初中数学北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算2.7 有理数的乘法精练

这是一份初中数学北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算2.7 有理数的乘法精练
专题2.7 有理数的乘法 知识梳理知识点一 有理数的乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，积仍为 0。乘法运算律乘法交换律 ab=ba乘法结合律 (ab)c=a(bc)乘法分配律 a(b+c)=ab+ac注：几个因数相乘，符号取决于负因数的个数，“奇负偶正”。知识点二 倒数 概念：如果两个有理数的乘积为 1，那么称其中一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数。2.性质：（1）0 没有倒数（2）倒数等于本身的数为 1 和-1，若 a、b 互为倒数，则 ab=1。课后培优练级练培优第一阶——基础过关练1．下列说法中，正确的是（       ）A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是【答案】C【解析】【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可．【详解】解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确       B. 2与互为倒数，故选项B不正确；       C. 0的相反数是0，故选项C正确；       D. 2的绝对值是2，故选项D不正确．故选C．【点睛】本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键．2．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据乘法分配律即可求解．【详解】=计算起来最简便，故选A．【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知乘法分配律的运用．3．王叔叔把3000元存入银行，银行的利率一年是3%，二年的利率是3.75%，王叔叔存了二年，到期时他取回（       ）元．A．3000 B．3225 C．225 D．3090【答案】B【解析】【分析】根据题意直接列式计算即可得出结果．【详解】解：根据题意可得，3000+3000×3.75%×2=3225，故选：B．【点睛】题目主要考查有理数的乘法及加法的应用，理解题意，列出算式是解题关键．4．计算的结果是（       ）A．1 B． C．10 D．【答案】A【解析】【分析】原式利用乘法分配律计算即可求出值【详解】解：原式==-22+28-18+13=6-18+13=-12+13=1，故选：A【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．如果四个互不相同的正整数、、、满足，那么的值是（        ）.A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【解析】【分析】由题意确定出m，n，p，q的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：∵四个互不相同的正整数m，n，p，q，满足（4-m）（4-n）（4-p）（4-q）=9，∴满足题意可能为：4-m=1，4-n=-1，4-p=3，4-q=-3，解得：m=3，n=5，p=1，q=7，则m+n+p+q=16．故选：C．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．计算：______．【答案】0【解析】【分析】根据有理数乘法运算、绝对值运算和有理数加法运算法则分别计算后求解即可【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查有理数的运算，涉及到加法运算、乘法运算及绝对值运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．7．计算：______________．【答案】2021【解析】【分析】根据有理数乘法的结合律求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了有理数乘法的结合律，熟知相关计算法则是解题的关键．8．若m，n互为相反数，互为倒数，则2（m+n）-3的值是________．【答案】−3【解析】【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0可得m＋n＝0，互为倒数的两个数的积等于1可得ab＝1，然后进行计算即可得解．【详解】解：∵m，n互为相反数，∴m＋n＝0，∵a，b互为倒数，∴ab＝1，∴2（m＋n）−3ab＝2×0−3×1＝−3．故答案为：−3．【点睛】本题考查了代数式求值，主要利用了相反数与倒数的定义，比较简单．9．李阿姨的月工资是5000元，扣除3500元免税项目后的部分需要按3%的税率缴纳个人所得税，她应缴个人所得税______元．【答案】45【解析】【分析】扣除3500元个税免征额后的部分是5000-3500=1500元，也就是说应缴纳税额部分应是1500元，然后代入关系式：应缴纳税额部分×税率=个人所得税，计算即可．【详解】(5000-3500)×3%=1500×3%=45(元)答：她应缴个人所得税45元．故答案为：45．【点睛】本题考查了有理数乘法的实际应用，解答的关键是掌握关系式：应缴纳税额部分×税率=个人所得税．10．