初中数学北师大版七年级上册2.5 有理数的减法一课一练

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专题2.4 有理数的加法+专题 2.5 有理数的减法 知识梳理知识点 1、有理数的加法 1.有理数加法法则（1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。（2）异号两数相加：绝对值值相等时和为 0，绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。（3）一个数同 0 相加，仍得这个数。2.加法运算律2.加法交换律加法结合律a  b  b  a(a  b)  c  a  (b  c)知识点 2 有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。课后培优练级练培优第一阶——基础过关练1．计算正确的是（       ）A．2 B． C．8 D．【答案】A【解析】【分析】根据有理数的加法运算即可求解．【详解】解：．故选：A．【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键．2．现有30个数，其中所有正数之和为10，负数之和为，这30个数的绝对值之和为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】所有负数的绝对值的和等于所有负数和的绝对值，所有正数之和的绝对值等于所有正数绝对值的和，从而可求得30个数的绝对值之和．【详解】所有负数的绝对值的和为，所有正数之和为10，则所有30个数的绝对值之和为：；故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法运算，关键掌握负数的和的绝对值等于负数的绝对值的和，正数的和的绝对值等于正数的绝对值的和．3．某市冬季中的一天，中午12时的气温是，经过6小时气温下降了，那么当天18时的气温是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据有理数减法计算即可．【详解】解: ∵中午12时的气温是，经过6小时气温下降了，∴当天18时的气温是．故选B．【点睛】本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题关键．4．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据图1可知，一横表示10，一竖表示1，白色为正，黑色为负，由此即可得出答案．【详解】解：由图1可知，一横表示10，一竖表示1，白色为正，黑色为负，则图2表示的过程是在计算，故选：A．【点睛】本题考查了有理数的加减法，掌握理解每个算筹所表示的数是解题关键．5．下列说法中，错误的有（       ）①一个有理数不是正数就是负数；②一个有理数不是整数就是分数；③若a是正数，则-a一定是负数；④两数相减差一定小于被减数；⑤所有的有理数都能用数轴上的点表示A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【解析】【分析】直接利用有理数的定义、相反数的意义、有理数的运算法则、有理数与数轴的关系来依次判断即可．【详解】解：因为0是有理数，但是0既不是正数也不是负数，故①错误，符合题意；因为有理数是整数和分数的统称，故②正确，不符合题意；因为正数的相反数是负数，故③正确，不符合题意；因为减去一个负数后，差比被减数大，故④错误，符合题意；因为数轴上的点与实数一一对应，所以所有的有理数都能用数轴上的点表示，故⑤正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了有理数的定义、相反数的意义、有理数的运算法则、有理数与数轴的关系等内容，解题关键是要牢记相关概念，并会举出反例．6．若，在数轴上表示如图所示，则（   ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据实数与数轴上的点之间的对应关系求解．【详解】解：由数轴得：，，故选项A错误；，故选项B错误；，，故选项C错误；，，故选项D正确，故选：D．【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，有理数的减法及绝对值的性质，解题的关键是利用好数轴．7．计算﹣2+|﹣3|＝_____．【答案】1【解析】【分析】先计算绝对值，再计算有理数的加法．【详解】解：，故答案为：1．【点睛】本题考查有理数的加法，绝对值，熟练掌握有理数的加法的运算法则是解题关键．8．已知，是-2的相反数，则的值为________.【答案】1或3##3或1【解析】【分析】由题意易得，进而代入求解即可．【详解】解：由，是-2的相反数可得：，∴当时，则；当时，则；故答案为1或3．【点睛】本题主要考查绝对值、相反数的意义及有理数的加法，熟练掌握绝对值、相反数的意义及有理数的加法是解题的关键．9．已知17人的一支乒乓球球队，实行淘汰制比赛，选出一名冠军，则需要比赛场次为___________．【答案】16【解析】【分析】17人要决出冠军则需要淘汰16人，可以看做一人打16场比赛，把其他16人全部淘汰拿到冠军，由此即可得到答案．【详解】解∵17人要决出冠军则需要淘汰16人，可以看做一人打16场比赛，把其他16人全部淘汰拿到冠军，∴一共需要比赛17-1=16场，故答案为：16．【点睛】本题主要考查比赛场次的计算，解题的关键在于正确理解题意．10．众所周知，公元纪年中没有公元零年．历史的长河就像一条如图的“缺零数轴”一样．比如阿基米德出生于公元前287年，公元前287年就可以用“缺零数轴”中的﹣287表示，那么，公元a年和公元前b相差的年数为_____．【答案】．【解析】【分析】根据公元1年与公元前1年相差1年，公元前b用“缺零数轴”中的﹣b表示，公元a年和公元前b相差的年数为即可．【详解】解：∵公元前b用“缺零数轴”中的﹣b表示，∴公元a年和公元前b相差的年数为，故答案为：．【点睛】本题考查“缺零数轴”表示相反意义的数，利用有理数减法计算，掌握“缺零数轴”表示相反意义的数，利用有理数减法列式时与有0数轴相差1计算是解题关键．