初中数学苏科版八年级上册4.2 立方根习题

这是一份初中数学苏科版八年级上册4.2 立方根习题

4.2 立方根 知识清单立方根的定义1、如果一个数x的立方等于a ，即=a，那么这个数x就叫做a的立方根，即x=。2、立方与立方根的关系：若有x3=a成立，则a是x的立方，x就是a的立方根。注：任何数均有立方根，立方根是唯一的；任何数不一定有平方根，平方根是不唯一的。立方根的性质： 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.开立方的概念：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数注：正数的立方根大于负数的立方根，0是介于两者之间。课后培优练级练培优第一阶——基础过关练1．（2022·河北邢台·八年级期末）表示（       ）A．5的负立方根 B．的立方根 C．5的立方根的相反数 D．的相反数【答案】C【分析】根据题意可知，表示5的立方根的相反数即可求解．【详解】解：表示5的立方根的相反数 故选C【点睛】本题考查了立方根，掌握立方根的表示方法是解题的关键．2．（2022·内蒙古通辽·七年级期中）下列语句正确的是（       ）A．的立方根是2 B．－3是27的立方根C．的立方根是 D．（－1）2的立方根是－1【答案】A【分析】根据算术平方根、立方根的定义逐项判断即可得．【详解】解：A、的立方根是2，则此项正确，符合题意；B、是的立方根，则此项错误，不符合题意；C、的立方根是，则此项错误，不符合题意；D、的立方根是1，则此项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握立方根的求法是解题关键．3．（2022•仓山区八年级期中）如果﹣a是b的立方根，那么下列结论正确的是（　　）A．a是﹣b的立方根 B．a是b的立方根 C．﹣a是﹣b的立方根 D．±a都是b的立方根【解题思路】根据立方根的定义推导即可得出结论．【解答过程】解：根据题意得：（﹣a）3＝b，∴﹣a3＝b，∴a3＝﹣b，∴a是﹣b的立方根，4．（2022•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝　 　，b＝　 　．【解题思路】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．【解答过程】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，∴a＝﹣2020；又∵n的平方根是2020和b，∴b＝﹣2020．故答案为：﹣2020，﹣2020．5．（2022·上海七年级期中）的四次方根是__________．【答案】【分析】根据分数指数幂的定义直接求解即可【详解】解：∵∴的四次方根是：故答案为：【点睛】本题考查开方运算的概念，乘方与开方的关系，熟练进行乘方的计算是关键6．（2022·全国·七年级课时练习）求下列各式的值或x.（1）； （2）； （3）； （4）【答案】(1) ;(2) ;(3) ;(4)x=-6【详解】试题分析：（1）根据题意，先把带分数化为假分数，然后再根据立方根的意义求解即可；（2）先计算被开方数，然后根据立方根的意义求解；（3）通过移项，系数化为1，再利用立方根求解即可；（4）把x+3看做一个整体，然后移项后利用立方根求解.试题解析：（1）（2）（3）（4）7．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·七年级期末）已知m﹣15的平方根是±2，，求m+n的算术平方根．【答案】5【分析】根据平方根的性质求出m，在根据立方根的性质求出n，代入计算即可；【详解】解：∵m﹣15的平方根是±2，∴m﹣15＝（±2）2，∴m＝19，∵，∴3+4n＝27，∴n＝6，∴m+n的算术平方根为，答：m+n的算术平方根为5．【点睛】本题主要考查了平方根的计算、立方根的计算和算术平方根的计算，准确计算是解题的关键．8．（2022·江西·新余四中七年级期中）已知：和是a的两个不同的平方根，是a的立方根．(1)求x，y，a的值；(2)求的平方根．【答案】(1)x=-2，y=1，a=64；(2)1-4x的平方根为．【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出x的值，再求出a，然后根据立方根的定义求出y即可； （2）先求出1-4x，再根据平方根的定义解答．(1)解：由题意得：（x-6）+（3x+14）=0， 解得，x=-2， 所以，a=（x-6）2=64； 又∵2y+2是a的立方根， ∴2y+2==4， ∴y=1， 即x=-2，y=1，a=64；(2)由（1）知：x=-2， 所以，1-4x=1-4×（-2）=9， 所以，， 即：1-4x的平方根为．【点睛】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意准确计算．9．（2022·安徽六安·七年级期中）把三个半径分别是3，4，5的铅球熔化后做一个更大的铅球，这个大铅球的半径是多少?（球的体积公式是，其中R是球的半径．）【答案】大铅球的半径是6．【分析】求出半径分别是3，4，5的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可．【详解】解：设这个大铅球的半径为r，由题意可得，即，所以r==6．大铅球的半径是6．【点睛】本题考查了立方根的应用，熟记立方根的定义是解答本题的关键．10．（2022·山东八年级阶段练习）求下列各式中的x的值．（1）； （2）； （3）； （4）．【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）．【分析】（1）利用平方根解方程即可得；（2）方程两边同除以3得，再利用平方根解方程即可得；（3）利用立方根解方程即可得；（4）先将方程变形为，再利用立方根解方程即可得．【详解】解：（1），；（2），方程两边同除以3，得，或，或；（3），，；（4），，，．【点睛】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．