数学课上，老师给同学们布置了一个探究任务：请你观察各组数据的特征，算一算，结合三组数据的变化规律，提出一个合理的猜想：________【答案】当两数和相等时，两数的差越小，其乘积越大【解析】【分析】分别根据加减乘法计算三组数据，进而找到规律，提出猜想即可【详解】解：计算如下表，猜想，当两数和相等时，两数的差越小，其乘积越大，（两数的差越大，其乘积越小）故答案为：当两数和相等时，两数的差越小，其乘积越大【点睛】本题考查了有理数的加、减、乘法运算，解题的关键是根据运算结果找到规律．11．计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)6(4)0(5)(6)【解析】【分析】依据法则“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0”计算解答．(1)＝ =；(2)＝=(3)= =6(4)＝0(5)=＝(6)=＝【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0” ．12．某汽车制造厂计划每周生产400辆新能源汽车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）：(1)本周实际产量与计划产量相比，是增加了还是减少了？是多少？(2)若生产此款新能源汽车每辆利润约为0.2万元，求本周该厂家生产车辆的总利润．【答案】(1)本周实际产量与计划产量相比，是增加了，本周的实际产量为428辆车(2)本周该厂家生产车辆的总利润是85.6万元【解析】【分析】（1）把这七天的数据相加，如果结果为正则实际产量产量增加，如果结果为负，则实际产量减小，然后根据计划每天产量为400辆求出实际产量即可；（2）根据利润=单件利润×数量求解即可．(1)解：∵，∴本周实际产量与计划产量相比，是增加了，∵，∴本周的实际产量为428辆车；(2)解：万元，∴本周该厂家生产车辆的总利润是85.6万元．【点睛】本题主要考查了有理数混合计算的应用，有理数乘法的应用，有理数加法的应用，正确理解题意是解题的关键．培优第二阶——拓展培优练1．下列说法中，正确的是（       ）A．一个数的相反数是负数 B．的倒数是C．整数和分数统称有理数 D．一个数的绝对值一定是正数【答案】C【解析】【分析】根据相反数、倒数、有理数的分类、绝对值等知识逐项判断即可求解．【详解】解：A.正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，故原选项错误，不合题意；B.0没有倒数，故原选项错误，不合题意；C. 整数和分数统称有理数，故原选项正确，符合题意；D.0的绝对值是0，故原选项错误，不合题意．故选：C【点睛】本题考查了相反数、倒数、有理数的分类、绝对值等知识，熟知相关知识并灵活运用是解题关键．2．果园里有桃树240棵，苹果树的棵数是桃树的，梨树的棵树是苹果树的，梨树有（       ）棵．A．144 B．180 C．60 D．96【答案】A【解析】【分析】根据题意，得到等量关系苹果树的棵数=桃树 ，梨树的棵树=苹果树 ，分别代入即可求解．【详解】 （棵）答：梨树有144棵．故选：A．【点睛】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，根据题意得出等量关系，列出算式并进行计算即可．3．观察下列图形，依此规律，则第2021个图形中所有三角形的个数是（　　）A．8081 B．8083 C．8085 D．8087【答案】A【解析】【分析】根据图形特点找出规律，第一个图形有1个三角形，以后每个图形比前面的图形多4个三角形，计算即可．【详解】解：由题意可知：第一个图形有1个三角形，第2个图形有5个三角形，第3个图形有9个三角形，……得到的规律是以后每个图形比前面的图形多4个三角形，∴第n个图形有：1+4（n-1）个三角形，∴第2021个图形有 ：1+4×（2021-1）=8081个三角形，故选：A．【点睛】本题考查了图形的规律，做题的关键是认真分析找出规律．4．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列式子：①a＜0＜ b；② |a|＜|b|；③ ab＞0；④b－a＞a＋b；⑤|a－b|＋a＝b．其中正确的个数是（       ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】【分析】根据数轴得出a＜0，b＞0可判断①；根据a离原点远，b离原点近可判断②；根据异号相乘可判断③；根据b-a＞0，a+b＜0，可判断④；根据绝对值的性质可判断⑤．【详解】解：∵a＜0，b＞0，∴a＜0＜ b，故①正确；∵a离原点远，b离原点近，∴|a|＞|b|，故②不正确；∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故③不正确；∵b-a＞0，a+b＜0，∴b－a＞a＋b；故④正确；∵a＜0，b＞0，∴a＜0，-b＜0，∴|a－b|=| a |+| b|=-a+b，∴|a－b|+ a =b，故⑤正确；∴其中正确的个数是3个．故选择B．【点睛】本题考查数轴上点的特征a＜0＜ b，，绝对值|a|＞|b|，利用数轴确定式子的符号，有理数运算，掌握数轴上点的特征的特征是解题关键．5．对于有理数a，b有下列几种说法：①若a＋b＝0，则a与b互为相反数，②若a＋b＜0，则a与b异号，③a＋b＞0，若a，b同号，则ab＞0，④若|a|＞|b|，且a，b同号，则a＋b＞0，其中正确的有（       ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】B【解析】【分析】①根据相反数的意义：只有符合不同的两个数互为相反数，进行判断即可．【详解】解：①若a+b=0，则a=-b，即a与b互为相反数，本选项正确；②若a+b＜0，若a=-1，b=-2，a+b=-3＜0，但是a与b同号，本选项错误；③a+b＞0，若a与b同号，只有同时为正，故ab＞0，本选项正确；④若|a|＞|b|，且a，b同号，例如a=-3，b=-2，满足条件，但是a+b=-5＜0，本选项错误．