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    【考点全掌握】人教版数学八年级上册-第十一章-三角形-单元过关检测02-同步考点(知识清单+例题讲解+课后练习)
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    【考点全掌握】人教版数学八年级上册-第十一章-三角形-单元过关检测02-同步考点(知识清单+例题讲解+课后练习)

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    这是一份【考点全掌握】人教版数学八年级上册-第十一章-三角形-单元过关检测02-同步考点(知识清单+例题讲解+课后练习),文件包含第十一章三角形单元过关检测02解析版docx、第十一章三角形单元过关检测02原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共28页, 欢迎下载使用。

    2022—2023学年八年级上学期第一单元过关检测(2)
    一、选择题(本题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑)
    1.(4分)已知有两条长度分别是3和7的木棍,需要再找一条木棍组成三角形,现有3、4、5、6、7、8、9、10可供选择,能组成三角形的木棍有(  )条.
    A.5 B.6 C.7 D.8
    【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行分析解答.
    【解答】解:设第三条边的长度为a,
    由题意,知7﹣3<a<7+3,即4<a<10.
    所以长度为5、6、7、8、9的木棍符合题意,共有5条木棍合适.
    故选:A.
    2.(4分)如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,以增加使用梯子时的安全性,这样做蕴含的道理是(  )
    A.三角形具有稳定性
    B.三角形内角和等于180°
    C.两点之间线段最短
    D.同位角相等,两直线平行拉杆
    【分析】根据三角形具有稳定性解答即可.
    【解答】解:人字梯中间一般会设计一“拉杆”,以增加使用梯子时的安全性,这样做的道理是三角形具有稳定性.
    故选:A.
    3.(4分)一副三角尺如图摆放,则α的大小为(  )

    A.105° B.120° C.135° D.150°
    【分析】由题意可得∠ABC=45°,∠1=30°,∠C=90°,则可求得∠2=15°,利用三角形的外角性质即可求∠α的度数.
    【解答】解:如图,

    由题意得:∠ABC=45°,∠1=30°,∠C=90°,
    ∴∠2=∠ABC﹣∠1=15°,
    ∴∠α=∠2+∠C=105°.
    故选:A.
    4.(4分)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,将△ADE沿DE折叠至△FDE位置,点A的对应点为F.若∠A=15°,∠BDF=120°,则∠DEF的度数为(  )

    A.135° B.130° C.125° D.120°
    【分析】由折叠的性质可得∠ADE=∠FDE,∠AED=∠FED,由邻补角定义可解得∠ADF=60°,继而解得,再由三角形内角和180°解得∠DEA=135°,最后由折叠的性质解答即可.
    【解答】解:由题意得,∠ADE=∠FDE,∠AED=∠FED,
    ∵∠BDF=120°,
    ∴∠ADF=180°﹣120°=60°,
    ∴,
    ∴∠DEA=180°﹣∠A﹣∠ADE=180°﹣15°﹣30°=135°,
    ∵△ADE沿DE折叠至△FDE位置,
    ∴∠DEF=∠DEA=135°,
    故选:A.

    5.(4分)△ABC的两边是方程组的解,第三边长为整数,符合条件的三角形有(  )
    A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
    【分析】首先求出x,y的值,再根据三角形三边关系:①任意两边之和大于第三边;②任意两边之差小于第三边,即可得出第三边的取值范围,即可得出答案.
    【解答】解:方程组的解为:,
    ∵△ABC的两边是方程组的解,第三边长为整数,
    ∴2<第三边长<6,
    ∴第三边长可以为:3,4,5.
    ∴这样的三角形有3个.
    故选:B.
    6.(4分)如图所示,考古学家发现在地下A处有一座古墓,古墓上方是煤气管道,为了不影响管道,准备在B和C处开工挖出“V”字形通道,如果∠DBA=120°,∠ECA=125°,则∠A的度数是(  )

