初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件同步练习题

这是一份初中数学苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件同步练习题
1.5 全等三角形的判定(AAS) 知识清单全等三角形的判定3：角角边（AAS）文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在与中，1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．2.全等三角形对应边上的高也相等.课后培优练级练培优第一阶——基础过关练1.（2021秋•苏州期末）如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（　　）A．155° B．125° C．135° D．145°【分析】利用AAS证明△ACD≌△AEB即可得出答案．【解答】解：在△ACD和△AEB中，，∴△ACD≌△AEB（AAS），∴∠ABE＝∠ADC，∵∠CDE＝55°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣55°＝125°，∴∠ABE＝∠ADC＝125°，故选：B．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2.（2022•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（　　）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8 C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．【解答】解：A、已知AB、BC和BC的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；B、已知两角和一边，能画出唯一△ABC，故本选项符合题意；C、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC，∴不能画出△ABC；故本选项不符合题意；D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．3．（2022·重庆市育才中学八年级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，BE＝3cm，AD＝7cm，则DE的长是（　　）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【答案】C【分析】根据同角的余角相等，得∠CBE＝∠ACD，再利用AAS证明△ACD≌△CBE，得CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，进而求得DE．【详解】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠BEC＝90°，∠ADC＝90°∴∠CBE +∠BCE＝90°，∵∠ACB＝90°∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CBE＝∠ACD，在△ACD与△CBE中，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm，故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，本题证明△ACD≌△CBE是关键.4．（2022·四川南充·八年级期末）如图，点B，C，E在同一直线上，且，，，下列结论不一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直角三角形的性质得出∠A=∠2，∠1=∠E，根据全等三角形的判定定理推出△ABC≌△CDE，再逐个判断即可．【详解】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2，同理∠1=∠E，∵∠D=90°，∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，在△ABC和△CDE中， ，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴，∴选项A、选项B，选项C都正确；根据已知条件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所以不一定成立故选项D错误；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和直角三角形的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．5. （2021•覃塘区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充一个条件：　 　，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件，答案不唯一．【解答】解：∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝DB．在△ACE与△DBF中，∠AEC＝∠DFB、AC＝DB，所以添加∠A＝∠D可以使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．故答案是：∠A＝∠D．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．6.（2022•南昌期中）如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是　 　．【分析】证明△ABC≌△AED（AAS），得出∠BAC＝∠EAD，根据三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B＝∠E＝90°，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS），∴∠BAC＝∠EAD，∵∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+∠BAC＝80°；故答案为：80°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理；证明三角形全等是解题的关键．7．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，在ABC和CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，ABDE，求证：ABC≌CDE．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到，再根据全等三角形的判定证明即可．【详解】证明：∵，∴，在和△CDE中，，∴．【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．8.（2021•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DFE；（2）由“AAS”可证△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得结论．