【2023高考奠基】高中数学(人教A版2019)选择性必修第一册 第1章《空间向量与立体几何》基础知识汇总

第1章 空间向量与立体几何

§1.1 空间向量及其运算

1.空间向量基本概念

空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.

长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模,记为或.

零向量：长度为0的向量叫作零向量,记为.

单位向量：模为1的向量叫作单位向量.

相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量,叫作的相反向量,记为.

共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行.

相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.

2.空间向量的线性运算

空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与平面向量相同.

3.共线、共面向量基本定理

（1）直线的方向向量：在直线上取非零向量,与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.

（2）共线向量基本定理：

对任意两个空间向量（）， 的充要条件是存在实数，使.

（3）共面向量：

如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合,那么称向量平行于直线.

如果直线平行于平面或在平面内,那么称向量平行于平面.

平行于同一个平面的向量,叫作共面向量.

（4）共面向量基本定理:如果两个向量 ,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.

4.空间向量的数量积

（1）向量的夹角：已知两个非零向量,,在空间任取一点,作,则叫作向量,的夹角,记作.如果,那么向量互相垂直,记作.

（2）数量积定义：已知两个非零向量,则叫作的数量积,记作.

即 .

（3）数量积的性质：

.

（4）空间向量的数量积满足如下的运算律：

 (交换律):

（分配律).

推论：， .

（5）向量的投影向量：

向量在向量上的投影向量：

向量在平面内的投影向量与向量的夹角就是向量所在直线与平面所成的角.

§1.2 空间向量基本定理

1.空间向量基本定理

如果三个向量不共面，那么对空间任意一个空间向量.存在唯一的有序实数组.使得

.

2.基底与正交分解

(1)基底:如果三个向量不共面,那么我们把叫作空间的一个基底,都叫作基向量.

(2)正交分解:

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为1.那么这个基底叫作单位正交基底，常用表示.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫作把空间向量进行正交分解.

§1.3空间向量及其运算的坐标表示

1.空间直角坐标系

在空间选定点和一个单位正交基底 .

以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴.轴、轴,它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系,叫作原点，都叫作坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.

空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.

2.空间向量的坐标

在空间直角坐标系中为坐标向量.给定任一向量,存在唯一的有序实数组,使.有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标.记作.也叫点在空间直角坐标系中的坐标.记作.

3.空间向量运算的坐标表示

设，则：

（1），

（2），

（3）.

4.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示

（1），

（2） ，

（3） ，

（4） .

5.空间两点间的距离公式

设，则 .

§1.4 空间向量的应用

1.平面的法向量：直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量.

2.空间中直线、平面的平行

（1）线线平行:若分别为直线的方向向量,则

使得 .

（2）线面平行:设直线的方向向量,是平面的法向量,，则

.

法2:在平面内取一个非零向量,若存在实数,使得,且，则.

法3:在平面内取两个不共线向量,若存在实数，使得,且,则.

（3）面面平行:设分别是平面的法向量，则

           ，使得.

3. 空间中直线、平面的垂直

（1）线线垂直:若分别为直线的方向向量,则.

（2）线面垂直: 设直线的方向向量, 是平面的法向量,则，使得.

法2: 在平面内取两个不共线向量,若.则.

（3）面面垂直: 设分别是平面的法向量，则.

4.用空间向量研究距离、夹角问题

（1）点到直线的距离：已知是直线上任意两点, 是外一点，，则点到直线的距离为.

 (2)求点到平面的距离

已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为.

（3）直线与直线的夹角

若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.

 (4)直线与平面的夹角

设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则.

（5）平面与平面的夹角

平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角.

若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则.