11．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-9，+8，-7，+14，-6，+13，-5． (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？(2)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28.5升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？(3)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？【答案】(1)B地在A地的东边23千米(2)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充10升油(3)最远处离出发点28千米【解析】【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向；（2）根据耗油量与已有的油量，可得答案；（3）根据有理数的加法，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得最远．(1)解：∵15-9+8-7+14-6+13-5=23（千米），答：B地在A地的东边23千米；(2)解：这一天走的总路程为：15+|-9|+8+|-7|+14+|-6|+13|+|-5|=77（千米），应耗油77×0.5=38.5（升），故还需补充的油量为：38.5-28.5=10（升），答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充10升油；(3)解：∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：15千米；15-9=6（千米）；6+8=14（千米）；14-7=7（千米）；7+14=21（千米）；21-6=15（千米）；15+13=28（千米）；28-5=23（千米），∴最远处离出发点28千米．【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，解题关键是理清正数与负数的意义并掌握有理数的混合运算法则．12．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：             （1）用“＞”或“＜”填空：a　 　0，b　 　0，c -a　 　0．（2）化简：．【答案】（1）＜，＞，＞；（2）-b．【解析】【分析】（1）根据数轴可知，由此即可得出答案；（2）根据（1）的结果，以及绝对值的含义和求法，化简即可．【详解】解：（1）根据图示，可得：，所以，，故答案为：＜，＞，＞；（2）由可得，，所以．【点睛】本题考查根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的减法运算，化简绝对值等．培优第二阶——拓展培优练1．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为（       ）km．A．35 B．36 C．37 D．38【答案】B【解析】【分析】根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天+当天的“低强度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时的距离即可．【详解】“高强度”要求前一天必须“休息”，“高强度”的徒步距离前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时选择“高强度”能使徒步距离最远.,适合选择“高强度”的是第三天和第四天.又第一天可选择“高强度”,方案①第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强度”,此时，徒步的距离为(千米).方案②第一天选择“高强度”，第二天“低强度”，第三天选择“休息”，第四天“高强度”和第五天选择“低强度”,此时，徒步的距离为(千米).综上，徒步的最远距离为36千米.故选B．【点睛】本题主要考查最优路线选择，找出适合选择“高强度”的时间是解题的关键．2．若，，且的绝对值与它的相反数相等，则的值是（       ）A． B． C．或 D．2或6【答案】C【解析】【分析】由，，可确定两个a的值与两个b的值，则可计算出a+b的所有可能值，再由的绝对值与它的相反数相等，可判断出a+b的符号是非正数，从而最后可得到a+b的值．【详解】∵，∴a=±4，b=±2∴a+b=6，2，−6，−2∵的绝对值与它的相反数相等，即∴a+b≤0∴或−2故选：C【点睛】本题考查了绝对值的性质，注意：a与b的值均有两个，不要忽略负数；一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数必定是非正数．3．下面说法中正确的有（       ）（1）一个数与它的绝对值和一定不是负数；（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原来的2倍；（3）零减去一个数一定是负数；（4）正数减负数一定是负数；（5）数轴上原点两侧的数互为相反数A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【解析】【分析】根据绝对值、相反数以及有理数的加减法运算法则逐个排查即可解答．【详解】解：（1）一个数与它的绝对值的和一定不是负数，正确；（2）一个数减去它的相反数，它们的差是原数的2倍，正确；（3）零减去一个负数数一定是正数．故原说法不正确；（4）正数减负数一定是正数．故原说法不正确；（5）数轴上原点两侧且绝对值相等的数互为相反数，故原说法不正确．即正确的只有2个故选A．【点睛】本题主要考查了绝对值、相反数以有理数的加法和减法，灵活利用有理数的加法及减法法则是解答本题的关键．4．化简：的结果为（       ）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的性质化简即可；【详解】因为，所以，所以．