴．故答案为.【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握是解题的关键.16．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝_____．【答案】6【分析】利用平行线分线段长比例定理得到=1，即AF=FD，所以EF为△ADC的中位线，则EF=CD=BD，再利用EF∥BD得到，所以DG=2FG=2，然后计算FD，从而得到AD的长．【解析】解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，∴BD＝CD，AE＝CE，∵EF∥CD，∴＝1，即AF＝FD，∴EF为△ADC的中位线，∴EF＝CD，∴EF＝BD，∵EF∥BD，∴，∴DG＝2FG＝2，∴FD＝2+1＝3，∴AD＝2FD＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形中位线性质和平行线分线段成比例定理．17．如图，已知，，则______，______.【答案】     ，     【分析】由，则有，又，得，即可得到.【解析】解：∵，∴，∴，设∴，故答案为，.【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟记平行线分线段成比例的性质，以及合比性质等.18．如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______．【答案】【分析】过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可．【解析】∵∴AB==10，过点E作EG⊥AB，垂足为G，∵是的角平分线，∴∠CBE=∠GBE，∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE，∴△CBE≌△GBE，∴BC=BG=6，EC=EG，设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4,在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得，即，解得x=3，∴CE=3，AE=5，过点F作FO⊥AC，垂足为O，，∴FO∥BC，∴，∴即FO=2OE，∵AD是中线，BC=6，∴CD=3，∵FO∥DC，∴，∴，解得OE=，在直角三角形OEF中，，∴EF==．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键．三、解答题19．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，若AE：EC=2：3，DB-AD=3，求AD和DB的长．【答案】AD和DB的长分别为6和9【分析】首先由在△ABC中，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AE：EC=2：3=AD：BD，设AD=2k，BD=3k，再根据DB-AD=3，可得AD和DB的值．【解析】解：∵DE∥BC∴ AE：EC=2：3=AD：BD设AD=2k，BD=3k，则k=3∴AD=6，BD=9【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用，注意线段的对应关系．20．如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长．【答案】EC的长为．【分析】根据AD∥EB∥FC，由平行线分线段成比例可得EC：AC= BF：DF，代入数据计算即可．【解析】∵AD∥EB∥FC，∴EC：AC= BF：DF，∴EC：12=7：10，∴EC=．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线写出对应比例式是解题的关键．21．如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．【答案】（1）；（2）11【分析】（1）根据ADBECF可得，由此计算即可；（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．【解析】解：（1）∵ADBECF，∴，∵AB=6，BC=8，∴，故的值为；（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，∵AGDF，ADBECF，∴AD=HE=GF=5，∵CF=19，∴CG=CF-GF=14，∵BECF，∴，∴，解得BH=6，∴BE=BH+HE=11．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．22．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，点F在BC上，DE交AF于点G，AD=2BD，AE=5，求：（1）；（2）AC的长．     【答案】（1）；（2）【分析】（1）由于DE∥BC，AD=2BD，根据平行线分线段成比例定理可得；（2）同（1），易求，而AE=5，从而可求AC．【解析】解：（1）∵DE∥BC，且AD=2BD∴（2）∵DE∥BC，且AD=2BD∴∵AE=5∴AC=【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．23．如图，在△ABC中，点D、F是在边AB 上，点E在边AC上，且FE∥CD，线段AD是线段AF与AB的比例中项．求证：DE∥BC【答案】证明过程见解析【分析】由FE∥CD，可得，由AD是线段AF与AB的比例中项，可得，进而可得，可得结论．【解析】∵FE∥CD，∴，∵AD是线段AF与AB的比例中项，∴，∴，∴DE∥BC．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其逆定理，根据平行判断成比例线段是解题的关键．24．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG=AF•AB．【答案】（1）6；（2）证明见解析．【分析】（1）由平行可得 ，可求得AC，且EC=AC-AE，可求得EC；（2）由平行可知 ，可得出结论．【解析】解：（1）∵DE∥BC，∴，又，AE=3，∴，解得AC=9，∴EC=AC-AE=9-3=6；（2）∵DE∥BC，EF∥CG，∴，∴AD•AG=AF•AB．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）A．； B．； C．； D．．【答案】A【分析】抓住已知条件：GE∥BD， GF∥AC，利用平行线分线段成比例以及中间比代换，对各选项一一判断即可求解.【解析】∵GE∥BD，∴∵GF∥AC，∴∴，A选项正确；∵GE∥BD，∴∵GF∥AC，∴∴，B选项错误；∵GE∥BD，∴∵GF∥AC，∴∴，C选项错误；∵GE∥BD，∴，D选项错误；故选：A【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用中间比是解题的关键.2．