【解答】证明：（1）∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，，∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴点O为BF的中点．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．9．（2021•嘉定区期末）如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达A，B两地，两车行进的路线平行．那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？为什么？【分析】要判断A，B两地到路段MN的距离是否相等，可以由条件证明△AEM≌△BFN，再根据全等三角形的性质就可以的得出结论．【解答】解：A，B两地到路段MN的距离相等．理由：∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴∠AFN＝∠AEM＝90°．∵AM∥BN，∴∠M＝∠N．在△AEM和△BFN中，，∴△AEM≌△BFN（AAS），∴AE＝BF．∴A，B两地到路段MN的距离相等．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，点到直线的距离的理解，在解答时弄清判断三角形全等的条件是关键．10．（2022·天津蓟州·八年级期末）如图，已知相交于点O，ABCD．求证．【答案】见解析【分析】由ABCD推出，，由推出，再由 推出，最后由判定出即可证得．【详解】证明：∵ABCD∴，∵ 又∵，∴ ∵又∵， ∴在和中，∵   ∴（）∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理——，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．11．（2022春•温江区校级期中）如图，B，E，G，D在同一条直线上，AC∥EP，∠A＝∠F，AB＝DC．①求证：AB∥DC．②若DG＝6，GE＝2，求BE的长．【分析】①证明△ABG≌△CDG（AAS），可得∠B＝∠D，进而可以解决问题；②根据全等三角形的性质定理即可得到结论．【解答】①证明：∵AC∥EP，∴∠ACD＝∠F，∵∠A＝∠F，∴∠ACD＝∠A，在△ABG和△CDG中，，∴△ABG≌△CDG（AAS），∴∠B＝∠D，∴AB∥DC；②解：∵△ABG≌△CDG，∴BG＝DG＝6，∵GE＝2，∴BE＝BG﹣GE＝6﹣2＝4．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．12．（2021•肇源县期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可；（2）利用全等三角形的性质进行解答．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．13．（2021•西城区八年级期末）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED．（1）求证：BC＝CD；（2）连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD．【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△ECD，可得BC＝CD；（2）由等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠CDB，由平行线的性质和平角的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（AAS），∴BC＝CD；（2）如图，连接BD，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，又∵∠CBD+∠EBD＝180°，∴∠ABD＝∠EBD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．14．（2021•呼兰区期中）如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F．（1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数；（2）请直接写出线段BF、EF、DE三者间的数量关系．【分析】（1）证明△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，由∠AED＝90°可求出∠ADE的度数；（2）由△ABF≌△DAE可得BF＝AE，DE＝AF，则可得结论BF+EF＝DE．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠AED＝90°，∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝AD，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴∠ABF＝∠DAE，∵∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝90°﹣63°＝27°；（2）解：BF+EF＝DE．∵△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，DE＝AF，∴AF＝DE＝AE+EF＝BF+EF．【点评】本题考查了平行线的性质，直角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．培优第二阶——拓展培优练1．（2021·北京市师达中学八年级期中）如图，AE⊥AB且，BC⊥CD且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（       ）A．30 B．32 C．35 D．38【答案】B【分析】根据角的和差关系可得∠AEF=∠BAG，利用AAS可证明△AEF≌△BAG，可得AF=BG，EF=AG，同理可证明△CDH≌△BCG，可得CH=BG，CG=DH，即可得出FH、AC的长，根据实线所围成的图形的面积=S梯形EFHD-2S△ABC，利用梯形和三角形面积公式即可得答案．【详解】∵AE⊥AB，EF⊥FH，∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠EAF=90°，∴∠AEF=∠BAG，在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG，∴AF=BG=2，EF=AG=5，同理可得：△CDH≌△BCG，∴CH=BG=2，CG=DH=3，∴FH=AF+AG+CG+CH=12，AC=AG+CG=8，∴实线所围成的图形的面积=S梯形EFHD-2S△ABC==32．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定定理是解题的关键．2.（2021•喀喇沁旗期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB＝DE．若BD＝8cm，则AC的长为　 　．【分析】由DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB＝90°，由∠ACB＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A＝90°，根据同角的余角相等，可得∠A＝∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝BC，AC＝BE，由E是BC的中点，得到BEBCBD＝4．