    A.65° B.80° C.85° D.90°
    【分析】根据邻补角的定义求得△ABC的两个内角∠ABC、∠ACB的度数;然后利用△ABC的内角和是180°来求∠A的度数即可.
    【解答】解:∵∠DBA=120°,∠ECA=125°,
    ∴∠ABC=180°﹣∠DBA=60°,∠ACB=180°﹣∠ECA=55°,
    ∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣60°﹣55°=65°,即∠A=65°.
    故选:A.
    7.(4分)在第24届北京冬季奥林匹克运动会上,花样滑冰运动因其是力与美的结合而吸引着不少人的关注,运动员通过冰刀在冰面上划出图形,并表演跳跃、旋转等高难度动作,某位运动员就在冰面上滑出了如图所示的几何图形,请利用所学知识计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为(  )

    A.360° B.270° C.240° D.180°
    【分析】连接BC,根据三角形的内角和等于180°,可得∠A+∠ABC+∠ACB=180°,根据“8字形”的熟练关系可得∠E+∠D=∠EBC+∠DCB,然后即可得解.
    【解答】解:如图,连接AD,

    则∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
    根据“8字形”数量关系,∠E+∠D=∠EBC+∠DCB,
    所以,∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=180°.
    故选:D.
    8.(4分)小聪利用最近学习的数学知识,给同伴出了这样一道题:假如从点A出发,沿直线走6米后向左转θ,接着沿直线前进6米后,再向左转θ……如此下去,当他第一次回到A点时,发现自己走了72米,θ的度数为(  )

    A.30° B.36° C.60° D.72°
    【分析】小聪第一次回到出发点A时,所经过的路线正好构成一个正多边形.计算这个正多边形的边数和外角即可.
    【解答】解:∵第一次回到出发点A时,所经过的路线正好构成一个正多边形,
    ∴多边形的边数为:72÷6=12.
    根据多边形的外角和为360°,
    ∴他每次转过的角度θ=360°÷12=30°.
    故选:A.
    9.(4分)如图1所示,将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形,其中左右两侧矩形的宽相等,若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体,则图中a的值可以是(  )

    A.1 B.2 C.3 D.4
    【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形.求腰长的取值范围.
    【解答】解:长为6的线段围成等腰三角形的腰长为a.则底边长为6﹣2a.
    由题意得,.
    解得<a<3.
    所给选项中分别为:1,2,3,4.
    ∴只有2符合上面不等式组的解集.
    ∴a只能取2.
    故选:B.
    10.(4分)如图,螳螂亦称刀螂,无脊椎动物,属肉食性昆虫.在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD的度数为(  )

    A.16° B.28° C.44° D.45°
    【分析】延长ED,交AC于F,根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ACB=28°,根据平行线的性质得出∠CFD=∠A=28°,由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数.
    【解答】解:延长ED,交AC于F,
    ∵△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,
    ∴∠A=∠ACB=28°,
    ∵AB∥DE,
    ∴∠CFD=∠A=28°,
    ∵∠CDE=∠CFD+∠ACD=72°,
    ∴∠ACD=72°﹣28°=44°,
    故选:C.

    11.(4分)如图,在三角形ABC中,AH⊥BC,BF平分∠ABC,BE⊥BF,EF∥BC,以下四个结论:①AH⊥EF;②∠ABF=∠EFB;③AC∥BE;④∠E=∠ABE.其中正确的结论有(  )

    A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
    【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、余角的性质等来判断即可.
    【解答】解:∵AH⊥BC,EF∥BC,
    ∴AH⊥EF,故①正确;
    ∵BF平分∠ABC,
    ∴∠ABF=∠CBF,
    ∵EF∥BC,
    ∴∠EFB=∠CBF,
    ∴∠ABF=∠EFB,故②正确;
    ∵BE⊥BF,而AC与BF不一定垂直,
    ∴BE∥AC不一定成立,故③错误;
    ∵BE⊥BF,
    ∴∠E和∠EFB互余,∠ABE和∠ABF互余,而∠EFB=∠ABF,
    ∴∠E=∠ABE,故④正确.
    故选:B.
    12.(4分)如图,在△ABC中,以点B为圆心,AB为半径画弧交BC于点D,以点C为圆心,AC为半径画弧交BC于点E,连接AE,AD.设∠ACB=α,∠EAD=β,则∠B的度数为(  )

