【考点全掌握】人教版数学八年级上册-第十二章-全等三角形-单元过关检测01-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）

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2022—2023学年八年级上学期第二单元过关检测（1）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（　　）
A．AB＝3，AC＝4，∠B＝30° B．AB＝3，BC＝4，AC＝8
C．∠A＝50°，∠B＝60°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝5
【分析】根据全等三角形判定的方法对A、C、D选项进行判断；根据三角形三边的关系对B选项进行判断．
【解答】解：A．AB＝3，AC＝4，∠B＝30°，不符合三角形全等的条件，三角形不能唯一作出，所以A选项不符合题意；
B．AB＝3，BC＝4，AC＝8，不符合三角形三边的关系，不能作出三角形，所以B选项不符合题意；
C．∠A＝50°，∠B＝60°，AB＝4，符合三角形全等的条件，三角形能唯一作出，所以C选项符合题意；
D．∠C＝90°，AB＝5，不符合三角形全等的条件，三角形不能唯一作出，所以D选项不符合题意．
故选：C．
2．（4分）如图，一块玻璃被打碎成三块，如果要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是（　　）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
3．（4分）如图，用一把长方形直尺的一边压住射线OB，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线OA，两把直尺的另一边交于点P，则射线OP就是∠AOB角平分线的依据是（　　）

A．等腰三角形中线、角平分线、高线三线合一
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等
D．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：D．
4．（4分）如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再测得AD的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△ADC的理由是（　　）

A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【分析】利用∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，加上公共边可根据“SSS”判断△ABC≌△ADC．
【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
故选：B．
5．（4分）如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝6，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（　　）

A．PE＝6 B．PE＞6 C．PE≤6 D．PE≥6
【分析】过P点作PH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝6，然后根据垂线段最短可对各选项进行判断．
【解答】解：过P点作PH⊥AB于H，如图，
∵AP平分∠CAB，PD⊥AC，PH⊥AB，
∴PH＝PD＝6，
∵点E是边AB上一动点，
∴PE≥6．
故选：D．

6．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝52，S△AED＝38，则△DEF的面积为（　　）

A．7 B．12 C．8 D．14
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF＝S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF＝S△ADH列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF＝S△ADH，
即38+S＝52﹣S，
解得S＝7．
故选：A．
7．（4分）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的度数和为（　　）

A．60° B．75° C．90° D．120°
【分析】由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．
【解答】解：∠ABC+∠DFE＝90°，理由如下：
由题意可得：△ABC与△DEF均是直角三角形，且BC＝EF，AC＝DF．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ABC＝∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠ABC+∠DFE＝90°，
故选：C．
8．（4分）如图，点E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，连接FE并延长，交AB于点D，若AB＝9，CF＝6，则BD的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．4.5
【分析】根据平行线性质得出∠ADE＝∠F，∠FCE＝∠A，求出AE＝EC，再根据AAS证△ADE≌△CFE，得AD＝CF＝6，即可得出结论．
【解答】证明：∵CF∥AB，
∴∠ADE＝∠F，∠FCE＝∠A，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝6，
∵AB＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6＝3，
故选：C．
9．（4分）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过t秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请问t有几种情况？（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】点E可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上，共有四种情况．
【解答】解：（1）当t＝0时，ED＝BC，AB＝BA，Rt△ACB≌Rt△EBD；
（2）当t＝3时，ED＝BC，AC＝EB，Rt△ACB≌Rt△EBD；
（3）当t＝9时，ED＝BC，AC＝EB，Rt△ACB≌Rt△EBD；
（4）当t＝12时，ED＝BC，AB＝EB，Rt△ACB≌Rt△EBD．
∴共有4种情况，
故选：D．
10．（4分）如图，在锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC＝42°，则∠BFC的大小是（　　）