11.（2022.重庆市八年级期中）某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2=,其中d(km)是雷雨区域的直径.(1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间?(2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)?【解答】解：(1)当d＝9时，则t2＝，因此t＝＝0.9.答：如果雷雨区域的直径为9km，那么这场雷雨大约能持续0.9h.(2)当t＝1时，则＝12，因此d＝≈9.65≈9.7.答：如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是9.7km.培优第二阶——拓展培优练1．（2022·海南·儋州川绵中学八年级阶段练习）下列语句中正确的是（       ）A．负数没有立方根 B．8的立方根是C．立方根等于本身的数是 D．【答案】D【分析】根据立方根的性质解答．【详解】解：A. 负数有立方根，故该项不符合题意；B. 8的立方根是2，故该项不符合题意；C. 立方根等于本身的数是和0，故该项不符合题意；       D. ，故该项不符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了立方根的性质，正数的立方根还是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是0，熟记性质是解题的关键．2．（2022·江苏·八年级期末）若，则与的关系是（ ）A． B．与相等 C．与互为相反数 D．【答案】C【分析】根据立方根的意义和性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．则．所以与互为相反数，由此解决问题．【详解】解：，，与的关系是互为相反数（或，或．故选：C．【点睛】此题考查了立方根．解题的关键是得到这一步．3．（2022·河北省初二期中）一个自然数的立方根为a，则下一个自然数的立方根是（　　）A．a+1 B． C． D．a3+1【答案】C【分析】首先根据立方根的定义求得这个自然数，即可求解．【解析】解：根据题意得：这个自然数为a3，∴它下一个自然数的立方根是．故选：C．【点睛】此题主要考查了立方根的定义，理解定义是关键．4．（2022福建漳州市·八年级期中）按照下列程序进行计算，最后输出的答案是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据程序图即可列出代数式；【详解】解：根据题意得：最后输出的答案是；故选：B【点睛】本题考查了利用流程图列代数式，掌握平方和平方根的定义是解题的关键5．（2022·湖南益阳·八年级期末）下列各数，立方根一定是负数的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数，结合四个选项即可得出结论．【详解】解：A．当时，，立方根不是负数，故本选项不符合题意；B．当a=0时，=0，立方根不是负数，故本选项不符合题意；C．当a为任意数时，则，所以立方根一定是负数，故本选项符合题意．C．当时，，则，立方根不是负数，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查立方根，牢记“正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数”是解题关键．6．（2022·福建·莆田砺志学校七年级期中）若 ＝0.716，＝1.542，＝6.058,则的值是(          )A．716 B．154.2 C．605.8 D．71.6【答案】B【分析】根据被开方数每扩大1000位，它的立方根就扩大10位来计算即可．【详解】解：=154.2故选：B．【点睛】本题考查立方根的规律，掌握“被开方数每扩大1000位，它的立方根就扩大10位”是解题的关键．7.（2022·湖南·七年级期中）随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（          ）A．50 B．60 C．70 D．40【答案】A【分析】根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，求出圆锥形土方的体积，即可求解．【详解】解：根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，，∴垃圾池的底面边长大约是米．故选：A【点睛】本题主要考查立方根的应用，明确题意，理解垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积是解题的关键．8．（2022·山东·日照七年级期末）的立方根是___________．【答案】【分析】根据立方根的定义进行计算即可．【详解】解：∵，∴的立方根是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了立方根的定义，先算出，是解题的关键．9．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期中）若，则___________．【答案】或或【分析】根据立方根定义计算即可．【详解】解：由，得，或或，或 或，经检验：或 或 符合题意．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．10．（2022·河南商丘·七年级期中）对于结论：当时．也成立．若将a看成的立方根，b看成的立方根．由此得出结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”.(1)举一个具体的例子进行验证；(2)若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根．