则正确的结论有2个．故选：B．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，其次运用各种运算法则进行运算，本题要求学生掌握判断一个命题的真假的方法，可利用举反例的方法说明一个命题为假命题，即满足题中的条件，但与结论矛盾．熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．若x的相反数是，，且，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据x的相反数是−3，|y|＝5，xy＜0，可求出x、y的值，再代入求值即可．【详解】∵x的相反数是，∴，∵，∴，又∵，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查绝对值、相反数以及有理数的加法和乘法，掌握有理数的加法、乘法的计算法则和绝对值、相反数的意义是解决问题的前提．7．________．【答案】-1【解析】【分析】根据有理数的乘法和乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：== =-1．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查了有理数的乘法和乘方，熟练掌握有理数的乘法和乘方运算法则是解答本题的关键．8．在－5，－3，－2，1，2，7这五个数中任取两数相乘，所得乘积中的最小数与最大数之差的绝对值为________．【答案】50【解析】【分析】根据有理数的乘法计算法则分别求出任取两个数所得乘积的最大值与最小值，由此求解即可．【详解】解：在－5，－3，－2，1，2，7这五个数中任取两数相乘，所得乘积中的最小数为，所得乘积中的最大数为，∴所得乘积中的最小数与最大数之差的绝对值为，故答案为：50．【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，有理数的减法和绝对值，解题的关键在于能够根据题意求出任取两个数所得乘积的最大值与最小值．9．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是____．【答案】-6【解析】【分析】先根据数据运算程序计算出第1-8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】解：第1次运算输出的结果为 ×2=1，第2次运算输出的结果为1−5=−4，第3次运算输出的结果为 ×(−4)=－2，第4次运算输出的结果为 ×(−2)=－1，第5次运算输出的结果为−1−5=－6，第6次运算输出的结果为×(−6)=－3，第7次运算输出的结果为−3−5=－8，第8次运算输出的结果为 ×(−8)=－4，归纳类推得：从第2次运算开始，输出结果是以−4，−2，−1，−6，−3，−8循环往复的，因为2021−1=336×6+4，所以第2021次运算输出的结果与第5次输出的结果相同，即为−6．故答案为：-6．【点睛】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．10．用表示，例1995！=，那么的个位数字是_____________．【答案】3【解析】【分析】先分别求出，，，，，的值，再归纳类推出规律，由此即可得．【详解】，，，，，，由此可知，的个位数字都是0（其中，且为整数），则的个位数字与的个位数字相同，因为，其个位数字是3，所以的个位数字是3，故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，正确发现运算的规律是解题关键．11．请根据图示的对话解答下列问题．(1)_____________，______________．(2)已知，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）根据只有符号不同的两个数互为相反数和积为1的两个数互为倒数求解即可；（2）根据非负数的性质求出的值，再求出它们乘积即可．(1)解：∵a与2互为相反数，∴，∵b与互为倒数，∴．故答案为：-2，-3．(2)∵，即，∴，，∴，，∴．【点睛】本题考查了相反数和倒数的定义，非负数的意义，解题关键是根据相反数、绝对值和非负数的性质求出字母的值．12．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动（n+1）（n为正整数）个单位得到点C，点A，B，C分别表示有理数a，b，c．（1）当n＝1时，①点A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能 ．A．在点A左侧或在A，B两点之间   B．在点C右侧或在A，B两点之间C．在点A左侧或在B，C两点之间   D．在点C右侧或在B，C两点之间②若这三个数的和与其中的一个数相等，求a的值；（2）将点C向右移动（n+2）个单位得到点D，点D表示有理数d，a、b、c、d四个数的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且a为整数，请用含n的代数式表示a．【答案】（1）①C；②a的值为或或；（2）当为奇数时，，当为偶数时，．【解析】【分析】（1）①把代入即可得出，，再根据、、三个数的乘积为正数即可选择出答案；②分三种情况逐个计算即可求得答案；（2）分两种情况讨论：当为奇数时；当为偶数时；用含的代数式表示即可．【详解】解：（1）①把代入即可得出，，、、三个数的乘积为正数，从而可得出原点在点左侧或在、两点之间．故选：C；②由题意可得：，，当时，则，当时，则，当时，则，综上所述：a的值为或或；（2）依据题意得，，，．