A．96° B．100° C．106° D．110°
【分析】由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答．
【解答】解：设∠C′＝α，∠B′＝β，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD＝∠C′＝α，∠ABE＝∠B′＝β，∠BAE＝∠B′AE＝42°，
∴∠C′DB＝∠BAC′+AC′D＝42°+α，∠CEB′＝42°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，
∴∠ABC＝∠C′DB＝42°+α，∠ACB＝∠CEB′＝42°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
即126°+α+β＝180°．
则α+β＝54°．
∵∠BFC＝∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC＝42°+α+β＝42°+54°＝96°．
故选：A．
11．（4分）如图所示，△EBC≌△DCB，BE的延长线与CD的延长线交于点A，CE与BD相交于点O．则下列结论：①△OEB≌△ODC；②AE＝AD；③BD平分∠ABC，CE平分∠ACB；④OB＝OC，其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据全等三角形的性质可得∠EBC＝∠DCB，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB，∠DBC＝∠ECB，易证△OEB≌△ODC（AAS），根据全等三角形的性质依次进行判断即可．
【解答】解：∵△EBC≌△DCB，
∴∠EBC＝∠DCB，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB，∠DBC＝∠ECB，
在△OEB和△ODC中，

∴△OEB≌△ODC（AAS），
故①选项符合题意；
∵∠EBC＝∠DCB，
∴AB＝AC，
∵BE＝CD，
∴AE＝AD，
故②选项符合题意；
没有足够的条件证明∠EBO＝∠OBC，∠DCO＝∠OCB，
故③选项不符合题意；
∵∠ECB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
故④选项符合题意，
综上，符合题意的选项有①②④，共3个，
故选：B．
12．（4分）如图，在△ABC中，若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且∠DAB＝∠CAE＝α，AD＝AB，AC＝AE，DC、BE交于点P，连接AP，则∠APC的度数为（　　）

A．90°﹣α B．90°+α C．90°﹣α D．90°+α
【分析】作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，先证明△DAC≌△BAE，得∠ACF＝∠AEG，再证明△ACF≌△AEG，得AF＝AG，则点A在∠DPE的平分线上，所以∠APE＝∠APD＝∠DPE，再由∠CPE+∠ACF＝∠CAE+∠AEG＝∠AHP得∠CPE＝∠CAE＝α，即可推导出∠APC＝90°+α．
【解答】解：如图，作AF⊥CD于点F，AG⊥BE于点G，则∠AFC＝∠AGE＝90°，
∵∠DAB＝∠CAE＝α，
∴∠DAC＝∠BAE＝α+∠BAC，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ACF＝∠AEG，
在△ACF和△AEG中
，
∴△ACF≌△AEG（AAS），
∴AF＝AG，
∴点A在∠DPE的平分线上，
∴∠APE＝∠APD＝∠DPE，
∵∠CPE+∠ACF＝∠CAE+∠AEG＝∠AHP，
∴∠CPE＝∠CAE＝α，
∴∠APE＝∠DPE＝（180°﹣∠CPE）＝90°﹣α，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝90°﹣α+α＝90°+α，
∴∠APC的度数为90°+α，
故选：D．

二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）如图所示AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝20°，∠3＝50°，B，D，E三点共线．则∠2＝　 　°．

【分析】根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，再利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵∠1＝20°，∠3＝50°，∠3＝∠1+∠ABD，
∴∠ABD＝50°﹣20°＝30°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝30°，
故答案为：30．
14．（4分）如图，小虎用10块高度都是4cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE为 　 　cm．

【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝12cm，DC＝BE＝28cm，
∴DE＝DC+CE＝40（cm），
答：两堵木墙之间的距离为40cm．
故答案为：40．

15．（4分）如右图，AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，△ABC的周长为12，OD＝a，则△ABC的面积为 　 ．

【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD＝a，根据S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC计算，得到答案．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OE＝OF＝OD＝a，
∵△ABC的周长为12，
∴AB+BC+AC＝12，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC
＝AB•OE+BC•OD+AC•OF
＝×（AB+BC+AC）•a
＝×12•a
＝6a，
故答案为：6a．
16．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ABC＝54°，CE平分∠ACB，AD平分∠CAB，CE与AD交于点F，G为△ABC外一点，∠ACD＝∠FCG，∠CBG＝∠CAF，连接DG．下列结论：①△ACF≌△BCG；②∠BGC＝117°；③S△ACE＝S△CFD+S△BCG；④AD＝DG+BG．其中结论正确的是 　 　（只需要填写序号）．

