人教版九年级上册23.1 图形的旋转课后作业题

这是一份人教版九年级上册23.1 图形的旋转课后作业题

23.1图形的旋转课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．下列现象中属于旋转的是（    ）A．汽车在急刹车时向前滑动 B．拧开水龙头C．雪橇在雪地里滑动 D．电梯的上升与下降【答案】B【详解】A．汽车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误；B．拧开水龙头属于旋转，故此选项正确；C．雪橇在雪地里滑动不是旋转，故此选项错误；D．电梯的上升与下降不是旋转，故此选项错误；故选：B．2．如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（        ）A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形【答案】C【详解】解：A．正三角形的最小旋转角是120°，故此选项不合题意；B．正方形的旋转角度是90°，故此选项不合题意；C．正六边形的最小旋转角是60°，故此选项符合题意；D．正八边形的最小旋转角是45°，故此选项不合题意；故选：C．3．如图，将一个含角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点C，A，在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（        ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解： ∵是由旋转得到.故选：D．4．如图，将绕着点O顺时针旋转，得到（点C落在外），若，，则最小旋转角度是（        ）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【详解】∵∠AOB= 30°，∠BOC = 10°，∴∠AOC=∠AOB+∠COB = 30°+ 10°= 40°∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，∴最小旋转角为∠AOC = 40°．故选： C．5．以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点Q的坐标为（        ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点Q的坐标为．故选：C．6．如图，点D为等边△ABC的边AB上一点，且ADAB，将△ACD绕点C逆时针旋转60°，得到△BCE，连接DE交BC于点F，则下列结论不成立的是（        ）A．BE∥AC B．△CDE为等边三角形C．∠BFD＝∠ADC D．DF＝4EF【答案】D【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，由旋转的性质得：∠DCE＝60°，△ACD≌△BCE，AC＝BC，AD＝BE，∠A＝∠ABE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∠A＋∠ABE＝180°，∴BE∥AC，故A，B结论正确，但不符合题意；∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴∠ABC＝∠CDF＝60°，∵∠BFD＝∠CDF＋∠DCF＝60°＋∠DCF，∠ADC＝∠ABC＋∠DCF＝60°＋∠DCF，∴∠BFD＝∠ADC，故C结论正确，但不符合题意；故选：D．二、填空题7．如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P1AC，则∠PAP1等于________度．【答案】60【详解】解：∵ △ABC是正三角形，∴，由旋转的性质可知，∠PAP1．故答案为：60．8．如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转______°后能与原来的图形重合．【答案】60【详解】解：由题意可知该六边形是正六边形，则可知正六边形每条边所对的圆心角为60°，所以该六边形绕点O至少旋转60°后能与原来的图形重合；故答案为60．9．在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为_______．【答案】（2，3）【详解】解：由图知A点的坐标为（-3，2），根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，如图，故A′的坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）．10．如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，△ABE绕正方形的中心经顺时针旋转后与△DAF重合，则∠DGE=______度．【答案】90【详解】解：∵△ABE绕正方形的中心经顺时针旋转后与△DAF重合，∴∠ADF=∠BAE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAF=90°，∴∠AFD+∠ADF=90°，∴∠AFD+∠BAE=90°，∵∠AFD+∠BAE+∠AGF=180°，　∴∠AGF=90°，∴∠DGE=∠AGF=90°，故答案为：90．三、解答题11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，把Rt△ABC绕点B逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上，若BC=8，AC=6，求DE及BD的长．【答案】DE的长为6，BD的长为10．【详解】解：∵∠C=90°，BC=8，AC=6，∴AB==10，∵把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，∴DE=AC=6，BD=AB=10．∴DE的长为6，BD的长为10．12．10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形(顶点是网格线的交点)．(1)画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A1B1C1；(2)画出△A1B1C1向下平移4个单位长度得到的△A2B2C2．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)解：如图，为所作；(2)如图，为所作；13．综合与探究【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，，，点D是边BC上一点，连接AD，将△ABD绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到△ACE．