【解答】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，∴∠ABC+∠DEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝∠DEB，在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（AAS），∴BD＝BC，AC＝BE，∵E是BC的中点，BD＝8cm，∴BEBCBD＝4cm．故答案为：4cm【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．3.（2022春•郫都区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．（1）证明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．【分析】（1）①由AAS证明△ABD与△ECB全等即可；②根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；（2）根据△ABD与△ECB全等的性质解答即可．【解答】（1）证明：①在△ABD与△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（AAS）；②由①得，△ABD≌△ECB，∴∠ADB＝∠EBC，∴AD∥BC；（2）解：∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC＝15，BE＝AD＝6，∴DE＝BD﹣BE＝15﹣6＝9．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．4．（2021•迁安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．（1）求证：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度数．【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠A＝∠DBE，再根据AAS证出△ABC≌△BDE，即可得出AB＝BD；（2）根据已知条件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE＝62°，再根据∠DBC＝34°，求出∠FBE的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∵∠C＝∠E，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AB＝BD；（2）∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠E＝28°，∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBE＝62°，∵∠DBC＝34°，∴∠FBE＝28°，∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的内角和定理，关键是根据AAS证出△ABC≌△BDE．5.（2021•沙坪坝区校级期中）如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证：（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，根据AAS可证明△ABD≌△CED；（2）证明△BDC≌△FDC（SAS），由全等三角形的性质得出∠BCD＝∠FCD．【解答】证明：（1）∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，∵BD是△ABC中AC边上的中线，∴AD＝CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（AAS）；（2）∵△ABD≌△CED，∴BD＝DE，又∵DE＝DF，∴BD＝DF，∵∠ADF＝∠CDE，∠CDE＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADF，∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠ADF，∴∠BDC＝∠FDC，在△BDC和△FDC中，，∴△BDC≌△FDC（SAS），∴∠BCD＝∠FCD，∴CA平分∠BCF．【点评】本题考查了平行线的性质，角分线的判定，中线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．6.（2021•华容县八年级期末）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求证：EF＝CF﹣BE．（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．【分析】（1）由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论；（2）如图2，同样由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论EF＝BE+CF．【解答】解：（1）证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，BE＝AF．∵EF＝AE﹣AF，∴EF＝CF﹣BE；（2）EF＝BE+CF 理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，BE＝AF．∵EF＝AE+AF，∴EF＝BE+CF．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用．解答时证明三角形全等是解答本题的关键．7.（2021•南关区校级期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．（1）求A'到BD的距离；（2）求A'到地面的距离．【分析】（1）作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；在△ACB和△BFA'中，，∴△ACB≌△BFA'（AAS）；∴A'F＝BC∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，∴CD＝AE＝1.5；∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），∴A'F＝1（m），即A'到BD的距离是1m．（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'∴BF＝AC＝1.5m，作A'H⊥DE，垂足为H．∵A'F∥DE，∴A'H＝FD，∴A'H＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1（m），【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.（2021•金东区期中）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．【分析】（1）①要证明△BDF≌△ADC，如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，可证BD＝AD，∠BDF＝∠ADC；在△ADC中，可证得∠AFE＝∠ACD，又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠ACD＝∠BFD；运用AAS，问题可证．