【分析】①利用ASA即可证明△ACF≌△BCG；
②根据三角形内角和定理即可进行判断；
③根据角平分线定义即可进行判断；
④连接BF，可知点F为三角形角平分线交点，即BF平分∠ABC，可得∠CBF＝ABC＝BAC＝∠CAF，然后证明△BCF≌△BCG（ASA），可得BF＝BG＝AF，FD＝DG．进而可以进行判断．
【解答】解：①∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵∠ACD＝∠FCG，
∴∠ACF+∠FCD＝∠FCD+∠BCG．
∴∠ACF＝∠BCG，
在△ACF和△BCG中，
，
∴△ACF≌△BCG（ASA），故①正确；
②∵∠ACB＝180°﹣2×54°＝72°，
∠BCG＝∠ACF＝°＝36°，
∠CBG＝∠CAF＝54°＝27°，
∴∠BGC＝180°﹣36°﹣27°＝117，故②正确；
③∵S△ACD＝S△CFD+S△ACF，
∴S△ACD＝S△CFD+S△BCG，
∴S△ACE≠S△CFD+S△BCG；故③错误；
④如图，连接BF，
可知点F为三角形角平分线交点，
即BF平分∠ABC
∴∠CBF＝ABC＝BAC＝∠CAF，
∴∠CBF＝∠CBG，
在△BCF和△BCG中，
，
∴△BCF≌△BCG（ASA），
∴BF＝BG＝AF，FD＝DG．
∵AD＝AF+FD．
AD＝BG+DG，故④正确
故答案为：①②④．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．
（1）求∠PAD的度数；
（2）求证：P是线段CD的中点．

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠C＝180°﹣∠D＝90°，∠DAB+∠ABC＝180°，再计算出∠PBC＝60°，则利用角平分线的定义得到∠ABC＝120°，所以∠DAB＝60°，然后利用角平分线的定义得到∠PAD的度数；
（2）过P点作PE⊥AB于E点，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PD，PE＝PC，从而得到PD＝PC．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，
∵∠CPB＝30°，
∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠PAD＝∠DAB＝30°；
（2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图，
∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE＝PD，
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE＝PC，
∴PD＝PC，
∴P是线段CD的中点．
18．（8分）如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，过点A作AC⊥BD于C，点A到地面的距离AE＝1.5m（AE＝CD），当他从A处摆动到A′处时，A′B＝AB，若A′B⊥AB，作A′F⊥BD，垂足为F．求A′到BD的距离A′F．

【分析】利用AAS证明△ACB≌△BFA'，得A'F＝BC，进而解决问题．
【解答】解：∵A′B⊥AB，作A′F⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°，
∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS），
∴A'F＝BC，
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），
∴A'F＝1m，
19．（10分）如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连结CD，CE．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠A＝40°，∠BCD＝60°，求∠CDE的度数．

【分析】（1）根据AD∥BE，可得∠A＝∠B，即可得证△ADC≌△BCE（SAS）；
（2）根据全等三角形的性质，可得CD＝CE，∠BCE＝∠ADC，根据三角形外角的性质，可得∠BCD＝∠A+∠ADC，根据等腰三角形的性质即可求出∠CDE的度数
【解答】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴CD＝CE；
（2）解：∵△ADC≌△BCE，
∴CD＝CE，∠BCE＝∠ADC，
∵∠BCD＝∠A+∠ADC＝60°，
∴∠ADC＝20°＝∠BCE，
∴∠ECD＝60°+20°＝80°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
∴∠CDE＝50°．
20．（10分）如图，△ABC，AD＝AB．AE＝AC，∠DAB＝∠CAE，BE与CD交于点F，连接AF．
求证：（1）△DAC≌△BAE；
（2）FA平分∠DFE．