【操作探究】(1)试判断△ADE的形状，并说明理由；【深入探究】(2)希望小组受此启发，如图2，在线段CD上取一点F，使得，连接EF，发现EF和DF有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；(3)智慧小组在图2的基础上继续探究，发现CF，FD，DB三条线段也有一定的数量关系，请你直接写出当，时DF的长．【答案】(1)△ADE为等腰直角三角形，见解析；(2)，见解析；(3)【解析】(1)解：△ADE为等腰直角三角形， 证明：由旋转得，， ∵．∴．∴△ADE为等腰直角三角形；(2)解：． 证明： ∵，，∴．∴ 又∵，，∴△AFE≌△AFD（SAS），∴ ；(3)解：．由旋转得△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠B=∠ECA，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BCA=∠B=45°，∴∠ECF=∠BCA+∠ECA=90°，∴△ECF为直角三角形，∴,由（2）得，DF=EF，∴DF=．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，连接，若，，则的度数为（        ）A．25° B．30° C．28° D．32°【答案】C【详解】解：由旋转可知：，∴，∴，∴，∴．故选：C．2．如图，等边三角形ABC内一点P到三角形三个顶点的距离PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的大小是（        ）A．150° B．120° C．100° D．以上都不对【答案】A【详解】∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，如图，连接EP，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．故选：A．3．如图，已知等边三角形OAB，顶点，，将△OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，顶点A的坐标为（　　　）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，每4次一个循环，第2021次绕原点顺时针旋转结束时，相当于绕点顺时针旋转1次，，，等边三角形的边长为1，第2021次旋转结束时，顶点的坐标为，．故选：D．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，则第（6）个三角形的直角顶点的坐标是（        ）．A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵点A(−4,0)，B(0,3)，∴OB=3，OA=4，∴根据勾股定理得：．∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换，∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5=12个单位，∴三角形（6）和的状态一样，∴三角形（6）的直角顶点的横坐标为2×12=24，纵坐标为0，∴三角形（6）的直角顶点的坐标为（24，0）．故选C．5．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论是（      ）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④【答案】D【详解】解：正确的有①③④，理由是：∵在 中，AB=AC，∴，∵将绕点A顺时针旋转后，得到，∴，∴BF=DC，，，∵，，∴，∴，即∴①正确；在和中，∴，∴，即EA平分，∴③正确；∴EF=DE，∵将绕点A顺时针旋转90°后，得到，∴，BF=DC，∵，∴在中，由勾股定理得：∵BF=DC，EF=DE，∴∴④正确；根据条件，不能推出，故不能推出BE=DC，∴②错误；∴正确的有①③④；故选：D．6．如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（       ）A．2 B． C．3 D．【答案】C【详解】解：过点作于点，延长交于点，则，∵四边形是正方形，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，   又，∴，∵，，∴，∴，，∴，设，则，在中，由勾股定理得，，当时，有最小值为，∴的最小值为，故选：C二、填空题7．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是________．【答案】12【详解】将△BDM绕点D旋转120°得到△；∵△由△BDM旋转所得，∴DM=，BD=DC，BM=∠=∠BDM；∵∠BDC＝120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠CDN=120°-60°=60°，故∠+∠CDN=60°，即∠=60°；在△MDN和△中∶DM=，∠=∠MDN，DN=DN∴△MDN≌△；∴MN=；△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+=AM+AN+CN+=(AM+)+(AN+CN)=AB+AC；∵△ABC是边长为6，∴△AMN的周长=6+6=12．故答案为：128．如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．若，则三角形的面积为____________．【答案】【详解】解：∵三角形为等边三角形，∴，，∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，∴，，∴三角形PAQ为等边三角形，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，在中，，，，则有，，即有，∴为直角三角形，，∴．故答案为：6．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转90°，并将旋转后的图形放大，使，得到等腰直角三角形，……，依此规律，得到等腰直角三角形则点的坐标为________．【答案】【详解】解：由题意知，图形每旋转四次就回到原来的象限，且每旋转一次长度扩大3倍，∵2022÷4＝505……2，∴点B2022和B2在同一象限，且OB2022＝32023，∵三角形A2022OB2022是等腰直角三角形，∴点B2022的坐标为故答案为：．10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为8，则正方形ABCD的边长为_____．【答案】4【详解】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，在△FAE和△EAF′中, ，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，∵△ECF的周长为8，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=2BC=8，∴BC=4，即正方形的边长为4．