苏州市吴中区、吴江、相城区2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份苏州市吴中区、吴江、相城区2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试题（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
吴中、吴江、相城区2021-2022学年八年级上学期期中考试
数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．
1. 垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源．下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 4的平方根是（ ）
A. 2 B. －2 C. ±2 D. ±3
3. 下列各组数为勾股数是（ ）
A. 9，12，15 B. 5，6，7 C. 1，5，5 D. 1，2，3
4. 如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（ ）

A. BC＝EF B. AB＝DE C. ∠B＝∠E D. ∠ACB＝∠DFE
5. 在实数中，无理数的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17
7. 到三角形三条边距离相等的点是此三角形（ ）
A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点 D. 三边中垂线的交点
8. 如图，在中，以点为圆心，小于长为半径作圆强，分别交，于点、，再分别以、为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线，交于点．，，，那么点到边的距离是（ ）

A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
9. 如图，在矩形纸片中，，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在上的点处，则的长是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如图，中，，为上，点是上一点，且，，若，则长是（ ）

A. 7 B. 9.5 C. D. 10
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相应位置上．
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
12. 由四舍五入法得到的近似数为精确到______位．
13. 如果，则_____.
14. 比较大小：______．（用“＞”、“＝”或“＜”填空）
15. 计算：______．
16. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数等于______．
17. 如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点．，则______度．

18. 如图，四边形ABFE、AJKC、BCIH分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形，过点C作AB的垂线，交AB于点D，交FE于点G，连接HA、CF．欧几里得编纂的《原本》中收录了用该图形证明勾股定理的方法．关于该图形的下面四个结论：
①△ABH≌△FBC；
②正方形BCIH面积=2△ABH的面积；
③矩形BFGD的面积=2△ABH的面积；
④BD2+AD2+CD2=BF2．
正确的有 ______．（填序号）

三、解答题：本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
19. 求下列各式中的：
（1） （2）

20. 计算：
（1） （2）

21. 已知x+1的平方根是±2，2x+y﹣2的立方根是2，求x2+y2的算术平方根．
22. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，CD⊥AB于点D．求：
（1）的长；
（2）的长．

23. 如图，已知BE⊥CD，BE=DE，BC=AD．
（1）求证：△BEC≌△DEA；
（2）求∠DFC度数．

24. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在格点上．

（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
（2）在直线l上找一点P，使PB+PC最小，则最小值为_____；
（3）若点Q在格点上，使得△ABQ的三边长分别为4，，，则图中这样的格点共有_____个．
25. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？

26. 如图，在四边形中，，，分别是、的中点．
（1）若，求的长；
（2）求证：．


27. 如图，已知，A是射线上一点，．动点从点A出发，以1cm/s的速度沿水平向左运动，与此同时，动点从点出发，也以1cm/s的速度沿竖直向上运动，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形．设运动时间为，其中．
（1）当与全等时，求的值；
（2）点是否在的平分线上，若在，写出证明过程；若不在，请说明理由；
（3）四边形的面积为______．


28. 【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，
当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．

（1）【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形．
（2）【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是______．
（3）如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE．
（4）【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的长．


故选：A．
【点睛】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
4. 如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（ ）

A. BC＝EF B. AB＝DE C. ∠B＝∠E D. ∠ACB＝∠DFE
【答案】A
【解析】
【分析】根据AF=DC求出AC=DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，
即AC=DF，
A、BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，不符合全等三角形判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
B、AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∠ACB=∠DFE，AC=DF，∠A=∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
5. 在实数中，无理数的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数叫无理数判断即可；
【详解】，，
∴无理数有，，
∴无理数有2个；
故选B．
【点睛】本题主要考查了无理数的判断，准确分析判断是解题的关键．
6. 等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17
【答案】C
【解析】
【分析】因为等腰三角形的两边为3和7，但已知中没有点明底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要注意利用三角形三边关系考虑各情况能否构成三角形．
【详解】解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，
∵3+3=6＜7，
所以不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有17．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
7. 到三角形三条边距离相等的点是此三角形（ ）
A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点 D. 三边中垂线的交点
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线的性质进行解答即可．
【详解】解：角平分线上任意一点，到角两边的距离相等，
到三角形三条边距离相等的点是三角形三个内角的平分线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查是角平分线的性质，熟知角平分线上任意一点，到角两边的距离相等是解答此题的关键．
8. 如图，在中，以点为圆心，小于长为半径作圆强，分别交，于点、，再分别以、为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线，交于点．，，，那么点到边的距离是（ ）