【分析】（1）根据角的和差求出∠DAC＝∠BAE，利用SAS即可证明△DAC≌△BAE；
（2）过点A作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，根据全等三角形的性质及三角形面积公式求出AP＝AQ，根据角平分线的判定定理即可得解．
【解答】证明：（1）∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
（2）过点A作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，如图所示：

∵△DAC≌△BAE，
∴S△DAC＝S△BAE，DC＝BE，
∵S△DAC＝DC•AP，S△BAE＝BE•AQ，
∴AP＝AQ，
∵AP⊥CD，AQ⊥BE，
∴点A在∠PFE的平分线上，
∴FA平分∠DFE．
21．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．
（1）如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；
（2）如图②，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．

【分析】（1）由SAS证△ACD≌△EBD即可；
（2）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，同（1）得△ACD≌△EBD（SAS），则AC＝BE，∠DAC＝∠DEB，再由SAS证△BAC≌△ABE，得BC＝AE，即可得出结论
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：AD与BC的数量关系为：AD＝BC，理由如下：
延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，如图2所示：
同（1）得：△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，∠DAC＝∠DEB，
∴AC∥BE，
∴∠BAC+∠ABE＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ABE＝90°，
在△BAC和△ABE中，
，
∴△BAC≌△ABE（SAS），
∴BC＝AE，
∵AD＝DE＝AE，
∴AD＝BC．

22．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
（2）若AB＝BC+AD，判断BE与AF的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）由“AAS”可证△DAE≌△CFE；
（2）由全等三角形的性质可得AE＝EF，AD＝CF，由中垂线的性质可得AB＝BF，可得结论．
【解答】解：（1）FC＝AD，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F，
∵点E为CD的中点，
∴ED＝EC，
在△DAE和△CFE中，
，
∴△DAE≌△CFE（AAS），
∴AD＝FC，
即FC＝AD；
（2）BE垂直平分AF，理由如下：
由（1）知DAE≌△CFE，
∴AE＝EF，AD＝CF，
∵AB＝BC+AD，
∴AB＝BC+CF，
即AB＝BF，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（SSS），
∴∠AEB＝∠FEB，
∵∠AEB+∠FEB＝180°，
∴∠AEB＝∠FEB＝90°，
∴BE⊥AF．
23．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CD分别平分∠ABE、∠ACE，BD交AC于点F，连接AD．
（1）当∠BAC＝40°时，求∠BDC的度数．
（2）请直接写出∠BAC与∠BDC的数量关系，并给出证明．
（3）求证：AD∥BE．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ABC＝∠ACB＝70°，再利用邻补角的定义得到∠ACE＝110°，然后根据角平分线的定义可计算出∠DBC＝∠ABC＝35°，∠ECD＝∠ACE＝55°，再利用三角形外角性质可计算出∠BDC；
（2）由外角的性质得到∠BDC+∠ABC＝∠ACE，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，即可得出∠BDC＝∠BAC；
（3）作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，根据角平分线的定义以及平行线的判定即可得到结论．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACE＝110°，
∵BD，CD分别平分∠EBA，∠ECA，
∴∠DBC＝∠ABC＝35°，∠ECD＝∠ACE＝55°，
∴∠BDC＝∠ECD﹣∠DBC＝20°；
（2）解：∠BDC＝∠BAC．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，
∴∠BDC+∠ABC＝∠ACE，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC＝∠BAC+∠ABC，
∴∠BDC＝∠BAC；
（3）证明：作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，如图所示，
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，
∴DM＝DH，DN＝DH，
∴DM＝DN，
∴AD平分∠CAG，即∠GAD＝∠CAD，
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠GAD+∠CAD＝∠ABC+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠GAD＝∠ABC，
∴AD∥BE．
24．（14分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为　 　，线段CF、BD的数量关系为　 　；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．

【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．
（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．
【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．
即CF⊥BD．
（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，
则∠GAC＝90°，
∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，
∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACB＝∠AGC＝45°，
∴AC＝AG，
∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF＝∠AGC＝45°，
∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．