高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念达标测试

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第4.2.1练  等差数列的概念培优第一阶——基础过关练一、单选题1．等差数列中，若，，则公差（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】由，得 故选：A2．已知等差数列中首项，公差，则（       ）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【详解】因为等差数列的首项，公差，所以.故选：D.3．若、、成等差数列，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为、、成等差数列，则，可得.故选：A.4．已知数列是等差数列，，则的值为（       ）A．15 B． C．10 D．【答案】D【详解】，故可得：，所以公差，因此故选：D5．已知数列是等差数列，且满足，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，.故选：C.6．在等差数列中，若，则（       ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【详解】因为，解得：，所以．故选：D．7．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，数列是公差为d的等差数列，数列为递减数列，所以，，.故选：D8．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第日所走的路程里数是（       ）.A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由题意设此人第一天走里，第二天走里，，第天走里，是等差数列，首项是，因为，所以．故选：D．9．已知为等差数列，，则（       ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【详解】因为为等差数列且，所以．因为，故选：A.10．在等差数列中，，，则（       ）A．45 B．48 C．50 D．54【答案】A【详解】设公差为，因为，，所以，解得，则．故选：A．二、多选题11．已知等差数列，下列结论一定正确的是（       ）A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．【答案】CD【详解】对于A中，由，又由，因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以A不一定正确；对于B中，由，又由，因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以B不一定正确；对于C中，因为，可得，且，又因为，所以又由，所以等号不成立，即，所以C正确.对于D中，由等差数列的定义知，所以D正确.故选：CD.12．已知数列、都是公差不为0的等差数列，设，，则关于数列和，下列说法中正确的是（       ）A．数列一定是等差数列B．数列一定不是等差数列C．给定，可求出数列的通项公式D．给定，可求出数列的通项公式【答案】ABC【详解】数列、都是公差不为0的等差数列，设其公差分别为，且均不为0，，所以数列一定是等差数列，给定，可求出数列的通项公式，A，C选项正确；设，一定是一个关于的二次函数，所以数列一定不是等差数列，所以B选项正确；根据二次函数性质，仅仅给定，不能求出数列的通项公式，所以D选项错误.故选：ABC三、解答题13．记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；【答案】证明见解析，.【详解】证明：，，，则，即，解得，所以，，即，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故.14．已知数列，其前n项和为．(1)求，．(2)求数列的通项公式，并证明数列是等差数列．【答案】(1)，．(2)；证明见解析．【解析】(1)当时，，当时，，解得．故，．(2)当时，．又满足，所以．因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列．15．已知正项数列满足，，且．(1)求数列的通项公式；(2)求满足不等式的正整数的最小值．【答案】(1)；(2)5.【解析】(1)由已知，，所以数列是等差数列，设其公差为．由，得．所以，即，所以．(2)由，得，所以原不等式即，两边平方可得，即，所以，整理得，解得或,因为，故的最小值为5． 培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．等差数列中，，，则（       ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【详解】因为，，所以可解得，所以，故选：C2．已知是等差数列，，，则的公差等于（       ）A．3 B．4 C．-3 D．-4【答案】C【详解】，，则的公差，故选：C3．已知数列为各项均为整数的等差数列，公差为d，若，则的最小值为（       ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【详解】因为，所以，所以，所以，因为数列为各项均为整数的等差数列，所以公差也为正整数，所以只能是1，2，3，4，6，8，12，24，此时的相应取值为25，13，9，7，5，4，3，2，所以的分别为26，15，12，11，11，12，15，26，所以的最小值为11，故选：C4．在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（       ） A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺【答案】B【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，则立冬到大雪增加，大雪到雨水先增加一个再减少,设大雪的晷长为,则,解得,故选：B.5．已知数列中，，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】当为奇数时，，即数列中的奇数项依次构成首项为，公差为的等差数列，所以，，当为偶数时，，则，两式相减得，所以，，故，故选：D.6．已知数列为等差数列，且，则的最小值为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】设等差数列的公差为d，则，根据分段函数单调性，当时取到最小值2，故选：B二、多选题7．已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是(       )A． B．是递增数列C． D．数列为周期数列【答案】ABC【详解】数列满足：，当时，，，∴数列是首项为，公差为1的等差数列，，，故C正确；，故A正确；∵函数在x＞－1时单调递增，故是单调递增数列，故B正确，D错误．故选：ABC．8．数列首项，对一切正整数，都有，则（       ）A．数列单调递减 B．存在正整数，使得C．有最大值 D．有最小值【答案】CD【详解】由题知：，，假设存在实数使得：成立，即，即，令，解得，即，即，即，所以，，所以是以1为公差，以为公差的等差数列，所以，解得，（），所以，由对应函数可知，不单调，故A错误，对于B答案，，即，无正整数解，故B错误，因为，对应函数为，如图所示，结合数列单调性可知，当时，有最小值，最小值为，故C正确，当时，有最大值，最小值为，故D正确，故选：CD三、解答题9．已知数列满足，．证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；【解析】证明：当时，，得，当时，有，，相除得整理为：，即，∴为等差数列，公差，首项为；所以，整理为：.10．已知数列是公差不为的等差数列，，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足；，请问是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【解析】(1)∵，即，∴，∴．设等差数列的公差为，（）则∵，∴．∴．解得（舍）或．∴，所以数列的通项公式为：．(2)由（1）知，，所以，假设存在正整数，使得成立，即．化简整理，得，即，解得或（舍）．所以存在正整数，使得成立．