    A.2β﹣α B.α﹣β C.2α﹣β D.α+β
    【分析】根据等腰三角形的性质得出∠BAD=∠BDA,∠CAE=∠CEA,根据三角形内角和定理求出∠CAE=∠CEA=(180°﹣∠ACB)=90,求出∠CAD=∠CAE﹣∠DAE=90°﹣﹣β,根据三角形外角性质得出∠BAD=∠BDA=∠C+∠CAD=90°+﹣β,再根据三角形内角和定理求出∠B即可.
    【解答】解:∵以点B为圆心,AB为半径画弧交BC于点D,以点C为圆心,AC为半径画弧交BC于点E,
    ∴AB=BD,AC=CE,
    ∴∠BAD=∠BDA,∠CAE=∠CEA,
    ∵∠ACB=α,
    ∴∠CAE=∠CEA=(180°﹣∠ACB)=90,
    ∵∠DAE=β,
    ∴∠CAD=∠CAE﹣∠DAE=(90°﹣)﹣β=90°﹣﹣β,
    ∴∠BAD=∠BDA=∠C+∠CAD=α+(90°﹣﹣β)=90°+﹣β,
    ∴∠B=180°﹣∠BAD﹣∠BDA
    =180°﹣(90°+﹣β)﹣(90°+﹣β)
    =180°﹣90°﹣+β﹣90°﹣+β
    =2β﹣α,
    故选:A.
    二、填空题(本题共4个小题,每小题4分,共16分,答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上)
    13.(4分)已知a,b,c是△ABC的三边长,满足|a﹣7|+(b﹣2)2=0,c为奇数,则△ABC的周长为    .
    【分析】根据在三角形中任意两边之和>第三边,任意两边之差<第三边;可求第三边长的范围,再根据奇数的定义得出答案.
    【解答】解:∵|a﹣7|+(b﹣2)2=0,
    ∴a﹣7=0,b﹣2=0,
    解得:a=7,b=2,
    由三角形三边关系定理得:7﹣2<c<7+2,即5<c<9,
    又∵c为奇数,
    ∴c=7,
    ∴△ABC的周长为7+2+7=16.
    故答案为:16.
    14.(4分)如图,四边形ABCD的两个外角∠CBE,∠CDF的平分线交于点G.若∠A=52°,∠DGB=28°,则∠DCB的度数是    .

    【分析】连接AC,BD,由三角形外角定义可得∠FDC=∠DAC+∠DCA,∠CBE=∠BAC+∠BCA,再由DG平分∠FDC,BG平分∠CBE,可得∠CBG+∠CDG=(∠DAB+∠DCB),在△BDG中,根据三角形内角和定理可得∠G+∠CDG+∠CBE+∠CDB+∠DBC=180°,将式子进行等量代换即可求解.
    【解答】解:连接AC,BD,
    ∴∠FDC=∠DAC+∠DCA,∠CBG=∠BAC+∠BCA,
    ∵DG平分∠FDC,BG平分∠CBE,
    ∴∠CBG+∠CDG=(∠DAB+∠DCB),
    在△BDG中,∠G+∠CDG+∠CBG+∠CDB+∠DBC=180°,
    ∴∠G+(∠DAB+∠DCB)+∠CDB+∠DBC=180°,
    ∴∠G+(∠DAB+∠DCB)+(180°﹣∠DCB)=180°,
    ∵∠A=52°,∠DGB=28°,
    ∴28°+×52°+×∠DCB+180°﹣∠DCB=180°,
    ∴∠DCB=108°;
    故答案为:108°.

    15.(4分)如图,多边形ABCDEF和多边形ABGH分别为正六边形和正方形,连接CG,则∠CBG=   °.