故答案为：4．三、解答题11．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，，，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题．(1)请你计算图1中∠APB的度数．(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，，求∠APB的度数．【答案】(1)；(2)【解析】(1)将△APB逆时针旋转60°得到；∵由△APB旋转60°所得，∴，∴，，，，在中，，，∴为等边三角形，∴，，在中，，即，∴，∴，∴；(2)将绕A点顺时针旋转90°得，连接，∵由旋转所得，∴，∴，，，∠=90°， 在△中，，且∠=90°，∴，∴，∵，即，∴，∴．12．问题：如图1，在等边三角形ABC内，点P到顶点A、B、C的距离分别是3，4，5，求∠APB的度数？探究：由于PA、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP′处，连结P P′，这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出∠APB的度数．请你写出解答过程：应用：请你利用上面的方法解答：如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证：【答案】探究：∠APB=150°，应用：见解析【解析】探究：解：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，∴△BAP≌△CAP′，∴AB＝AC，AP＝AP′，∠BAP＝∠CAP′，∴∠BAC＝∠PAP′＝60°，∴△APP′是等边三角形，∴∠APP′＝60°，因为BPP′不一定在一条直线上，∴P′C＝PB＝4，PP′＝PA＝3，P′C＝PC＝5，∴∠PP′C＝90°，∴△PP′C是直角三角形，∴∠APB＝∠AP′C＝∠APP′+∠P′PC＝60°+90°＝150°，∴∠BPA＝150°；应用：证明：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．则△ACF≌△ABG．∴AG＝AF，BG＝CF，∠ABG＝∠ACF＝45°．∵∠BAC＝90°，∠GAF＝90°．∴∠GAE＝∠EAF＝45°，在△AEG和△AFE中，，∴△AEG≌△AFE（SAS）．∴EF＝EG，又∵∠GBE＝90°，∴BE2+BG2＝EG2，即BE2+CF2＝EF2．13．△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．【答案】(1) ，；(2)成立，理由见解析；(3)【解析】(1) ，，证明如下：在和中，，，，，，，，，，；(2)成立，理由如下：∵，∴，即，在和中，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；(3)如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H，由旋转性质可得：，，∵，∴，∵，且，∴，       ∴，∴，在中：，∵，∴，即，在和中，∵，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，   ∴， ∴，∴是直角三角形，在中，．培优第三阶——中考沙场点兵一、单选题1．（2022·上海·中考真题）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（      ）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，是的3倍，则可以旋转得到．A.B.C.D.观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合故选C．2．（2022·四川南充·中考真题）如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（        ）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，∴，∵由旋转可知，∴，故答案选：B．3．（2022·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点的对应点的坐标是（       ）A．(-2，3) B．(-3，2) C．(-2，4) D．(-3，3)【答案】A【解析】【分析】根据旋转的性质解答即可．【详解】解：∵线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，∴的对应点为，∴，∴旋转角为90°，∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的点的坐标为（-2，3），故选：A．4．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（     ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接，，，，是等边三角形， ，∵，，，，与的面积之和为．故选：C．5．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（        ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，∴∠B=∠BDC，∴，∴，∴，，故选：C．6．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（        ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN=∠B，而∠CAB不一定等于∠B，∴∠ACN不一定等于∠CAB，∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，∴∠BAC=∠MAN，∵AM=AN，AB=AC，∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，∴∠B=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；∵AM=AN，而AC不一定平分∠MAN，∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；故选：C．二、填空题7．（2022·广东广州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP' ，CP'．