故选A．【点睛】本题主要考查了绝对值的性质应用，准确分析判断是解题的关键．5．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…第n个三角形数记为an，计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，此推算，a100﹣a99＝（　　）A．99 B．1 C．101 D．100【答案】D【解析】【分析】根据题目中的数据，可以计算出a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3的值，即可发现相邻两项差的结果的变化特点，从而可以得到的a100﹣a99的值．【详解】解：由题意可得，a2﹣a1＝3﹣1＝2，a3﹣a2＝6﹣3＝3，a4﹣a3＝10﹣6＝4，a5﹣a4＝15﹣10＝5，…，故a100﹣a99＝100，故选：D．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．6．若，，且的绝对值与相反数相等，则的值是（       ）A． B． C．或 D．2或6【答案】C【解析】【分析】求出a、b的值，进行计算即可．【详解】解：∵，，∴，，∵的绝对值与相反数相等，∴＜0，∴，，或，故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的意义和有理数的计算，解题关键是理解绝对值的意义，确定a、b的值．7．绝对值不大于3的所有整数有 ___个，它们的和为________．【答案】     7     0【解析】【分析】绝对值不大于3的整数有0，±1，±2，±3，进而得出答案．【详解】解：由题意，得绝对值不大于3的整数有0，±1，±2，±3，∴所有整数有7个，它们的和为0．故答案为：7，0．【点睛】本题考查了绝对值的应用，有理数的加法法则，准确地找出所有满足条件的整数是解决问题的关键．8．在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：17，则丙同学手里拿的卡片的数字是_________．【答案】5和10【解析】【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．【详解】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，∴每人手里的数字不重复．由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；由丙：15，可知丙手中的数字可能是5和10，7和8，6和9；由丁：8，可知丁手中的数字可能是1和7，2和6，3和5；由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；∴丁只能是2和6，甲只能是4和7，丙只能是5和10，戊只能是8和9．故答案为：5和10．【点睛】本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．9．A是数轴上的一点，将点A沿着数轴移动3个单位长度至点B，再将点B沿着数轴移动4个单位长度至点C．若点C表示原点，用字母a，b分别表示点A，B在数轴上所对应的数．（1）点A表示的数可能有_________个；（2）若，则的值为_________．【答案】     4     3【解析】【分析】（1）根据题意分四种情况进行讨论，列式计算即可得解；（2）根据（1）的结论，代入数据计算即可．【详解】解：（1）b为-4，a为-4-3=-7；b为-4，a为-4+3=-1；b为4，a为4-3=1；b为4，a为4+3=7．故点A表示的数可能有4个；故答案为：4；（2）∵，∴a=-7，b=-4，则；a=7，b=4，则；∴|a-b|的值为3．故答案为：3．【点睛】本题考查了绝对值的性质，数轴的知识，熟记向右移动加，向左移动减是解题的关键．10．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离|a|，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A，B，分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，可得式子|x+1|+|x﹣1|的最小值是__，式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣9|的最小值是__．【答案】     2     20【解析】【分析】求|x+1|+|x﹣1|的最小值，意思是x到﹣1的距离之和与到1的距离之和最小，那么x应在﹣1和1之间的线段上；根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到1，2，3，…，9距离的和，当x在1和9之间的5时距离的和最小．【详解】解：式子|x+1|+|x﹣1|的最小值是1﹣（﹣1）＝2；|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3||+…|x﹣9|表示：数轴上一点到1，2、3…9距离的和最小，当x在1和9之间的5时距离的和最小，即当x＝5时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣9|＝4+3+2+1+0+1+2+3+4＝20，故式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣9|的最小值是20．故答案为：2，20．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确理解|x﹣a|表示数轴上 x 与 a 之间的距离，是解决本题的关键．11．计算：(1)(-2)+(+3)+(+4)+(-3)+(+5)+(-4)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）按照加法的交换律和结合律把互为相反数的结合进行求解即可；（2）按照加法的交换律和结合律把同分母的结合进行求解即可；(1)原式=[(-2)+(+5)]+[(+3)+(-3)]+[(+4)+(-4)]=(+3)+0+0=3；(2)解：原式=．