【答案】(1)见解析 (2)1【分析】（1）举例，根据立方根的性质进行验证即可得；（2）先根据题中给的结论可得与互为相反数，由此建立方程可得的值，再根据平方根的性质可得，由此可得的值，然后根据立方根的性质即可得．（1）解：举例：，则，此吋，即8与互为相反数，所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立．（2）解：∵和互为相反数，∴与互为相反数，∴，解得，∵的平方根是它本身，∴，解得，∴，∴的立方根是1．【点睛】本题考查了平方根与立方根、一元一次方程的应用等高频考点，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键．11．（2022·山西吕梁·七年级期中）综合与实践如图是一张面积为的正方形纸片．(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）(2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．【答案】(1) (2)图见解析；【分析】（1）根据算术平方根的意义求解即可；（2）根据立方根的意义求出正方体的边长，然后画出图形，再求出所用面积即五个正方形的面积．（1）解：正方形纸片的边长为：，故答案为：；（2）解：正方体的边长为：，平面展开图如图所示（阴影部分为剪去的部分），所用纸片面积为，【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，正方体的展开图，熟练掌握基础知识是解题的关键．12．（2022·江苏·八年级专题练习）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试．第一步：，，它的立方根是一个两位数．第二步：的个位数是9，．能确定的个位数是9．第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59而，可得．由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39．[解答问题]根据上面的材料解答下面的问题：（1）求110592的立方根，写出步骤．（2）填空：______．【答案】（1）110592的立方根是48，步骤见解析；（2）．【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可；（2）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．【详解】解：（1）第一步：，，，∴，∴能确定110592的立方根是个两位数．第二步：∵的个位数是2，，∴能确定110592的立方根的个位数是8．第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，而，则，可得，由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；（2）第一步：∵ ，，，∴，∴能确定85184的立方根是个两位数．第二步：∵的个位数是4，，∴能确定85184的立方根的个位数是4．第三步：如果划去85184后面的三位184得到数85，而，则，可得，由此能确定85184的立方根的十位数是4，因此85184的立方根是44，即．故答案为：44．【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键．培优第三阶——中考沙场点兵1．（2022·河北中考模拟）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数x为﹣512时，输出的数y的值是（ ）A．﹣ B． C．﹣2 D．2【答案】A【分析】把﹣512按给出的程序逐步计算即可．【详解】解：由题中所给的程序可知：把﹣512取立方根，结果为﹣8，∵﹣8是有理数，∴再取立方根为﹣2，∵﹣2是有理数，∴再取立方根为，∵是无理数，∴输出，故选：A．【点睛】题目主要考查了立方根，比较简单，解题的关键主要是弄清题目中所给的运算程序．2.（2022·北京·九年级期中）一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（　　）A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为偶数时，2的n次方根有n个【答案】C【分析】根据新定义的意义计算判断即可．【详解】解：∵16的4次方根是±2，∴A选项的结论不正确；∵32的5次方根是2，∴B选项的结论不正确；∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，∴C选项的结论正确；∵当n为偶数时，2的n次方根有2个，∴D选项的结论不正确．故选：C．【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键．3.（2022·河北保定·二模）若实数a的立方等于它本身，则a的值不可能是（       ）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】根据立方根的性质进行求解即可；【详解】考查立方根运算，实数范围内立方根等于本身的数有三个：，0，1；故选：D．【点睛】本题主要考查立方根的概念，掌握立方根的概念是解题的关键．4．（2022·贵州·铜仁市一模）计算的结果是（　　）A． B． C．±3 D．﹣3【答案】D【分析】代表﹣27的立方根，根据立方根的定义求解即可．【详解】解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴，故选：D【点睛】本题考查了立方根，关键在于熟记定义求解，注意符号．5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学一模）数轴上表示的点一定在（    ）A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段【答案】B【分析】根据立方根的性质将进行化简计算，再判断在数轴的位置即可．