    【分析】根据多边形的内角和定理求出正六边形的内角∠ABC的度数,根据∠ABC+∠ABG+∠CBG=360°即可得出答案.
    【解答】解:正六边形的内角∠ABC=(6﹣2)×180°÷6=120°,
    正方形的内角∠ABG=90°,
    ∵∠ABC+∠ABG+∠CBG=360°,
    ∴∠CBG=360°﹣120°﹣90°=150°.
    故答案为:150.
    16.(4分)已知△ABC中,∠A=α.在图1中∠B、∠C的平分线交于点O1,则可计算得∠BO1C=90°+α;在图2中,设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O2、O3,则∠BO3C=   .

    【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣α,再由三等分角线可得∠CBO3+∠BCO3=(∠ABC+∠ACB)=120°﹣α,由三角形内角和定理即可求得∠BO3C.
    【解答】解:∵∠A=α,
    ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣α,
    ∵∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O2、O3,
    ∴∠CBO3+∠BCO3=(∠ABC+∠ACB)=120°﹣α,
    ∴∠BO3C=180°﹣(∠CBO3+∠BCO3)=60°+α,
    故答案为:60°+α.
    三、解答题(本题共8个小题,共86分,答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上,解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.)
    17.(8分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ABD的周长比△ADC的周长多1,AB与AC的和为11.
    (1)求AB、AC的长;
    (2)求BC边的取值范围.

    【分析】(1)根据三角形中线的定义,BD=CD.所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差,然后联立关于AB、AC的二元一次方程组,利用加减消元法求解即可.
    (2)根据三角形三边关系解答即可.
    【解答】解:(1)∵AD是BC边上的中线,
    ∴BD=CD,
    ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长=(AB+AD+BD)﹣(AC+AD+CD)=AB﹣AC=1,
    即AB﹣AC=2①,
    又AB+AC=11②,
    ①+②得.2AB=12,
    解得AB=6,
    ②﹣①得,2AC=10,
    解得AC=5,
    ∴AB和AC的长分别为:AB=6,AC=5;
    (2)∵AB=6,AC=5,
    ∴1<BC<11.
    18.(8分)如图,已知△ABC,延长BC至点D,连接AD,E是AD上一点.已知∠B=45°,∠CAE=∠D,∠DCE=∠BAC.
    (1)求∠ACE的度数:
    (2)若∠BAC=25°,求∠CED的度数.

    【分析】(1)根据三角形外角性质得到∠ACE+∠DCE=∠B+∠BAC,然后利用∠DCE=∠BAC得到∠ACE=∠B;
    (2)先计算出∠ACD=70°,再利用三角形内角和定理得到∠D+∠CAE+∠ACD=180°,加上∠CAE=∠D,则可计算出∠D=55°,然后根据三角形内角和定理计算出∠CED的度数.
    【解答】解:(1)∵∠ACD=∠B+∠BAC,
    即∠ACE+∠DCE=∠B+∠BAC,
    而∠B=45°,∠DCE=∠BAC.
    ∴∠ACE=∠B=45°;
    (2)∵∠DCE=∠BAC=25°,∠ACE=45°,
    ∴∠ACD=25°+45°=70°,
    ∵∠D+∠CAE+∠ACD=180°,
    ∴∠CAE+∠ACD=180°﹣70°=110°,
    ∵∠CAE=∠D,
    ∴∠D=×110°=55°,
    ∴∠CED=180°﹣25°﹣55°=100°.
    19.(10分)在△ABC中,D是BC边上一点,且∠CDA=∠CAB,MN是经过点D的一条直线.
    (1)直线MN⊥AC,垂足为点E,在图1中画出直线MN.若∠CAB=70°,∠DAB=20°,求∠CAD,∠CDE的度数;
    (2)直线MN∥AB交AC边于点F,在图2中画出直线MN,求证:∠CDF=∠CAD.(提示:三角形内角和等于180°)