如图，在中，D是上一点，连接是的中点，连接并延长交于点E，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】做DG∥BE，交AC于点G，得到AE=EG，，问题得解．【解析】解：如图，做DG∥BE，交AC于点G，∵F为AD中点，∴AF=DF，∴AE=EG，∵， DG∥BE，∴，∴．故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题关键．3．在中，D．F．E分别在边BC．AB．AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据四边形AFDE是平行四边形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，利用平行线分线段成比例定理，分别找出对应线段即可得到结论．【解析】解：∵四边形AFDE是平行四边形，∴DF∥AC， DE∥AB．∴．故A错误；∵ DE∥AB，∴．故B正确；∵DF∥AC，∴，．∴．故C正确；∵DF∥AC，DE∥AB，∴，．∴．故D正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了平分线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理并能准确找出成比例的对应线段是解题的关键．4．如图，在中，，，已知，则的长是　　A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】由于D、E、F和G、H、I分别是AB、AC的四等分点，则DG∥EH∥FI，根据平行线分线段成比例定理，即可求出DG、EH、FI和BC的比例关系，由此可求出DG+EH+FI的长．【解析】∵AD=DE=EF=FB，AG=GH=HI=IC，∴DG∥EH∥FI；∴，即DG=BC；同理可得：EH=BC，FI=BC；∴DG+EH+FI=BC+BC+BC=BC=3；故选B．【点睛】此题主要考查的是平行线分线段成比例定理的应用．5．如图，，与相交于点，过点的直线交于点，交于点．若，，，则的长为（       ）A． B． C． D．4【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例，先将CE和CF分别用含DF的式子表示，再根据EF=CF-CE列出关于DF的方程求解即得．【解析】解：∵∴，∴，∵∴∵∴∴故先：B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，将已知线段用未知线段表示并找出等量关系列方程是解题关键．6．如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例的定理去求出各个线段的比例关系，选出正确选项．【解析】解：A选项错误，∵点D、点E是AB的三等分点，∴，∵，∴，∵，∴，则；B选项错误，无法证明；C选项正确，∵，∴，∵，∴，则；D选项错误，∵，∴，∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用这个定理求出线段的比例关系．7．如图，在△ABC中，M是AC的中点，P,Q为BC边上的点，且BP=PQ=CQ，BM与AP,AQ分别交于D,E点，则BD∶DE∶EM等于A．3∶2∶1 B．4∶2∶1 C．5∶3∶2 D．5∶2∶1【答案】C【分析】过A作AF∥BC交BM延长线于F，设BC=3，则BP=PQ=QC=；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD、BE、BM的长度，再来求BD，DE，EM三条线段的长度，即可求得答案．【解析】过A作AF∥BC交BM延长线于F，设，则；∵，∥，∴，∴，∵∥，∴，∴，∵∥，∴，∴，即，∵∥，∴，∴，即，∴，，∴．故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键．8．在中，、是边上的三等分点，是边上的中线，、分为三段的长分别是、、，若这三段有，则等于(       )A． B． C． D．【答案】D【分析】设BM分别交AE,AF于P,Q,连接MF, 作FH//BM交AC于H,根据中点的性质可得EP//MF,根据BE=EF，得到BP=PM，根据平行线分线段成比例定理可得CF:CB=FH:BM=CH:CM=1:3,则FH:QM=AH:AM=5:3, 设FH=t,所以BM=3t,QM=0.6t,BP=1.5t,PQ=0.9t，即可求解.【解析】设BM分别交AE,AF于P,Q,连接MF,因为MF//AE,所以EP//MF,又因为BE=EF,所以BP=PM作FH//BM交AC于H,CF:CB=FH:BM=CH:CM=1:3,FH:QM=AH:AM=5:3,设FH=t,所以BM=3t,QM=0.6t,BP=1.5t,PQ=0.9t所以BP：PQ：QM=5：3：2即x：y：z=5：3：2故选D.【点睛】考查平行线分线段成比例定理，中位线的性质，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.二、填空题9．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么的值是__________.【答案】【分析】根据三角形的重心和平行线分线段成比例解答即可．【解析】∵△ABC的中线AD、CE交于点G，∴G是△ABC的重心，∴，∵GF∥BC，∴，∵DC=BC，∴ ，故答案为：.【点睛】此题考查三角形重心问题以及平行线分线段成比例，解题关键是根据三角形的重心得出比例关系．10．如图，直线，且每相邻两条直线的距离相等．若直线分别与相交于点，则为___________．【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理回答即可求解．【解析】解：如图，过点D作EF⊥，交于点E，交于点F，交于点G，∵，且每相邻两条直线的距离相等∴ ，∴=，故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段比例定理，平行线间的距离，正确理解平行线分线段成比例定理是解题的关键．11．如图，在中，为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若，则______．【答案】【分析】由DE与BC平行，由平行得比例求出AE的长，再由DF与CE平行，由平行得比例求出EF的长即可．【解析】，，，，，，，，，，，则．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．12．如图，在中，点是边的中点，直线交边于点，交的延长线于点，如果，那么的值为____．（用含、的式子表示）【答案】【分析】过点B作BH∥AC交EF于点H，先证明△BDH≌△CDF，得出BH=CF，再根据得出即可得解．【解析】解：过点B作BH∥AC交EF于点H，∴，∠C=∠DBH,∵点是边的中点，∴BD=CD，∵∠BDH=∠CDF，∴△BDH≌△CDF，∴BH=CF，∴，∵，∴，∴，故答案为： ．