【培优分级练】苏科版数学八年级上册 第一次月考押题预测卷（考试范围：第1-2章）（含解析）

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第一次月考押题预测卷（考试范围：第1-2章）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·四川成都·八年级期末）2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，北京是唯一举办过夏季和冬季奥运会的城市，下列各图是选自北京冬奥会的图案，其中是轴对称图形的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A．不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选项不符合题意；B．不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选项不符合题意；C．不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选项不符合题意；D．能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2022陕西八年级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（       ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三线合一)∴DC=cm，∵∠E = 30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故选：B．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．3．（2022·广东·八年级专题练习）若等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则其腰长为（       ）A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或9cm【答案】C【分析】设这个等腰三角形的腰长为，如图（见解析），是等腰三角形，底边，为腰上的中线，分①和②两种情况，建立方程，解方程求出的值，再利用三角形的三边关系进行分析即可得．【详解】解：设这个等腰三角形的腰长为，如图，是等腰三角形，底边，为腰上的中线，则，，①当时，则，解得，此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系，符合题意；②当时，则，解得，此时等腰三角形的三边长分别为，不满足三角形的三边关系，舍去；综上，这个等腰三角形的腰长为，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确分两种情况讨论是解题关键．4．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，在方格的格点中找出符合条件的P点（不与点A，B，C重合），则点P有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．【详解】解：要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P2，P3三个．故选:C．【点睛】此题考查全等三角形的判定，利用全等三角形的判定进行确定点P的位置是解题的关键．5．（2021·江苏·苏州中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，直线MN垂直平分边AC，分别交AB，AC于点D，E，则∠BCD＝（　　）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B【分析】由AB＝AC，∠A＝50°得出∠ACB＝65°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AD＝CD，推出∠ACD＝∠A＝50°，即可得出∠BCD＝15°．【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝∠B，∵直线MN垂直平分边AC，∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝50°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°，故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形以及垂直平分线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．6．（2021·江苏·苏州中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝40°，则∠EPF的度数为（       ）A．90° B．95° C．100° D．105°【答案】C【分析】根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：，，，，，为的中点，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，三角形外角定理，等腰三角形性质等知识，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．7．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是△ABC三条角平分线的交点，则等于（       ） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【答案】D【分析】由角平分线的性质知，点O到AB，BC，CA的距离相等，因此等于AB，BC，CA的长度比．【详解】解：∵点O是△ABC三条角平分线的交点，∴点O到AB，BC，CA的距离相等，设距离为h，∴．故选D．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．8．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用AAS得到三角形AEH与三角形EBC全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=EC，由EC-EH，即AE-EH即可求出HC的长．【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEH=90°，∵∠AHE=∠CHD，∴∠BAD=∠BCE，∵在△HEA和△BEC中，∠BAD＝∠BCE，∠AEH＝∠BEC＝90°，EH＝EB，∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE=EC=4，则CH=EC-EH=AE-EH=4-3=1．故选A.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．9．（2022·四川乐山·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则以下结论：①AD是∠BAC的平分线，②点D在AB的垂直平分线上，③AB=2AC，④=2，其中正确的个数是（　 　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC＝60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD＝∠CAD＝30°，利用∠B＝∠BAD得到DA＝DB，根据线段垂直平分线的判定可对②进行判断；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式可对③④进行判断．