    【分析】(1)利用角的和差定义,三角形内角和定理求解即可;
    (2)利用平行线的性质证明即可.
    【解答】(1)解:如图1中,
    ∵∠CAB=70°,∠DAB=20°,
    ∴∠CAD=∠CAB﹣∠DAB=70°﹣20°=50°,
    ∵DE⊥AC,
    ∴∠AED=90°,
    ∴∠ADE=90°﹣50°=40°,
    ∵∠ADC=∠CAB=70°,
    ∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=70°﹣40°=30°;
    (2)证明:
    ∵MN∥AB,
    ∴∠ADF=∠DAB,
    ∵∠ADC=∠CAB,
    ∴∠CDF=∠CAD.
    20.(10分)已知a,b,c是△ABC的三边长.
    (1)若a,b,c满足(a﹣b)2+|b﹣c|=0,试判断△ABC的形状;
    (2)化简:|b﹣c﹣a|+|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|.
    【分析】(1)根据非负数的性质,可得出a=b=c,进而得出结论;
    (2)利用三角形的三边关系得到b﹣c﹣a<0,a﹣b+c>0,a﹣b﹣c<0,然后去绝对值符号后化简即可.
    【解答】解:(1)∵(a﹣b)2+|b﹣c|=0,
    ∴a﹣b=0且b﹣c=0,
    ∴a=b=c,
    ∴△ABC为等边三角形;
    (2)∵a,b,c是△ABC的三边长,
    ∴b﹣c﹣a<0,a﹣b+c>0,a﹣b﹣c<0,
    ∴原式=﹣b+c+a+a﹣b+c+a﹣b﹣c=3a﹣3b+c.
    21.(12分)如图,在三角形ABC中,CD⊥AB于D,点E是AD上一点,FE⊥AB于E交AC于点H,点G是BC延长线上一点,连接FG,∠ACD+∠F=180°.
    (1)求证:AC∥FG;
    (2)若∠A=45°,∠BCD:∠ACD=2:3,求∠BCD的度数.

    【分析】(1)根据平行线的性质和判定即可解答;
    (2)根据直角三角形即可解答.
    【解答】(1)证明:∵CD⊥AB,FE⊥AB,
    ∴∠AEH=∠ADC=90°,
    ∴EF∥DC,
    ∴∠ACD+∠CHE=180°,
    ∵∠ACD+∠F=180°,
    ∴∠F=∠CHE,
    ∴AC∥FG;
    (2)解:∵∠BCD:∠ACD=2:3,
    设∠BCD=2x,∠ACD=3x,
    ∵CD⊥AB,
    ∴∠ADC=90°,
    ∴∠A+∠ACD=90°,
    即45°+3x=90°,
    解得x=15°,
    ∴∠BCD=30°.
    22.(12分)(1)如图(1)所示,△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,求证:∠BOC=90°+∠A;
    (2)如图(2)所示,∠ABC,∠ACD的平分线交于点O,求证:∠BOC=∠A;
    (3)如图(3)所示,∠CBD,∠BCE的平分线交于点O,请直接写出∠BOC与∠A的关系.

    【分析】(1)依据角平分线的定义,即可得出∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A,再根据三角形内角和定理即可得到结论;
    (2)依据∠OCD是△BCO的外角,可得∠O=∠2﹣∠1,再根据∠ACD是△ABC的外角,可得∠A=∠ACD﹣∠ABC,进而得到∠O=∠BAC;
    (3)根据角平分线的定义,即可得出∠2=(∠A+∠ABC)、∠1=(∠A+∠ACB),再根据三角形内角和定理即可得出结论.
    【解答】证明:(1)∵在△ABC中,OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线,
    ∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,
    ∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)
    =(180°﹣∠A)
    =×(180°﹣x°)
    =90°﹣∠A,
    ∴∠BOC=180°﹣(∠1+∠2)
    =180°﹣(90°﹣∠A)
    =90°+∠A;
    (2)∵∠OCD是△BCO的外角,
    ∴∠O=∠2﹣∠1,
    又∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACD,
    ∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACD,
    ∴∠O=(∠ACD﹣∠ABC),
    ∵∠A=∠ACD﹣∠ABC,
    ∴∠O=∠BAC;
    (3)∵BO、CO为△ABC中∠ABC、∠ACB外角的平分线,
    ∴∠2=∠BCE,∠1=∠DBC,
    ∵∠BCE=∠A+∠ABC,∠DBC=∠A+∠ACB,
    ∴∠2=(∠A+∠ABC)、∠1=(∠A+∠ACB),
    由三角形内角和定理得,
    ∠BDC=180°﹣∠1﹣∠2
    =180°﹣[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]
    =180°﹣(∠A+180°)
    =90°﹣∠A.
    23.(12分)(1)如图1,在∠BAC内部有一点P,连结BP,CP.求证:∠BPC=∠1+∠BAC+∠2;
    (2)如图2,在五角星中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=   ;并证明你的结论;
    (3)如图3,如果在∠BAC内部有两个向上突起的角,请你根据前面的结论猜想∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠BAC之间有什么等量关系,直接写出结论.