当点P' 落在边BC上时，∠PP'C的度数为________； 当线段CP' 的长度最小时，∠PP'C的度数为________【答案】     120°##120度     75°##75度【详解】解：由线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BP'可知，△BPP′为等边三角形，∴∠PP′B=60°，当点P' 落在边BC上时，∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°；将线段BA绕点B逆时针旋转60°，点A落在点E，连接BE，设EP′交BC于G点，如下图所示：则∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE，∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE，∴∠ABP=∠EBP′，且BA=BE，BP=BP′，∴△ABP≌△EBP′(SAS),∴AP=EP′，∠E=∠A=90°，由点P' 落在边BC上时，∠PP'C=120°可知，∠EGC=120°，∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°，∴△EBG于△P′CG均为30°、60°、90°直角三角形，设EG=x，BC=2y，则BG=2EG=2x，CG=BC-BG=2y-2x，GP′=CG=y-x，∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=BC，又已知AB=BC，∴EP′=AB，又由△ABP≌△EBP′知：AP=EP′，∴AB=AP，∴△ABP为等腰直角三角形，∴∠EP′B=∠APB=45°，∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°，当CP′⊥EF于H时，CP′有最小值，此时∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°，故答案为：120°，75°．8．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点的坐标为___________．【答案】【详解】解：如图：连接OB，，作⊥y轴∵是正方形，OA=2∴∠COB=45°，OB= ∵绕原点O逆时针旋转∴∠=75°∴∠=30°∵=OB=∴， ∴∵沿y轴方向向上平移1个单位长度∴故答案为：9．（2022·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．【答案】或【详解】如图，连接，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，，，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，，如图，在中，，在中，故答案为：或．10．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________．【答案】【详解】过B作于，过作轴于，∴，∴，由旋转可知，，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题11．（2022·山东临沂·中考真题）已知是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)大小不变，理由见解析；(3)，证明见解析【解析】(1)连接BD，是等边三角形，，点B，D关于直线AC对称，AC垂直平分BD，，，四边形ABCD是菱形；(2)当点Р在线段AC上的位置发生变化时，的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，，是等边三角形，，连接PB，过点P作交AB于点E，PF⊥AB于点F，则，，是等边三角形，，，，点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，PB = PD，∠DPA =∠BPA，PQ = PD，，，∠QPF -∠APF =∠BPF -∠EPF，即∠QPA = ∠BPE，∠DPQ =∠DPA - ∠QPA=∠BPA-∠BPE = ∠APE = 60°；(3)AQ= CP，证明如下：AC = AB，AP= AE，AC - AP = AB – AE，即CP= BE，AP = EP，PF⊥AB，AF = FE，PQ= PD，PF⊥AB，QF = BF， QF - AF = BF – EF，即AQ= BE，AQ= CP．12．（2022·四川凉山·中考真题）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，【解析】(1)解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为．(2)解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，设点的坐标为，则，由旋转的性质得：，，即，将点代入得：，解得或（舍去），当时，，所以点的坐标为．(3)解：抛物线的顶点的坐标为，则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，这时点落在点的位置，且，，即，恰好在对称轴直线上，如图，作点关于轴的对称点，连接，则，由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，由轴对称的性质得：，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，当时，，故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．13．（2021·四川德阳·中考真题）如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△AB1E1的位置，此时E、B1、E1三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE1的中点，连接MN、NB1．（1）求证：四边形MEB1N是平行四边形；（2）延长EE1交AD于点F，若EB1＝E1F，，判断△AE1F与△CB1E是否全等，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）全等，理由见解析【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵△AB1E1是△ABE旋转所得的，∴AE=AE1，∠AB1E1=∠AB1E=∠B=90°，∴B1是EE1的中点，∴EB1=EE1，∵M、N分别是AE和AE1的中点，∴MN∥EB1，MN=EE1，∴EB1=MN，∴四边形MEB1N为平行四边形，（2）△AE1F≌△CEB1，证明：连接FC，∵EB1=B1E1=E1F，∴=S△EAF，同理，=SFEC，∵=S△EB1C，∴S△EAF=S△FEC，∵AF∥EC，∴△AEF底边AF上的高和△FEC底边上的高相等．∴AF=EC．∵AF∥EC，∴∠AFE=∠FEC，在△AE1F和△CEB1中，，∴△AE1F≌△CEB1（SAS）．