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确作出辅助线．13．如图中，、为的三等份点，为的中点，与、分别交于、，则________．【答案】【分析】首先过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，由M是AC的中点与D、E是BC的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得MK=NK=BE=EF=EC，然后根据比例的性质，即可求得BG：GH：HM的值．【解析】解：过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，∵M是AC的中点，∴，∵E、F是BC的三等分点，∴BE=EF=FC，∴MN=2NK，∵，，∴MH=BH，MG=BG，设MH=a，BH=4a，BG=GM=，∴GH=GM-MN=，∴BG：GH：HM=：：a=5：3：2．故答案为5：3：2．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．14．如图，在中，，．在边上有个不同的点，，，¨¨¨¨，，过这个点分别作的内接矩形，，¨¨¨¨，，设每个矩形的周长分别为，，¨¨¨¨，，则¨¨¨¨________．【答案】400【分析】首先过点A作AH⊥BC于H，由AB=AC=，BC=2，可求得BH的长，由勾股定理可求得AH的长，又由四边形P1E1F1G1是矩形，可得E1P1=F1G1，E1F1=P1G1，E1P1⊥BC，然后由平行线分线段成比例定理，即可求得E1P1=2BP1，F1G1=2CG1，则可求得L1的值，同理可求得L2，……，L100的值，继而求得答案．【解析】过点A作AH⊥BC于H，∵AB=AC=，BC=2．∴BH=BC=1，∴AH==2，∵四边形P1E1F1G1是矩形，∴E1P1=F1G1，E1F1=P1G1，E1P1⊥BC，∴E1P1∥AH，∴，即，∴E1P1=2BP1，同理：F1G1=2CG1，∴矩形P1E1F1G1的周长为：E1P1+E1F1+P1G1+F1G1=2P1G1+2BP1+2CG1=2（P1G1+BP1+CG1）=2BC=4，∴L1=4，同理：L2=L3=…=L100=4，∴L1+L2+……+L100=4×100=400．故答案为400．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及平行线分线段成比例定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．三、解答题15．如图，中，是中线，点在上，且，的延长线交于，求的值．【答案】的值为．【分析】作DH∥AC交BE于H，如图，根据平行线分线段成比例，由DH∥CE得到，则CE=2DH，由DH∥AE得到，则AE=DH，然后计算AE：EC的值．【解析】解：作DH∥AC交BE于H，如图，∵DH∥CE，∴，∴CE=2DH，∵DH∥AE，∴，∴AE=DH，∴．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．16．如图，MN经过ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E．（1）求证：DE∥BC；（2）联结DE，如果DE=1，BC=3，求MN的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）由平行线分线段成比例结合条件可证得，可证得结论；（2）由（1）的结论，结合平行线分线段成比例可得到，结合条件可求得，可求得AM，可求出MN．【解析】（1）证明：∵，∴，．∵，∴．∴．（2）∵，，．∴∴，∴．∴∵，∴．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质和判定，掌握线段对应成比例⇔两直线平行是解题的关键．17．如图，在中，，，点为边上的中点，连接，过点作于点，延长交于点，求的值．【答案】2【分析】过点作的平行线，过点作的平行线相交于点，延长交于点．先证明，得到，然后根据及平行线分线段成比例定理求解即可．【解析】解：如解图，过点作的平行线，过点作的平行线相交于点，延长交于点．∵，，∴四边形为正方形，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴．又∵，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用平行线分线段成比例定理解答．18．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DEBC．（1）若S△ADE＝2，S△BCE＝7.5，求S△BDE；（2）若S△BDE＝m，S△BCE＝n，求S△ABC（用m、n表示）．【答案】（1）3     （2）【分析】（1）根据有公共顶点，底边共线的两个三角形面积比为底的比，可以得到,设S△BDE＝x，再将x的值代入即可得出答案；（2）由（1）知，设S△ADE＝y，又S△BDE＝m，S△BCE＝n，从而得出y与m、n的函数关系式，即可表示出三角形ABC的面积．【解析】解：（1）设S△BDE＝x．∵，∵DE∥BC，∴，∴∵S△ADE＝2，S△BCE＝7.5，∴，解得：x1＝﹣5（舍），x2＝3．经检验x＝3是此题的解，∴S△BDE＝3；（2）由（1）知，设S△ADE＝y，又S△BDE＝m，S△BCE＝n，∴，解得，∴．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及等高三角形的面积比，利用平行线分线段成比例定理得出面积比之间的相等关系是解决问题的关键．19．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段DC上，EF∥AB交边AC于点F，EG∥AC交边AB于点G，FE的延长线与AD的延长线交于点H．求证：GF = BH．【答案】见解析【分析】由于EF∥AB，根据平行线分线段成比例，可得到，，从而推出，再由EG∥AC根据平行线分线段成比例，得到，即可推出HF = BG，最后根据一组对边平行且相等判定四边形BGFH是平行四边形，得到GF = BH．【解析】证明：∵ AD是边BC上的中线，∴ BD = DC．∵ HF∥AB，∴ ，∴ ，即，∵ EG∥AC，∴ ，∴ ，∴ HF = BG，又∵ HF∥BG，∴ 四边形BGFH是平行四边形，∴ GF = BH．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例和平行四边形的判定，属于综合题，根据平行线分线段成比例，得出相关线段的比例式是关键.20．如图(1)，，直线AB和CH交于点O，分别交于D、E两点，已知，，.(1)尝试探究：在图(1)中，求DB和AD的长；(2)类比延伸：平移AB使得A与H重合，如图(2)所示，过点D作，若，求线段BF的长；(3)拓展迁移：如图(3)，若的面积是10，点D、E分别位于AB、CA上，，点F在BC上且，，如果的面积和四边形FCED的面积相等，求这个相等的面积.