A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
【答案】A
【解析】
【分析】如图，过作于由角平分线的性质定理可得：从而可得答案.
【详解】解：如图，过作于

由作图可得：是的角平分线，而

，，


所以点到边的距离是cm.
故选A
【点睛】本题考查的是角平分线的作图，角平分线的性质定理的应用，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解本题的关键.
9. 如图，在矩形纸片中，，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在上的点处，则的长是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B


∵∠BDE=90°，
∴∠EDF=90°-∠BDC=∠DBC，
在△BDC和△DEF中，
∵∠C=∠EFD=90°，∠DBC=∠EDF，DB=DE，
∴△BDC≌△DEF（AAS），
∴DF=BC=5，
∵DE=AE，EF⊥AC，
∴AD=2DF=10．
故选：D
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质定理是解题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相应位置上．
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开数即可求解.
【详解】解：依题意得：，
∴；
故答案为：.
【点睛】本题考查二次根式的意义：熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．
12. 由四舍五入法得到的近似数为精确到______位．
【答案】百
【解析】
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】解：近似数8.5×103=8500，5位于百位，则该数精确到百位，
故答案为：百．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
13. 如果，则_____.
【答案】-2
【解析】
【详解】∵且，，
∴，解得：，
∴.
点睛：（1）一个代数式的算术平方根、一个代数式的平方都是非负数；（2）两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0.
14. 比较大小：______．（用“＞”、“＝”或“＜”填空）
【答案】
【解析】
【分析】先计算利用可得从而可得答案.
【详解】解：
而


故答案为：
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握“作差法比较两个数的大小”是解本题的关键.
15. 计算：______．
【答案】##
【解析】
【分析】先化简二次根式，同步计算二次根式的除法运算，再合并同类项即可.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的除法运算与加法运算是解本题的关键.
16. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数等于______．
【答案】
【解析】
【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，根据这个特点列方程求解从而可得答案.
【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和，


这个正数等于
故答案为：
【点睛】本题考查的是平方根的含义，掌握“利用平方根的含义列方程”是解本题的关键.
17. 如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点．，则______度．

【答案】90
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形性质得的度数，然后求解．
【详解】解：





故答案为：90．
【点睛】此题考查了三角形的角度问题，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理．
18. 如图，四边形ABFE、AJKC、BCIH分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形，过点C作AB的垂线，交AB于点D，交FE于点G，连接HA、CF．欧几里得编纂的《原本》中收录了用该图形证明勾股定理的方法．关于该图形的下面四个结论：
①△ABH≌△FBC；
②正方形BCIH的面积=2△ABH的面积；
③矩形BFGD的面积=2△ABH的面积；
④BD2+AD2+CD2=BF2．
正确的有 ______．（填序号）




∴矩形BFGD的面积=2△ABH的面积，故③正确；
∵BC2=CD2+DB2，AC2=CD2+AD2，BC2+AC2=AB2，
∴BD2+CD2+CD2+AD2=AB2=BF2，
∴BD2+AD2+2CD2=BF2，故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题：本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
19. 求下列各式中的：
（1）
（2）
【答案】（1）x=2或x=-4；
（2）x=-3．
【解析】
【分析】（1）利用平方根的定义求得x+1的值，然后再解关于x的方程即可；
（2）先求得（x+1）3的值，然后依据立方根的定义列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵（x+1）2=9；
∴x+1=±3，
解得：x=2或x=-4；
【小问2详解】
解：∵2（x+1）3=-16，
∴（x+1）3=-8．
∴x+1=-2，
解得x=-3．
【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根，熟记立方根及平方根的定义是解题的关键．
20. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）-2；（2）26-12．
【解析】
【分析】（1）直接根据实数的运算法则计算即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：
=3-3+（-2）
=-2；
【小问2详解】
解：
=9-12+20-（5-2）
=29-12-3
=26-12．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算及实数的运算，掌握它们的运算法则是解决此题关键．
21. 已知x+1的平方根是±2，2x+y﹣2的立方根是2，求x2+y2的算术平方根．
【答案】5
【解析】
【分析】根据平方根、立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入代数式求解即可．
【详解】解：∵x+1的平方根是±2，
∴x+1＝4，
∴x＝3，
∵2x+y﹣2的立方根是2，
∴2x+y﹣2＝8，
把x的值代入解得：
y＝4，
∴x2+y2＝25，
∴x2+y2的算术平方根为5．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根的概念，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，CD⊥AB于点D．求：