【点睛】本题考查了有理数的加法法则，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数. 也考查了加法的交换律和结合律.12．我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点M表示的数m，点N表示的数是n，点M在点N的右边（即），则点M，N之间的距离为，即．(1)数轴上表示2和7的两点之间的距离是_______；数轴上表示和7的两点之间的距离是_______．(2)若数轴上分别表示m和的两点A和B之间的距离，求m的值．【答案】(1)5；9(2)−26或22【解析】【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求法求解即可得到答案；（2）分点A在点B的左侧和右侧两种情况解答即可．(1)解：数轴上表示2和7的两点之间的距离是：7−2=5；数轴上表示−2和7的两点之间的距离是：7−(−2)=7+2=9；故答案为：5；9．(2)解：当点A在点B的左侧时，m=−2−24=−26；当点A在点B右侧时，m=−2+24=22；故m的值为−26或22．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握数a和数b的两点之间的距离等于|a−b|是解题的关键．培优第三阶——中考沙场点兵1．（2022·浙江杭州·中考真题）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（       ）A．－8℃ B．－4℃ C．4℃ D．8℃【答案】D【解析】【分析】这天的温差就是最高气温减去最低气温的差，由此列式得出答案即可．【详解】解：这天最高温度与最低温度的温差为2-（-6）=8．故选：D．【点睛】本题主要考查有理数的减法法则，关键是根据减去一个数等于加上这个数的相反数解答．2．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于（       ）A． B． C．5 D．1【答案】A【解析】【分析】直接计算得到答案．【详解】==故选：A．【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算知识．3．（2021·青海西宁·中考真题）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意图2中，红色的有三根，黑色的有六根可得答案．【详解】解：由题知， 图2红色的有三根，黑色的有六根，故图2表示的算式是（+3）+ (-6) ．故选：B．【点睛】本题主要考查正负数的含义，解题的关键是理解正负数的含义．4．（2021·山东滨州·中考真题）在数轴上，点A表示-2．若从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（       ）A．-6 B．-4 C．2 D．4【答案】C【解析】【分析】根据数轴的特点，可知从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数为-2+4，然后计算即可．【详解】解：由题意可得，点B表示的数为-2+4=2，故选：C．【点睛】本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，点向左平移表示的数值变小，向右平移表示的数值变大．5．（2021·四川广元·中考真题）计算的最后结果是（       ）A．1 B． C．5 D．【答案】C【解析】【分析】先计算绝对值，再将减法转化为加法运算即可得到最后结果．【详解】解：原式，故选：C．【点睛】本题考查了绝对值化简和有理数的加减法运算，解决本题的关键是牢记绝对值定义与有理数运算法则，本题较基础，考查了学生对概念的理解与应用．6．（2022·湖南株洲·中考真题）计算：3+（﹣2）＝_____．【答案】1【解析】【分析】根据有理数的加法法则计算即可．【详解】3+(﹣2)＝+(3﹣2)＝1，故答案为1【点睛】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握法则是解答本题的关键．7．（2020·广西贵港·中考真题）计算：_______________．【答案】-4【解析】【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数，据此计算即可．【详解】解：3−7＝3＋（−7）＝−4．故答案为：−4．【点睛】本题主要考查了有理数的减法，熟记运算法则是解答本题的关键．8．（2020·广西河池·中考真题）计算：3﹣（﹣2）＝_____．【答案】5【解析】【分析】根据有理数的减法运算，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【详解】解：3﹣（﹣2）＝3+2＝5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数减法运算法则是解题的关键．9．（2020·广西玉林·中考真题）计算：_________．【答案】6【解析】【分析】根据负有理数的减法法则计算即可．【详解】．故答案为:6．【点睛】本题考查负有理数的减法计算,关键在于熟练掌握计算法则．10．（2020·江苏连云港·中考真题）我市某天的最高气温是4℃，最低气温是，则这天的日温差是________℃．【答案】5【解析】【分析】根据最高气温减去最低气温列出算式，即可做出判断．【详解】解：根据题意得：4−（−1）=5．故答案为:5【点睛】此题考查了有理数的减法，根据题意列出算式熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（2022·江苏扬州·中考真题）扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是－2℃，那么当天的日温差是__．【答案】8℃．【解析】【详解】用最高温度减去最低温度即可得当天的日温差：6－(－2)＝6＋2＝8℃．日期第1天第2天第3天第4天第5天低强度86654高强度121315128休息00000