【答案】(1)DB=8；；(2)；(3).【分析】(1)根据，可得到,再利用已知条件，，.容易求出AD，BD的长；（2）当AC移至与HC重合时，利用可得,根据(1)中求得的AD、BD的值，即可求出线段BF的长；（3）要求的值，就需要求出．利用的面积和四边形FCED的面积相等可得，再推导出四边形BFED是一个平行四边形，然后由及题中的已知条件得到，这样就可以得到与的面积之比，从而可以解决此题的问题．【解析】【解】(1)∵，∴，即，∴，∴.(2)∵平移AB使得A与H重合，∴，.∵，，∴四边形DECF为平行四边形，∴.∵，∴即，∴.(3)∵的面积和四边形FCED的面积相等，，∴，∴，又∵，∴四边形BDEF为平行四边形，，∴，，，即这个相等的面积为6.【点睛】本题运用到的知识点有：平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定及性质，为由边之间关系转化到计算面积，还需要运用的知识是底在同一直线的两个等高的三角形面积之比等于底之比的性质．21．如图1．在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI＝4，HI＝3，AD．矩形DFGI恰好为正方形．（1）求正方形DFGI的边长；（2）如图2，延长AB至P．使得AC＝CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M、N，求△MNG′的周长．【答案】（1）2；（2）三角形；（3）4．【分析】(1)由HI∥AD，得到，求出AD即可解决问题；(2)如图2中，设点G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．求出IG′和BD的长比较即可判定；(3)如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．想办法证明MN=MI′+NF′，即可解决问题.【解析】(1)∵HI∥AD，∴，∴，∴AD＝6，∴ID＝CD﹣CI＝2，∴正方形的边长为2；(2)三角形，理由如下：如图2中，设点G落在PC时对应的点为G′，点F的对应的点为F′．∵CA＝CP，CD⊥PA，∴∠ACD＝∠PCD，∠A＝∠P，∵HG′∥PA，∴∠CHG′＝∠A，∠CG′H＝∠P，∴∠CHG′＝∠CG′H，∴CH＝CG′，∴IH＝IG′＝DF′＝3，∵IG∥DB，∴，∴，∴DB＝3，∴DB＝DF′＝3，∴点B与点F′重合，∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是△BGG′，∴移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形； (3)如图3中，如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R，此时N、F′、R共线．∵∠MDN＝∠NDF+∠MDI′＝∠NDF′+∠DF′R＝∠NDR＝45°，∵DN＝DN，DM＝DR，∴△NDM≌△NDR，∴MN＝NR＝NF′+RF′＝NF′+MI′，∴△MNG′的周长＝MN+MG′+NG′＝MG′+MI′+NG′+F′R＝2I′G′＝4．【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及了矩形的性质、正方形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．培优第三阶——中考沙场点兵一、单选题1．（2022·山东临沂·中考真题）如图，在中，，，若，则（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，可得再建立方程即可．【解析】解： ，， ， 解得：经检验符合题意故选C【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“”是解本题的关键．2．（2020·四川成都·中考真题）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（       ）A．2 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．【解析】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴.∵AB=5，BC=6，EF=4，∴.∴DE=.故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．3．（2019·四川凉山·中考真题）如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（       ）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3【答案】B【分析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出的比．【解析】解：如图，过O作，交AC于G，∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．又，设，又，，故选B．【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．4．（2020·陕西·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】连接AC，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据三角形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．【解析】连接AC，交EF于点H，如图，∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，∴Rt△BCF中，EF＝BC＝4，∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，∴ ∴H是AC的中点，F是AG的中点，∴EH是△ABC的中位线，FH是△ACG的中位线，∴，，而FH=EF-FH=4-，∴CG=2FH=3， 又∵CD＝AB＝5，∴DG＝5﹣3＝2，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关性质是解题的关键．5．（2020·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】过作，交于点N，可得，得到EM与 平行，再由为中点，得到，同时得到四边形 为矩形，再由角平分线定理得到，进而求出的长，得到的长．【解析】解：过作，交于点，，，，，为中点，，，即 ，，四边形为矩形，，平分，， ，，，则．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，角平分线定理，以及平行线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．