【详解】，在数轴上的第②段，故选：B．【点睛】本题考查了立方根的性质及利用数轴表示数，熟练掌握知识点是解题的关键．6．（2022·江苏·九年级专题练习）若，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据完全平方公式化简根号内的算式，即可求解．【详解】解：,,故选:B.【点睛】本题考查了求一个数的立方根，完全平方公式与平方差公式，正确的计算是解题的关键．7．（2021·福建福州·一模）若实数、满足：，．则的值是_____________．【答案】32【分析】根据算术平方根和立方根的性质得到a+b=4，a－b=8，进而直接代入求解即可．【详解】解：∵实数、满足：，，∴a+b=4，a－b=8，∴=4×8=32，故答案为：32．【点睛】本题考查了算式平方根、立方根、代数式求值，理解算式平方根和立方根的性质是解答的关键．8．（2022·江苏·九年级模拟）若与互为相反数，则a3+5a2﹣4的值为 _____．【答案】12【分析】先根据相反数的定义得+＝0，再利用立方根的意义进行整理，最后利用整体代入的方法即可求得答案 ．【详解】解：由题意得： ∴∴a+1＝﹣（a2﹣5）．∴a2+a＝4．∴a3+a2＝4a．∴a3＝﹣a2+4a．∴a3+5a2﹣4＝﹣a2+4a+5a2﹣4＝4a2+4a﹣4＝4（a2+a）﹣4＝4×4﹣4＝12．故答案为：12.【点睛】本题考查的相反数的应用，立方根应用，解题的关键是在于整理出所需形式，利用整体代入求解．9.（2022·甘肃庆阳·中考模拟）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题；(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位．(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___．(3)类比上述立方根运算：已知，则___，___．【答案】(1)右；一；(2)0.235；23.5；(3)19.13；191.3【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；（2）根据（1）的规律可得结论；（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位．故答案为：右，一；(2)∵2.35，∴0.235，23.5，故答案为：0.235，23.5；(3)在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位．∵1.913，∴19.13，191.3．故答案为：19.13，191.3．【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值．10．（2022·成都市·九年级模拟）【发现】①②③④……；(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数a，b，若，则；【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值．(1)，符合上述规律，故答案为：；(2)∵与的值互为相反数，∴+=0，∴，解得，代入中，解得，，∴．【点睛】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．11．（2022·山东九年级期中）本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索：（1）探索定义：填写下表：类比平方根和立方根，给四次方根下定义：（2）探究性质：①1的四次方根是　 　；②16的四次方根是　 　；③的四次方根是　 　；④12的四次方根是　 　；⑤0的四次方根是　 　；⑥﹣625　 　（填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：　 　．（3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个．【答案】（1）见解析；（2）①1；②2；③；④；⑤0；⑥没有；一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没四次方根．（3）类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．【分析】（1）计算即可求解；（2）根据平方根、立方根的意义和特征，类推四次方根的意义和特征，根据四次方根的意义求一个数的四次方根．（3）用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．【详解】解：（1）填写表格如下：（2）①1的四次方根是：1；②16的四次方根是：2；③的四次方根是：；④12的四次方根是：；⑤0的四次方根是：0；⑥﹣625没有（填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根．（3）拓展应用：在探索过程中，用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、方根的意义、特征，解题的关键是熟练掌握方根的意义．依据意义正确的计算是重要的环节．b0.0040964.0964096409600040960000000.161.6161601600平方根立方根定义一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．运算求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算．求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算．性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．表示方法正数a的平方根可以表示为“±”．一个数a的立方根可以表示为“”．x411681xx411681x123