②由△BDF≌△ADC可证得DF＝DC；∵AD＝AF+FD，∴AD＝AF+DC；由GF∥BD，∠ABC＝45°，可证得AF＝GF；于是问题可证．（2）∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴FG＝AF＝AD+DF；DF＝DC可通过证明△BDF≌△ADC得到，故可得：FG＝DC+AD．【解答】解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG；∴FG+DC＝FA+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA；又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS）；∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．【点评】本题综合考查了三角形全等的判定和性质；利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，注意掌握9．（2021•雁塔区校级月考）如图，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD＝CE，连DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G，试判断FG、BF、CG之间的数量关系，并说明理由．【分析】在BC上截取GH＝GC，可得△EHC是等腰三角形，进而得出AB∥EH，再证△BDF≌△HEF（AAS），通过线段之间的转化即可得出结论．【解答】解：FG＝BF+CG，理由如下：在BC上截取GH＝GC，连接EH，如图所示：∵EG⊥BC，GH＝GC，∴HE＝EC，∴∠EHC＝∠C，又AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠EHC＝∠ABC，∴EH∥AB，∴∠DBF＝∠EHF，∠D＝∠DEH，∵BD＝CE，∴HE＝BD，在△BDF和△HEF中，，∴△BDF≌△HEF（AAS），∴BF＝FH，∴FG＝FH+HG＝BF+GC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2022·北京平谷·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G．(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE＝∠BCD；(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据垂线的定义，等角的余角相等即可证明；（3）过点作于点，则，证明，结合已知条件EF＝EC，证明，即可得到．(1)如图所示，(2)，，．，，，即∠CAE＝∠BCD．(3)，理由如下，如图，过点作于点，则，由（2）可知，，，．又，，．，，又，，．【点睛】本题考查了画垂线，线段，等角的余角相等，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．培优第三阶——中考沙场点兵1．（2022·云南·中考真题）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（       ）A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE【答案】D【分析】根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∵OB平分∠AOC∴∠AOB=∠BOC当△DOE≌△FOE时，可得以下结论：OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确；B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确；C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确；D答案中，若∠ODE=∠OFE，在△DOE和△FOE中， ∴△DOE≌△FOE（AAS）∴D答案正确．故选：D．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．2．（2022·四川·会东县参鱼中学模拟预测）如图，，要使．则添加的一个条件不能是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可得．【详解】解：在和中，∴无法证明，选项A说法错误，符合题意；在和中，∴（AAS），选项B说法正确，不符合题意；在和中，∴（ASA），选项C说法正确，不符合题意；在和中，∴（AAS），选项D说法正确，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定．3．（2022·安徽滁州·二模）如图，OC为∠AOB的角平分线，点P是OC上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F为OC上另一点，连接DF，EF，则下列结论：①OD＝OE；②DF＝FE； ③∠DFO＝∠EFO；④S△DFP＝S△EFP，正确的个数为（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】证明△ODP≌△OEP（AAS），由全等三角形的性质可推出OD=OE，证明△DPF≌△EPF（SAS），由全等三角形的性质可推出DF=EF．∠DFP=∠EFP，S△DFP=S△EFP，则可得出答案．【详解】解：①∵OC平分∠AOB， ∴∠DOP=∠EOP， ∵PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， ∴∠ODP=∠OEP=90°， ∵OP=OP， ∴△ODP≌△OEP（AAS）， ∴OD=OE． 故①正确； ②∵△ODP≌△OEP， ∴PD=PE，∠OPD=∠OPE， ∴∠DPF=∠EPF， ∵PF=PF， ∴△DPF≌△EPF（SAS）， ∴DF=EF． 故②正确； ③∵△DPF≌△EPF， ∴∠DFO=∠EFO， 故③正确； ④∵△DPF≌△EPF， ∴S△DFP=S△EFP， 故④正确． 故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（2022·安徽芜湖·中考模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=EC，由EC-EH，即AE-EH即可求出HC的长．【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEH=90°，∵∠AHE=∠CHD，∴∠BAD=∠BCE，∵在△HEA和△BEC中，∠BAD＝∠BCE，∠AEH＝∠BEC＝90°，EH＝EB，∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE=EC=4，则CH=EC-EH=AE-EH=4-3=1．故选A.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．5．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，已知，，请你添加一个条件________，使．【答案】或或【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．