【详解】解：①由作法得，AD平分∠BAC，所以①正确，符合题意；②∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAD60°＝30°，∴∠B＝∠BAD，∴DA＝DB，∴点D在AB的垂直平分线上，所以②正确，符合题意；③∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，所以③正确，符合题意；④如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴CDDA，∴S△DACAC•CDAC•DA，S△DABAC•DBAC•DA，∴S△DAB＝2S△DAC，所以④正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2022·江苏·涟水县红日中学八年级阶段练习）如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（       ）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；③由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故③正确；②根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．【详解】①∵等边△ABC和等边△DCE，∴BC=AC,DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60∘，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE；故①正确；③∵△ACD≌△BCE(已证)，∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠ECD=60°(已证)，∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP与△BCQ中，∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°，∴△ACP≌△BCQ(ASA)，∴AP=BQ；故③正确；②∵△ACP≌△BCQ，∴PC=QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ=60∘，∴∠ACB=∠CPQ，∴PQ∥AE；故②正确；④∵AD=BE，AP=BQ，∴AD−AP=BE−BQ，即DP=QE，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，∴DE≠QE，则DP≠DE，故④错误；⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，故选D．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型的“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2022·浙江温州·一模）某电梯中一面镜子正对楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层号和电梯运行方向．当电梯中镜子如图显示时，电梯所在楼层号为______．【答案】15【分析】根据镜面成像的原理：左右相反，即可得到答案．【详解】解：由镜面成像的原理可知电梯所在的楼层为15，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了镜面成像，熟知镜面成像的原理是解题的关键．12．（2022·江苏·南京外国语学校八年级阶段练习）如图，点A在DE上，AC＝EC，AB＝3，BC＝4，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长度为________．【答案】3【分析】设AB与CD交于点O，然后证明△ACB≌△ECD即可得到答案．【详解】解：如图所示，设AB与CD交于点O，∵∠1=∠2=∠3，∠DOA=∠COB，∴∠B=∠D，∠BCA=∠2+∠ACD=∠3+∠ACD=∠DCE，又∵AC=EC，∴△ACB≌△ECD（AAS），∴DE=AB=3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．13．（2022·江苏镇江·八年级期末）如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在AB的延长线上，AD＝AC，BD＝BO，若∠ACB＝40°，则∠ABC的度数为 _____．【答案】 【分析】连接，，利用证明，则，根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角性质得出，最后根据角平分线的定义即可得解．【详解】解：连接，，平分，，在和中，，，，平分，，，，，，，平分，，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，解题的关键是利用证明．14．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）如图，△AFD和△CEB，点A、E、F、C同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④，选出三个条件可以证明的是______．（用序号表示，写出一种即可）．【答案】②③④（答案不唯一）【分析】据平行线的性质可得∠DFA=∠BEC，然后利用全等三角形的判定方法AAS，即可解答．【详解】解：选②③④，理由：∵，∴∠DFA=∠BEC，在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（AAS），故答案为：②③④（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．15．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，在中，，点在边上，的垂直平分线交于点，若，，则_________．【答案】4【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，证明△ABD≌△DCE，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝12，CE＝BD，进而得到结论．【详解】解：∵AB＝AC＝12，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°−∠B−∠ADB，∠CDE＝180°−∠ADE−∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝ED，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝12，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．16．（2022·吉林长春·七年级期末）如图，点P是∠AOB内一点，点P关于OA的对称点为C，点P关于OB的对称点为D，连接CD交OA、OB于点M和点N，连接PM、PN．若，则的大小为______度．【答案】80【分析】接OC、OP、OD，根据轴对称的性质得出∠OCP=∠OPC，∠OPD=∠ODP，∠MCP=∠MPC，∠NPD=∠NDP，∠COM=∠POM，∠POB=∠DOB，结合图形及三角形内角和定理求解即可．【详解】解：连接OC、OP、OD，∵点P关于OA的对称点为C，点P关于OB的对称点为D∴OC=OP=OD，CM=MP，PN=ND，∴∠OCP=∠OPC，∠OPD=∠ODP，∠MCP=∠MPC，∠NPD=∠NDP，∠COM=∠POM，∠POB=∠DOB，∴∠OCP-∠MCP=∠OPC-∠MPC ，∠OPD-∠NPD=∠ODP-∠NDP，即∠OCD=∠MPO，∠OPN=∠ODC ，∵∠AOB=50°，即∠AOP+∠POB=50°，∴∠COD=100°，∴∠OCD+∠ODC=80° ，∴∠MPN=∠MPO+∠NPO=∠OCD+∠ODC =80° ，故答案为：80．【点睛】题目主要考查轴对称的性质及三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质，找准各角之间的关系是解题关键．17．（湖北省孝感市孝南区2021-2022学年八年级上学期作业检测数学试题）如图，已知等边三角形ABC的边长为4，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为______．【答案】2【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFM≌△QCM，推出FM=CM，推出ME=AC即可．【详解】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFM=∠QCM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，∴△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ，在△PFM和△QCM中，，∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM=CM，∵AE=EF，∴EF+FM=AE+CM，∴AE+CM=ME=AC，∵AC=4，∴ME=2，故答案为：2．