人教版九年级上册24.3 正多边形和圆综合训练题

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24.3正多边形和圆课后培优练培优第一阶——基础过关练一、单选题1．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（        ）A．72° B．60° C．48° D．36°【答案】A【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为， 故选：A．2．如图，正六边形内接于⊙，正六边形的周长是12，则⊙的半径是（        ）A． B．2 C． D．【答案】B【详解】解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵正六边形的周长是12，∴BC=2，∴⊙O的半径是2，故选：B．3．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（        ）A．1 B．3 C． D．【答案】B【详解】如图，过A作AC⊥OB于C，∵圆的内接正十二边形的圆心角为=30°，∵OA=1，∴AC=OA=，∴S△OAB=×1×=，∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×=3，故选：B．4．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（　 　）A．30° B．36° C．45° D．72°【答案】B【详解】解：如图，连接OC，OD．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B5．先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（　 　）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由于圆内接正方形的边长与圆的半径的比为，内接正方形的内切圆的半径与正方形的边长的比为，即这样做一次后，圆的内接正方形的边长为×=1；做第二次后的正方形的边长为；依次类推可得：第n个正方形的边长是（）n-1，则做第7次后的圆的内接正方形的边长为．故选：A．6．正六边形的半径为，则该正六边形的边长是（    ）A． B．2 C．3 D．【答案】A【详解】解：如图，∵这个多边形为正六边形，∴这个多边形的一个内角的度数为，∴∠OAB=60°，∴∠AOG=30°，在中，，∴，∴故选A．二、填空题7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是______________       【答案】30°．【详解】在正六边形ABCDEF中，∠BCD=120°，∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB=（180°-120°）=30°，故答案为 30°．8．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为_________．【答案】十二【详解】解：如图，连接，，，，而，这个正多边形为正十二边形，故答案为：十二．9．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为_____°．【答案】132【详解】由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，故答案为：132．10．如图，是⊙O的弦，，交⊙O于点．连接，，．若是⊙O的内接正六边形的一边，则的度数为__________．【答案】【详解】解：∵AB是⊙O的内接正六边形的一边，∴，∵OA=OB，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=30°，∴∠ABC=∠AOC=15°，故答案为：15°．三、解答题11．如图，已知圆O内接正六边形的边长为，求这个正六边形的边心距n，面积S．【答案】，【详解】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：∴AH=HB，∠AOH=BOH，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，∴，∴，∴．12．如图，是的内接正五边形．求证：.【答案】证明见解析【详解】证明：∵是正五边形，∴.又∵，∴，∴，∴，∴.13．已知正六边形内接于，图中阴影部分的面积为，则的半径为多少？【答案】半径【详解】解：连接DO并延长，交BF于点G．∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴阴影部分为正三角形，设边长是a，则FG=a，DG=a，则面积是a×a=，即=，解得a=4，则DG=BD•sin60°=4×=6∴半径OD=DG=6×=4．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图1，∵ 为圆内接正三角形，∴ ，∵ ， ，∴ ，如图2，∵四边形 是圆内接正方形，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，解得： ，如图3，∵正六边形为圆内接正六边形，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 该三角形的三边长分别为 ，∵ ，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积为 故选：C2．图，已知正五边形内接于，连接，相交于点，则的度数（        ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图所示：∵五边形ABCDE为正五边形，∴BC=CD=DE，∠BCD=∠CDE=108°，∴∠CBD=∠CDB=∠CED=∠DCE==36°，∴∠BFC=∠BDC+∠DCE=72°．故选：B．3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（        ）A．8 B．10 C．12 D．15【答案】C【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=30°，∴n==12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故选：C．4．如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边AB作正方形ABCD，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转，使AB与正八边形的另一边重合，则正方形ABCD与正方形重叠部分的面积为（        ）A． B． C． D．【答案】A【详解】正八边形的内角，正方形绕点B顺时针旋转，使BC与正八边形的另一边重合，．．如解图，延长至点D，DC与相交于点E，．．∴正方形与正方形重叠部分的面积故选：A．5．如图，正六边形ABCDEF内接于，过点O作弦BC于点M，若的半径为4，则弦心距OM的长为（　　　）A． B． C．2 D．【答案】A【详解】解：如图，连接OB、OC．∵ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，OB=OC=4，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=OC=4，∵OM⊥BC，∴BM=CM=2，在Rt△OBM中，，故选：A．6．如图，是上的5等分点，连接，得到一个五角星图形和五边形．有下列3个结论：①，②，③．其中正确的结论是（        ）A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】B【详解】解：、、、、是上的5等分点，，，故①正确；、、、、是上的5等分点，的度数，，，；连接、、、、是上的5等分点，，，，，故②正确；连接，，则，，，，，，③错误．故选：B．二、填空题7．如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，则它的外接圆圆心的坐标是______．【答案】【详解】解：如图所示，连接PO，PA，过点P作PG⊥OA于点G，则，∵多边形为正六边形，∴，∵，∴为等边三角形，又∵PG⊥OA，∴PG平分，∴，又∵OA=6，∴，∴由勾股定理得：，∴的坐标是，故答案为：8．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为．如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则___________．【答案】【详解】解：如图，由题意，△8-△12=（S圆-S八边形）-（S圆-S十二边形）=S十二边形-S八边形=12××1×1×sin30°-8××1×1×sin45°=3-2．故答案为：3-2．9．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为__．【答案】九【详解】如图，设正多边形的外接圆为，连接，，，，而，这个正多边形为正九边形，故答案为：九．10．如图，作半径为a的⊙O的内接正方形ABCD，然后作正方形ABCD的内切圆，得第二个圆，再作第二个圆的内接正方形A1B1C1D1，又作正方形A1B1C1D1的内切圆，得第三个圆…，如此下去，则第n个圆的半径为_______．【答案】【详解】第一个圆的半径为：，即；第二个圆的半径为：，第三个圆的半径为：， 第个圆的半径为： ，故答案为：．三、解答题11．已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度数；（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）60°、90°；（2）【详解】解：（1）设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，解得，x＝30°，∴∠A、∠B分别为60°、90°；（2）连接AC，∵∠B＝90°，∴AC为圆的直径，AC＝＝5，△ABC的面积＝×3×4＝6，∠D＝90°，∵点D为的中点，∴AD＝CD＝AC＝，∴△ADC的面积＝，∴四边形ABCD的面积＝6+＝．