6．（2021·广西贵港·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则（       ）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】设，首先证明，再利用平行线分线段成比例定理求出，推出，，可得结论．【解析】解：设，四边形是正方形，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数，设正方形的边长为，求出，．二、填空题7．（2022·上海·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____．【答案】或【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解．【解析】解：∵D为AB中点，∴，即，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，，∴，在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠C=60°，BC＝，∵DE1∥BC，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等边三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝，∴E1E2＝，∵，∴，即，综上，的值为：或，故答案为：或．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键．8．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．【答案】3【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到，即可求出DE．【解析】解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，∴AB=2CD=10，∵BC=8，∴AC==6，∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴，即，∴DE=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比例式．9．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在中，，，D为边上一点，且，连接，以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点E（异于点C），连接，则的长为___________．【答案】##【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据题意得出，根据等腰三角形性质得出，根据，，得出，设，则，证明，得出，列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可得出．【解析】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：根据作图可知，，∵DF⊥BC，∴，∵，，∴，∵，∴，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，作出辅助线，根据题意求出CF的长，是解题的关键．10．（2022·北京·中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为_______．【答案】1【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【解析】解：在矩形中：，，∴，，∴，∴，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．11．（2021·湖南郴州·中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________．【答案】1.2【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，进而即可求解．【解析】解：∵，，∴，∵，∴3，故答案是：1.2．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握“平行线所截得的对应线段成比例”，是解题的关键．12．（2021·重庆·中考真题）如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为__________．【答案】3【分析】利用翻折的性质可得推出是的中位线，得出，再利用得出AO的长度，即可求出AD的长度．【解析】由翻折可知∴O是的中点，∵点D为边BC的中点，O是的中点，∴是的中位线，∴ ，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：3．【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键．三、解答题13．（2015·福建厦门·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．【答案】 【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理得出=，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．试题解析：∵DE∥BC，∴=，∵AD=3，AB=5，∴=．考点：相似三角形的判定与性质．14．（2016·山东淄博·中考真题）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME//AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．(1)求证：AE＝AF；(2)求证：BE＝(AB＋AC)．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据角平分线的性质及平行线的性质易∠AEF=∠AFE，即可得AE=AF；（2）作CG//EM，交BA的延长线于G，已知AC=AG，根据三角形中位线定理的推论证明BE=EG，再利用三角形的中位线定理即可证得结论．【解析】（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD//EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG//EM，交BA的延长线于G．∵EF//CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM//CG，∴，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键．