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．18．（2022·重庆南开中学八年级期末）如图，在锐角△ABC中，点D在线段CA的延长线上，BC边的垂直平分线分别交AB边于点E，交∠BAC的平分线于点M，交BAD的平分线于点N，过点C作AM的垂线分别交AM于点F，交MN于点O，过点O作OG⊥AB于点G，点G恰为AB边的中点，过点A作AI⊥BC于点I，交OC于点H，连接OA、OB，则下列结论中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正确的是________．（填序号）【答案】（1）（2）（4）（5）【分析】（1）使用角平分线的性质即可；（2）根据AB和BC的垂直平分线OG和MN可以得到OA=OB=OC，进而得到三组相等的角，再进行等量代换即可；（4）在和中，易得和公共边AH，再通过角度的计算和等量代换可以得到，即可证明；（5）根据垂直平分线的性质和（4）中的全等三角形可得BO=AH，通过角度的计算和等量代换可以证明和，进而可通过证明得到BE=AC，再进行等量代换即可；（3）易得OH=2OF，根据分析无法证明OF=OG，故可判断该项不符合题意．【详解】解：（1）∵AM平分，AN平分，∴，．∴．又∵根据图示可得，∴．故（1）符合题意．（2）∵G为AB中点，且，MN垂直平分BC，∴OA=OB=OC，．∴，，，．∴，．又∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．故（2）符合题意．（4）如图所示，延长CO交AB于点J．∵OB=OC，MN垂直平分BC，∴，．又∵，，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．又∵，，∴．∴．∴．∵AM平分，，∴，．又∵，，∴．∴．又∵，∴．∴．∴．在和中，∵∴．故（4）符合题意．（5）∵，，∴．又∵，，∴，．∴，．∴．∵，∴OA=HA．又∵OA=OB，∴BO=AH．∵，，，∴．又∵，∴．∴．在和中，∵∴．∴BE=AC．∴AE+AC=AE+BE=AB．∵G为AB中点，∴AB=2AG．∴AE+AC=2AG．故（5）符合题意．（3）∵，∴FO=FH．∴OH=2OF．∵，，∴．∵无法证明AF=AG和和，∴无法证明．∴OF和OG可能相等，也可能不相等．∴OH与2OG不一定相等．故（3）不符合题意．故答案为：（1）（2）（4）（5）．【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题关键，特别注意等量代换的使用．三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022·陕西渭南·八年级期末）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．(1)请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：______； 特征2：______．(2)请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）【答案】(1)都是轴对称图形，阴影部分面积都为4 (2)见解析【分析】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）根据两个特征解决问题即可．（1）解：这四个图案都具有的两个共同特征是：都是轴对称图形，阴影部分面积都为4．故答案为：都是轴对称图形，阴影部分面积都为4．（2）解：如图所示：【点睛】本题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．20．（2022·西城区·八年级期中）小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足．求作：线段OB上的一点C，使的周长等于线段的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到 ．对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到 ．若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．【答案】BC，DC，线段的垂直平分线的判定【分析】在线段BO上截取BD=OA，连接AD，作线段AD的垂直平分线交OD于点C，连接AC，△AOC即为所求．【详解】解：如图，△AOC即为所求．故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（2022·山东青岛·八年级期末）在①，②，③这三个条件中，选择其中一个补充在下面的问题中，并完成解答．问题：如图，在等腰中，，点在边上（不与点，点重合），点在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点．若______（填序号即可），则，并说明理由．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】①（②或③），理由见解析【分析】若选择条件①，则可根据“”可判断，从而得到；选择条件②，则可根据“ASA”可判断，从而得到；选择条件③，利用得到，再证明，则可根据“ASA”可判断，从而得到．【详解】证明：选择条件①的证明为：在和中，，，∴；选择条件②的证明为：在和中，，，∴；选择条件③的证明为：∵，∴，∵，∴，∴，即在和中，，，∴．故答案为：①（②或③）．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．灵活运用全等三角形的判定和性质是解题的关键．22．（2022·江苏·涟水县红日中学八年级阶段练习）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=∠C，BC=8cm，D为AB的中点．点P在线段BC上以3 cm /s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？【答案】（1）△BPD与△CQP全等，理由见解析；（2）当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．【分析】（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP；（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可．【详解】解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点．∴∠ABC=∠ACB=60°，BD=PC=5cm，在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）；（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=(8-3t)cm，CQ=xtcm，∵AB=AC，∴∠B=∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC且BP=CQ时，△BPD≌△CQP（SAS），则8-3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD=CQ，BP=PC时，△BPD≌△CPQ（SAS），则5=xt且3t=8-3t，解得：x=；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．23．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，已知，是的角平分线，于点，于点，连接交于点．(1)求证：垂直平分；(2)若，，求的面积．【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）先由角平分线性质得到DE=DF，再证(HL)，得到，即可由等腰三角形“三线合一”的性质得出结论；（2）由（1）知：=3，然后由求解．（1）证明：∵平分，，，∴，∵，∴(HL).∴，∴垂直平分.（2）解：由（1）知：=3，∴.【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．24．