    【分析】(1)连接AP并延长,再根据三角形内角与外角的性质即可求出∠BPC=∠1+∠A+∠2;
    (2)先把五角星五个“角”归结到一个三角形中,再根据三角形内角和定理解答即可;
    (3)分别连接AP、AD、AG并延长,再根据三角形外角的性质解答即可.
    【解答】解:如图,

    (1)如图1,连接AP并延长,则∠3=∠2+∠BAP,∠4=∠1+∠PAC,
    故∠BPC=∠1+∠A+∠2;
    (2)如图2,利用(1)中的结论,可得∠1=∠A+∠C+∠D,
    ∵∠2=∠B+∠E,
    ∵∠1+∠2=180°,
    ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
    故答案为:180°;
    (3)∠4+∠5=∠1+∠2+∠3+∠BAC,
    如图3,连接AP、AD、AG并延长,
    同(1)由三角形内角与外角的性质可求出∠4+∠5=∠1+∠2+∠3+∠BAC.
    24.(14分)如图1,在三角形ABC中,∠ABC=90°,直线a与边AC、AB分别交于D、E两点,直线b与边BC、AC分别交于F、G两点,且a∥b.
    (1)若∠AED=44°,求∠BFG的度数;
    (2)如图2,P为边AB上一点,连结PF,若∠PFG+∠BFG=180°,请你探索∠PFG与∠AED的数量关系,并说明理由;
    (3)如图3,若∠DEB=m,延长AB交直线b于点Q,在射线DC上有一动点P,连结PE、PQ,请直接写出∠PEQ、∠EPQ、PQF的数量关系(用含m的式子表示).


    【分析】(1)延长AB,结合平行线性质和外角定理即可.
    (2)延长AB,结合平行线性质、外角定理和三角形内角和即可.
    (3)结合题意画出图形,分类讨论即可.
    【解答】解:延长AB交b于Q点,

    ∴∠AED=∠Q=44°,∠ABC=∠QBF=90°,
    ∴∠BFG=∠Q+∠QBF=44°+90°=134°.
    (2)延长AB交b于Q点,

    ∵∠BFG+∠QFB=180°,
    ∴∠QFB=∠PFG,
    在Rt△QFB中∠QFB+∠Q=90°,
    ∴∠PFG+∠Q=90°,
    又∵∠AED=∠Q,
    ∴∠PFG+∠AED=90°,
    (3)①当点P在DC的延长线上时,如图,

    在△QEP中,
    ∠PEQ+∠EPQ+∠EQP=180°,
    ∠EQP=∠EQF+∠PQF,
    ∠EQF=180°﹣m,
    ∴∠PEQ+∠EPQ+∠EQF+∠PQF=180°,
    ∴∠PEQ+∠EPQ+(180°﹣m)+∠PQF=180°,
    ∴∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m.
    ②当点P在DC上时,如图,

    同理可得,PEQ+∠EPQ﹣∠PQF=m.
    综上,∠PEQ,∠EPQ,∠PQF的数量关系为:
    ∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m或PEQ+∠EPQ﹣∠PQF=m.


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