12．如图所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB．求证：五边形AEBCD是正五边形．【答案】见解析【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°，即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE，∴ ，∴A，E，B，C，D是⊙O的五等分点，∴五边形AEBCD是正五边形．13．如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH＝120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM＝∠BMH．（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．【答案】（1）见解析；（2）猜想：FM＝MH．证明见解析．【详解】（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，∴每个内角均为120°．∵∠FMH＝120°，A、M、B在一条直线上，∴∠AFM+∠FMA＝∠FMA+∠BMH＝60°，∴∠AFM＝∠BMH．（2）解：猜想：FM＝MH．证明：①当点M与点A重合时，∠FMB＝120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM＝MH．②当点M与点A不重合时，如图，在AF上截取FP＝MB，连接PM．∵AF＝AB，FP＝MB，∴PA＝AM∵∠A＝120°，∴∠APM＝×（180°﹣120°）＝30°，有∠FPM＝150°，∵BQ平分∠CBN，∴∠MBQ＝120°+30°＝150°，∴∠FPM＝∠MBH，由（1）知∠PFM＝∠HMB，∴△FPM≌△MBH．∴FM＝MH．培优第三阶——中考沙场点兵一、单选题1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（        ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：∵正六边形内接于，∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，∴∠CME= ∠COE=60°，故选：D．2．（2022·四川雅安·中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（　 　）A．3 B． C． D．3【答案】C【详解】∵圆O的周长为，设圆的半径为R，∴∴R=3连接OC和OD，则OC=OD=3∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD=，∴△OCD是等边三角形，OG垂直平分CD，∴OC=OD=CD，∴故选 C 3．（2022·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（        ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，∴OP＝＝，∴A（1，），第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，∴4次一个循环，∵2022÷4＝505……2，∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），故选：B4．（2022·甘肃武威·中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（     ）A．2mm B． C． D．4mm【答案】D【详解】连接CF与AD交于点O，∵为正六边形，∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，∴△COD为等边三角形，∴CD=CO=DO=4mm，即正六边形的边长为4mm，故选：D．5．（2022·四川成都·中考真题）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（       ）A． B． C．3 D．【答案】C【详解】解：连接OB，OC，∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径为：3，∵∠BOC360°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝3，∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，故选：C．6．（2021·贵州安顺·中考真题）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（        ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，故选：A．二、填空题7．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，在正六边形中，连接，则____________度．【答案】30【详解】连接BE，交CF与点O，连接OA，在正六边形中，，，故答案为：30．8．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．【答案】12【详解】连接AO，如图，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°÷6=60°，∵多边形AHIJK是正五边形，∴∠AOH=360°÷5=72°，∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，故答案为：12．9．（2022·浙江丽水·中考真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是___________．【答案】【详解】解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO， 三个正六边形，O为原点， 同理： 三点共线，关于O对称， 故答案为：10．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．【答案】【详解】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得： ∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，由正六边形的性质可得：为等边三角形， 而 则 故答案为：【点睛】三、解答题11．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．(1)求的度数．(2)是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．【答案】(1)；(2)是正三角形，理由见解析；(3)【解析】(1)解：∵正五边形．∴，∴，∵，∴(优弧所对圆心角)，∴；(2)解：是正三角形，理由如下：连接，由作图知：,∵，∴，∴是正三角形，∴，∴，同理，∴，即，∴是正三角形；(3)∵是正三角形，∴．∵，∴，∵，∴，∴．12．（2020·四川雅安·中考真题）如图，四边形内接于圆，，对角线平分．（1）求证：是等边三角形；（2）过点作交的延长线于点，若，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）；【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠ADC=120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB=60°，∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，∴△ABC是等边三角形；（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD=90°∵∠ADC=120°，∴∠ADM=60°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD=1，AM=，∵CD=3，∴CM=CD+DE=1+3=4，∴S△ACD=CD-AM=×3×=，在Rt△AMC中，∠AMD=90°，∴AC=，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=，∴BN=，∴S△ABC=××=，∴四边形ABCD的面积=+=，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC=180°，∵∠ADC=120°，∴∠E=60°，∴∠E=BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB=∠BCD，在△EAB和△DCB中，，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.13．（2020·山东威海·中考真题）如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，，过点作，交于点求证：（1）；（2）为⊙O的切线．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，∴∠EAM＝∠EBC，∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM，∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE；（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，∵OB＝OC，EB＝EC，∴直线EO垂直平分BC，∴EO⊥BC，∵EF//BC，∴EO⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线．