（2022·江苏·苏州中学八年级阶段练习）在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验：画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F．(1)若PE⊥OA，PF⊥OB（如图①），PE与PF相等吗？请说明理由；(2)把三角尺绕点P旋转（如图②），PE与PF相等吗？请说明理由；(3)探究：画∠AOB＝50°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝130°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图③），PE与PF相等吗？请说明理由．【答案】(1)相等，见解析(2)PE＝PF，见解析(3)PE＝PF，见解析【分析】(1)根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解；(2) PE＝PF，分两种情况，当PE⊥OA时，证明△PEO≌△PFO，可得PE＝PF；当PE与OA不垂直时，作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，先证明△POM≌△PON得PM＝PN，再证明△PME≌△PNF，可得PE＝PF；(3)在OF上取一点G，使OG＝OE，连接PG，先证明△POG≌△POE，可得∠OGP＝∠OEP，PG＝PE，再由同角的补角相等证明∠PGF＝∠PFG，则PG＝PF，得PE＝PF．(1)解：∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF；(2)解：PE＝PF，理由如下：当PE⊥OA时，如图①，∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO＝360°，∴∠PFO＝90°，∴∠PEO＝∠PFO，∵OP＝OP，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴PE＝PF；当PE与OA不垂直时，如图②，作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∠POM＝∠PON＝45°，OP＝OP，∴△POM≌△PON（AAS），∴PM＝PN，∵∠OMP＝∠ONP＝∠MON＝90°，且∠OMP+∠ONP+∠MON+∠MPN＝360°，∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠NPF＝90°﹣∠EPN，∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME≌△PNF（ASA），∴PE＝PF，综上所述，PE＝PF．(3)解：PE＝PF，理由如下：如图③，在OF上取一点G，使OG＝OE，连接PG，∵OC平分∠AOB，∴∠POG＝∠POE，∵OP＝OP，∴△POG≌△POE（SAS），∴∠OGP＝∠OEP，PG＝PE，∴∠PGF+∠OEP＝∠PGF+∠OGP＝180°，∴∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB+∠EPF+∠PFG+∠OEP＝360°，∴∠PFG+∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝PF，∴PE＝PF．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、角平分线的性质定理等，熟练掌握角平分线的性质定理，掌握角平分线上的点向角两边作垂线构造辅助线的方法是解决本题的关键．25．（2022·江苏·涟水县红日中学八年级阶段练习）已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE，（1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：△ADC≌△CEB；（2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED＝BE﹣AD；（3）如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ED=AD+BE．证明见解析【分析】（1）利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE，进而根据AAS证明△ADC≌△CEB；（2）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD；（3）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，进而得到ED=AD+BE．【详解】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC与△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC与△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴DC=BE，AD=CE．又∵ED=CD-CE，∴ED=BE-AD；（3）ED=AD+BE．证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC与△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴DC=BE，AD=CE．又∵ED=CE+DC，∴ED=AD+BE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证明线段之间的数量关系，这是一种很重要的方法，注意掌握．26．（2022·四川八年级期中）如图1，在等边三角形中，于于与相交于点．（1）求证：；（2）如图2，若点是线段上一点，平分交所在直线于点．求证：．（3）如图3，若点是线段上一点（不与点重合），连接，在下方作边交所在直线于点．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）OF=OG+OA，理由见解析【分析】（1）由等边三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性质可得OC=2OD，进而可证明结论；（2）理由ASA证明△CGB≌△CGF即可证明结论；（3）连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，可证得△OMG是等边三角形，进而可利用ASA证明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可说明猜想的正确性．【详解】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，∴OA=OC，在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，∴OC=2OD，∴OA=2OD；（2）证明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴BG=CG，∴∠GCB=∠GBC，∵CG平分∠BCE，∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，∴∠BGC=150°，∵∠BGF=60°，∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，∴∠BGC=∠FGC，在△CGB和△CGF中，，∴△CGB≌△CGF（ASA），∴GB=GF；（3）解：OF=OG+OA．理由如下：连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，∵CA=CB，CE⊥AB，∴AE=BE，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，∵OM=OG，∴△OMG是等边三角形，∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，∵∠BGF=60°，∴∠BGF=∠MGO，∴∠MGF=∠OGB，∵∠GMF=120°，∴∠GMF=∠GOB，在△GMF和△GOB中，，∴△GMF≌△GOB（ASA），∴MF=OB，∴MF=OA，∵OF=OM+MF，∴OF=OG+OA．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含30° 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．