（1）的长；
（2）的长．
【答案】（1）CD的长是12；
（2）BD的长为9．
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长，根据三角形的面积公式，代入计算即可求出CD的长；
（2）在Rt△BCD中，直接根据勾股定理可求出BD的长．
【小问1详解】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，
由勾股定理可得，AB==25，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴AC•BC=AB•CD，
∵AC=20，BC=15，AB=25，
∴20×15=25CD，
∴CD=12，
∴CD的长是12；
【小问2详解】
解：∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，BC=15，CD=12，
由勾股定理可得，BD==9，
∴BD的长为9．
【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，掌握直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用是本题的关键．
23. 如图，已知BE⊥CD，BE=DE，BC=AD．

（1）求证：△BEC≌△DEA；
（2）求∠DFC的度数．
【答案】（1）见解析（2）∠DFC=90°．
【解析】
【分析】（1）由“HL”可证Rt△BEC≌Rt△DEA；
（2）由全等三角形性质可得∠B=∠D，由三角形内角和定理可求∠DFC=90°．
【小问1详解】
证明：∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEA=90°，
在Rt△BEC和Rt△DEA中：
，
∴Rt△BEC≌Rt△DEA（HL）；
【小问2详解】
解：∵Rt△BEC≌Rt△DEA，
∴∠B=∠D，
∵∠DAE=∠BAF，
∴∠BFA=∠DEA=90°，
∴∠DFC=90°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
24. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在格点上．

（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
（2）在直线l上找一点P，使PB+PC最小，则最小值为_____；
（3）若点Q在格点上，使得△ABQ的三边长分别为4，，，则图中这样的格点共有______个．
【答案】（1）见解析（2） （3）4
【解析】
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）连接BC′交直线l于点P，连接CP，此时PB+PC的长最小，最小值为线段BC′的长；
（3）利用数形结合的思想画出图形即可．
【小问1详解】


设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x-1）尺，
因B'E=10尺，所以B'C=5尺，
在Rt△ACB'中，52+（x-1）2=x2，
解得：x=13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．
26. 如图，在四边形中，，，分别是、的中点．

（1）若，求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明再利用等腰三角形的性质可得结论.
【小问1详解】
解：，为的中点，

【小问2详解】
证明：如图，连接

，是的中点，


是的中点，

【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的三线合一的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线的性质”是解本题的关键.
27. 如图，已知，A是射线上一点，．动点从点A出发，以1cm/s的速度沿水平向左运动，与此同时，动点从点出发，也以1cm/s的速度沿竖直向上运动，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形．设运动时间为，其中．

（1）当与全等时，求的值；
（2）点是否在的平分线上，若在，写出证明过程；若不在，请说明理由；
（3）四边形的面积为______．
【答案】（1）5（2）点是在的平分线上，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得当与全等时，为等腰直角三角形，从而得到OQ=OP，再由 ， ，即可求解；
（2）过点C作CD⊥ON于点D，CE⊥OA于点E，可证得△DCQ≌△ECP，从而得到CD=CE，即可求解；
（3）过点C作CF⊥PQ于点F，可得 ，根据题意可得，，



根据题意得：，
∴，
∴，
∵CF⊥PQ，是等腰直角三角形，
∴ ，
∴，，
∴四边形的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，动点问题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定定理是解题的关键．
28. 【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，
当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．

（1）【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形．
（2）【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是______．
（3）如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE．
（4）【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的长．
【答案】（1）是（2）4或3
（3）见解析（4）AC=或．
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，从而△BDC是等腰直角三角形，又因为△ABD是等腰三角形，即可得出结论；
（2）由题意知△ABD是等腰三角形，当AD=BD=4时，由勾股定理得：BC=4，当BD=AB=3时，由勾股定理得：BC=3；
（3）利用SAS证明△ADC≌△EDB，得AC=BE；
（4）分∠BDC=90°和∠DBC=90°，分别构造等腰直角三角形，利用（3）中全等进行转化，从而解决问题．
【小问1详解】
解：∵AD=3，AD=DB=DC，
∴BD=CD=3，
∵BD2+CD2=18，BC2=（3）2=18，
∴BD2+CD2=BC2，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵△ABD是等腰三角形，
∴四边形ABCD是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
【小问2详解】
解：∵对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，
∴△ABD是等腰三角形，
当AD=BD=4时，由勾股定理得：BC==4，
当BD=AB=3时，由勾股定理得：BC==3，
综上：BC=4或3，
故答案为：4或3；
【小问3详解】
解：由题意知：△BDC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴BD=CD，AD=DE，∠BDC=∠ADE=90°，