、、、四个数的和与其中的两个数的和相等，∴这个四个数中有两个数互为相反数，又、、、这四个数的积为正数， ∴、为负数，、为正数，原点在之间，或或和，当时，由于，即，原点在、之间，不合题意舍去；当时，由于，原点在上，不合题意舍去，或，或，或；为整数，当为奇数时，，当为偶数时，．【点睛】本题考查了数轴的应用、有理数的乘法，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．培优第三阶——中考沙场点兵1．（2022·辽宁锦州·中考真题）的倒数是（       ）A． B． C． D．6【答案】A【解析】【分析】根据互为倒数两个数的乘积等于1进行解答即可得．【详解】解：的倒数是．故选A．【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．2．（2022·四川广安·中考真题）从百年前的“奥运三问”到今天的“双奥之城”，2022年中国与奥运再次牵手，2022年注定是不平凡的一年．数字2022的倒数是（　　）A．2022 B．﹣2022 C． D．【答案】D【解析】【分析】根据倒数的定义，即可求解．【详解】解：2022的倒数是．故选：D【点睛】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．3．（2022·贵州黔东南·中考真题）下列说法中，正确的是（       ）A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是【答案】C【解析】【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可．【详解】解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确       B. 2与互为倒数，故选项B不正确；       C. 0的相反数是0，故选项C正确；       D. 2的绝对值是2，故选项D不正确．故选C．【点睛】本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键．4．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（       ）①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③的倒数是2022．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义逐个判断即可．【详解】①－2022的相反数是2022，故此说法正确；②－2022的绝对值是2022，故此说法正确；③的倒数是2022，故此说法正确；正确的个数共3个；故选：A．【点睛】本题考查相反数、绝对值、倒数的含义，只有符号相反的两个数叫做互为相反数，数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，乘积为1的两个数互为倒数，熟知定义是解题的关键．5．（2022·山东泰安·中考真题）计算的结果是（       ）A．-3 B．3 C．-12 D．12【答案】B【解析】【分析】直接计算即可得到答案．【详解】==3故选：B．【点睛】本题考查有理数的乘法，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的知识．6．（2022·广西·中考真题）的倒数是（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据倒数的概念作答即可．【详解】的倒数是，故选：A．【点睛】本题考查了倒数的概念，即乘积为1的两个数互为倒数，熟练掌握知识点是解题的关键．7．（2022·广西贵港·中考真题）的倒数是（       ）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据倒数的定义求解即可．【详解】解：-2的倒数是，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数，是解题的关键．8．（2021·湖南娄底·中考真题）2021的倒数是（       ）A． B．－ C．2021 D．﹣2021【答案】A【解析】【分析】根据倒数的概念，乘积为1的两个数互为倒数．【详解】解：2021的倒数是，故选A．【点睛】本题考查了求一个数的倒数，理解倒数的概念是解题的关键．9．（2020·湖南张家界·中考真题）的倒数是（       ）A．-2020 B． C． D．2020【答案】D【解析】【分析】根据两数之积等于1，这两数互为倒数可得答案．【详解】解：∵，∴的倒数是2020，故选：D．【点睛】此题主要考查了倒数，解题的关键是掌握倒数定义．10．（2020·江苏镇江·中考真题）的倒数等于________．【答案】【解析】【分析】利用倒数的定义分析得出答案．【详解】解：的倒数等于，故答案为：．【点睛】本题考查了倒数的定义，正确把握相关定义是解题的关键．11．（2021·广西百色·中考真题）的倒数是________．【答案】【解析】【分析】根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数解答即可．【详解】解：因为互为倒数的两个数的乘积为1，所以的倒数是．故答案为：．【点睛】本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是要掌握倒数的定义．第一组数据；；；；；第二组数据；；；；；第三组数据；；；；．第一组数据=10；=10；=10；=10；=10；第二组数据=8；=6；=4；=2；=0；第三组数据=9；=16；=21；=24；=25．星期一二三四五六日增减（辆）+15+17-2+11+14-15-12