【详解】解：∵，∴，∵，∴当添加时，根据可判断；当添加时，根据可判断；当添加时，根据可判断．故答案为：或或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法（一般三角形全等的判定有：、、、共四种；直角三角形全等的判定有：、、、、共五种）是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．6．（2022·黑龙江佳木斯·三模）如图，在中，，于点E，于点D，请你添加一个条件__________，使（填一个即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】两个三角形全等已具备的条件是：，，根据三角形全等的判定方法即可确定添加的条件．【详解】解：添加的条件是，，，， ，， ，在和中，，．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．7．（2022·四川成都·二模）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________．【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【详解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠CFA=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．又∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°．∴∠EBA=∠CAF．在△AEB和△CFA中∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△AEB≌△CFA．∴AE=CF，BE=AF．∴AE+AF=BE+CF．∴EF=BE+CF．∵，∴；故答案为：7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等．8．（2022·贵州铜仁·二模）如图，已知∠1＝∠2，AB＝AD，请添加一个条件，使△ABC≌△ADE，并加以证明．(1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）；(2)写出证明过程．【答案】(1)∠ACB=∠AED或AE=AC或∠D=∠B（任选一个即可）．．(2)证明见解析【分析】由∠1=∠2，可证，然后结合已知条件，根据全等三角形判定定理AAS，SAS，ASA即可得出证明△ABC≌△ADE的条件．此题开放性较强，答案不唯一．(1)解：添加的条件可以为：∠ACB=∠AED或AE=AC或∠D=∠B（任选一个即可）．(2)证明：∵ ∠2+∠BAE=∠BAE+∠1 ，即 又∵AB=AD， ∴添加：∠ACB=∠AED， 则△ABC≌△ADE（AAS）．【点睛】本题主要考查学生对全等三角形的判定理解和掌握．解答此题的关键是判定方法确定添加的条件．9．（2022·贵州贵阳·模拟预测）如图，分别过点C，B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E，F．(1)求证：BF＝CE；(2)若△ACE的面积为4，△CED的面积为3，求△ABF的面积．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据垂线的性质得到∠CED=∠BFD=90°，根据中线的性质得到BD=CD，从而利用全等三角形的判定定理推出△CED≌△BFD，进而根据全等三角形的性质进行证明即可；（2）根据三角形中线的性质得到S△ABD=S△ACD，再由全等三角形的性质得到S△BDF=S△CED，从而结合图形利用三角形面积之间的关系求解即可．（1）∵CE⊥AD，BF⊥AF，∴∠CED＝∠BFD＝90°，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△CED和△BFD中，∴△CED≌△BFD（AAS），∴BF＝CE（2）∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD，∵S△ACE＝4，S△CED＝3，∴S△ACD＝S△ABD＝7，∵△BFD≌△CED，∴S△BDF＝S△CED＝3，∴S△ABF＝S△ABD＋S△BDF＝7＋3＝10【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，应熟练掌握全等三角形的判定定理及其相关性质，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找等量关系，与此同时结合三角形中线的性质进行求解．10．（2022·河北·模拟预测）如图，和都是直角三角形，， ，顶点在上，边经过点，点，在同侧，．（1）求证：：（2）若， ， ，求的长．【答案】（1）见解析；（2）13【分析】（1）根据全等三角形的判定方法解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵，，∴，．∴．又，，∴（AAS）．（2）由，得，．若，，则，，而，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，确定用AAS定理进行证明是关键．11．（2022·江苏镇江·模拟预测）如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．(1)求证：△ABE≌△CAF；(2)若CF＝5，BE＝2，求EF的长．【答案】(1)见解析(2)EF的长为3．【分析】（1）由BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F得∠AEB=∠CFA=90°，而∠BAC=90°，根据同角的余角相等可证明∠B=∠FAC，还有AB=CA，即可证明△ABE≌△CAF；（2）由△ABE≌△CAF，根据全等三角形的性质即可求解．(1)证明：∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，∴∠AEB=∠CFA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠B=∠FAC=90°-∠BAE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS）；(2)解：∵△ABE≌△CAF，CF=5，BE=2，∴AF=BE=2，AE= CF=5，∴EF=AE-AF=5-2=3，∴EF的长为3．【点睛】此题考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确理解与运用全等三角形的判定定理是解题的关键．12．（2022·北京石景山·一模）如图，△ACB中，，，D为边BC上一点（不与点C重合），，点E在AD的延长线上，且，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F．(1)依题意补全图形；(2)求证：；(3)用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据题目步骤作图即可；（2）过E作EM⊥BC于M，先由中线倍长证明，得到，再证明，得到；（3）由（2）中全等可得到，即可推理出．(1)依题意补全图形如下：(2)过E作EM⊥BC于M在和中∴(AAS)∴∵∴∵BE⊥BF∴在和中∴ (ASA)，∴(3)，证明如下：   由（2）得，∴，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是根据倍长中线模型作垂直构造全等．